Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 3 - LIMITI

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi dell'argomento a un valore fissato come nel caso dei limiti di una funzione, oppure l'andamento di una successione al crescere indefinito dell'indice come nel caso dei limiti di successione. I limiti vengono utilizzati in particolar modo per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

3.1 LIMITI DI SUCCESSIONI

Una successione reale {a_n}, è una funzione che ad ogni n intero > 0 associa un numero reale a_n. Se {a_n} è una successione ({a_n}) e definito come: lim a_n = l, allora per ogni ε>0 esiste N(ε)∈ |N tale che:

Osservazione: Il valore del limite di una successione non dipende da n₀ o da un numero finito di termini. Si l limite vale l∈ R, la successione si dice CONVERGENTE, se tende ±oo si dice DIVERGENTE, se non esiste si dice INDETERMINATA.

3.2 Teorema (UNICITÀ DEL LIMITE)

Se ∃ lim a_n = l₁, e l₂ ∈ R, allora è unico.

DIM:

Supponiamo per assurdo che lim a_n = l₁, lim a_n = l₂ e l₁ ≠ l₂. Con questo posso scegliere λ e con n₀ abbastanza grande si riesce ad inferire il genere:

|(l₂-ε) - (l₁)| (a_n-l₂| ) ≤ | a_n - l₂ | < ε| a_n | ≤ ε | a_n |, ma un ε assusta piccolo nessun numero è minore di se stesso.

e quindi abbiamo dimostrato per assurdo che il limite è unico in ogni caso.

3.3 Teorema (REGOLARITÀ SUCCESSIONI MONOTONE)

Sia {a_n}: crocente, quindi a_n ≤ a_n+1 ∀n^,∃ lim a_n = sup {a_n, n ∈ |N|}∈ R∪ ∞[0], oppure decrescente, quindi a_n ≥ a_n+1, allora ∃ lim a_n = inf {a_n, n ∈ |N|}∈ R∪ (-∞,0].

ESEMPIO

Dim {1}_n^1/n = (successione): {a_n}

a) Sinonimo: {a_n} (successione): rinc. per ogni n ∈ |R|.

b) el Monotona

DIM

{1}_n1

34 Teorema (Limitezza successioni convergenti)

Se lim a_n ∈ ℜ, allora {a_n} è limitata, quindi ∃ m, M ∈ ℜ tale che m ≤ a_n ≤ M ∀n ∈ ℕ

Dim: Sia ℓ = lim a_n e ε = 1. ∃ N ∈ ℕ tale che ∀n > N, |a_n - ℓ| < 1, definiamo M := max{a₀, ..., a_N, ℓ + 1} e m := min{a₀, ..., a_N, ℓ - 1} e ∀n > N, m < a_n < M da definizione di max e min.

35 Teorema (Sottosuccessione)

Una sottosuccessione di una successione {a_n} è a sua volta una successione {b_k}, con k ∈ ℕ tale che ∃ a_nk ∀n_k ∈ ℕ, con n₀ < n₁ < n₂ < ...

Esempio: Se lim a_n ∈ ℜ allora lim b_k = √b_k sottosuccessione di {a_n}, da questo segue che se lim a_n ∈ ℜ anche una delle sue sottosuccessioni b_k ∈ ℜ

Dim (caso ℓ ∈ ℜ): a_n → ℓ ⇒ ∀ε > 0 ∃ N _ε tale che |a_n - ℓ| < ε, b_k: ∃ N _ε ∀ K ε ℕ tale che n_k > n_k-1 con n_k > N_ε, quindi |b_k - ℓ| < ε ∀k > N_ε implica che lim b_k = ℓ e quindi è lim a_nk =ℓ è dello stesso di a_n.

3.6 Teorema (Permanenza del segno)

Se lim a_n ∈ ℜ^*, |a_n| ≤ C ∀n ∈ ℕ ⇒ ∃ N ∈ ℕ tale che (a_n → ℓ) ⇒ (a_n > ε → 0) → a_n > 0 da definizione

Dim (caso ℓ &neq; 0) ∃ N _ε, ∀n > N, come |a_n - ℓ| > ε, sia: ε = ε / 2, |a_n - ℓ| > 0 quindi

(caso ℓ > 0) M ∈ &nat; → a_n < M definizionalmente per calcolazione

3.7 Teorema (del confronto)

Se a_n ∈ b_n^{definizionalmente}, ∃ lim a_n ∈ ℜ^*, lim b_n = m ∈ ℜ^* → ∃ m, (se a_n <= b_n, ∀n ∃ ≥ ℓ) |c_n, b_n |b_n ∈ ℜ^*, ∀n₀ con gli

Dim uso ε ∈ ℜ, per assurdo sia |a_n, m| = M |da che è assurdo

ε, ℓ ε ℜ M – ε m |da e

M – L M, ℓ ε b_n

3.8 Teorema (dei carabinieri)

Sia b_n; a_n, C_n definizionalmente ∃ lim b_n = lim b_n = lim C_n ∈ ℜ^* ⇒ ogni volta quando lim a_n = ε

Dim (caso ε ∈ ℜ) ∃ per assurdo come lim a_n ∉ e quindi ∃ &cmp; C_n, ℓ ε &r

(caso ε ≠ 0) |a_n con |a_n - ℓ |c_n - ε con |a_n - M quindi dichiarazione | L ∈ 0

Esempio ^{(eccezione non notevole)}

a_n ∈ C_n, a_n del diff. pasando ∃

Assumendo la lezione del calcolo di successioni provvisorio

L_n = ε con |a_n, M è sincπ (negativo positivo) > sin(n) |indica 0

3.15 O PICCOLI

o piccolo è un simbolo matematico, solitamente indicato con \(o(n)\), che rientra nella famiglia dei cosiddetti simboli di Landau,e che viene usato per indicare il troncamento o l'ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad un punto che converge (ad esempio di Xcon un determinato valore o all'infinito—in quel confine per non confonderlo con gli zero, verrà indicato diversamente: io) = \(0\) piccolodi ordine nullo per la definizione che in \(x \to 0\)

ESEMPIO:

\(\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n-1}{n+5} = 3 - 3o(1) = \lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{3n}{n} - \frac{1}{n} \right) = \lim_{{n \to \infty}} \left( 3 - \frac{3}{1} \right) = 3 - o(1)\)

Osservazione:

\(a_n \cong l \Rightarrow a_n - l = o(l) \Leftrightarrow a_n = l + o(1) \Rightarrow \lim a_n = l + o(1)\)

\(\frac{a_n}{b_n}\) definibilmente \(\neq 0\) si scrive asintoticamente equivalenti (in simboli: \(a_n \sim b_n\)), se il loro rapporto\(\frac{a_n}{b_n} \cong 1\) ossia \(\frac{a_n}{b_n} = 1 + o(1)\) (o(1))

FORVOLA DI STIRLING:

\(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} = 1\), cioè n! è asintoticamente uguale a \({n!} \cong n^{n+0.5} e^{-n} \sqrt{2 \pi n}\)

3.16 Teorema (Bolzano Weierstrass)

\(\{x_n\}\) limitata \(\Rightarrow \{x_n\}\) ammette una sottosuccessione convergente.

Dim: \(\{x_n\}\) limitata \(\Rightarrow \exists R \in \mathbb{R} \text{ tali che } \forall x_n \in [a, b], \mathbb{N} \Rightarrow \{n_i \not= \in \mathbb{N} : x_{n_i} \in [a, b]\}\)

\(N_\mathbb{N}\) è infinito \(\Rightarrow \Rightarrow [a, b] := [a, c]\)

\(c_1 :=  \frac{a+b}{2}\) b-a \( \Longrightarrow \) Successiva

\(N \in \mathbb{N} \text{ tale che } X_n \in [a, b]\) \( b-a \, \Longrightarrow \left\{ [a, b] := [c,b]\right\}\)

Sia \([a_i, b_i]\), quello fra i \rightarrow intervalli \([a,c] \cup [c,b]\) che contiene infiniti punti delle \(\{x_n\}\)

\((*) (c_i \text{: succ.)}\)

\( \alpha_i \le b_i\) con i\(\mathbb{N}\) e naturali \(i \in \mathbb{N}\), con il quale avendo successivi le seguenti propieta:

_**Propieta fondamentale**_

• (i) \(b_i - a_i = \frac{b-a}{2^i}\),
• (ii) \((a_i}, b_n \Rightarrow \Rightarrow [a_{i+1}, b_i] \subseteq [a_i, b_i], \\,_ \forall n_ \Longrightarrow x_n \in [a_{i}, b_i] \Rightarrow \Rightarrow\)
• (iii) \( \bigcup _{n=1}^{\infty} x_{n\kappa} \Rightarrow \alpha \in [a_n, b_i]\)

_{\(a_i \le b_{i,\kappa} = c_i = b_{\upsilon} i \cdot b_i \Rightarrow \bigg\} \le b \Rightarrow(a:b)\)}

\enfranchita{\(X \to c_{(i)}\), \, dunque } successione \(\times_i = a_i = b_n \tan_1 X \to c_i\)