Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 3 - LIMITI

In matematica il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi dell'argomento a un dato valore come nel caso del limite di una funzione, oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice come nel caso del limite di successione. I limiti vengono utilizzati in particolare modo per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

3.1 LIMITI DI SUCCESSIONI

Una successione reale <a_n>_{n ∈ N} è una funzione che ad ogni n naturale ≥ ...

un numero reale L. Si dice <a_n> tende al limite o ammette per limite ... dell'n-...definiamo con: ...

3.2 Teorema (UNICITÀ DEL LIMITE)

Se ∃ lima_n = L, L ∈ R⁺, allora è unico

DIM casol(2. ε, ε R)

3.3 Teorema (REGOLARITÀ SUCCESSIONI MONOTONE)

Sia <a_n> crescente, quindi ∃a, L ∈ ...

1. a) ... ∃lim a_n
2. b) ... ∃lim a_n

Chapter 3 - LIMITI

In matematica il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi dell'argomento a un dato valore come nel caso del limite di una funzione, oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice come nel caso del limite di successione. I limiti vengono utilizzati in particolar modo per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

3.1 LIMITI DI SUCCESSIONI

Una successione reale _{an} è una funzione che ad ogni n intero >= 0 associa un numero reale a_n. Il limite di una successione {a_n} è definito come: lim_n→∞ a_n = L e si scrive a_n → L per n→∞.

Osservazione: Il valore del limite di una successione non dipende dal n₀, da un numero finito di termini. Se il limite vale L ∈ R la successione si dice CONVERGENTE, se vale ∞ o -∞ si dice DIVERGENTE, se non esiste si dice INDETERMINATA.

3.2 Teorema (UNICITÀ DEL LIMITE)

Se _{an} ∪ _{{limn→∞ an = l1 e limn→∞ an = l2, allora l1 è unico.}

Dim (caso 1: ℓ₁ = -∞, ℓ₂ ∈ R): supponendo per assurdo che lim_n→∞ a_n = ℓ₁, lim_n→∞ a_n = ℓ₂ e che ℓ₁ ≠ ℓ₂, da è, ∃ n₀

• ∀n ≥ n₀, |a_n - ℓ₁| < ε e |a_n - ℓ₂| < ε, ma ciò è assurdo poiché nessun numero è minore di sé stesso.

3.3 Teorema (REGOLARITÀ SUCCESSIONI MONOTONE)

Sia _{an} crescente, quindi a_n ≤ a_n+1, ∀n ∈ ℕ, lim_n→∞ a_n = sup {a_n | n ∈ ℕ}, op...

Dim Sia _{an} ⊆ ℝ; supponiamo che sup = ℓ ∈ ℝ:

(caso 1: ℓ ∈ R): Sia ε > 0, ℓ - ε non è una maggiorazione, quindi esiste un elemento dell'insieme più grande di ℓ - ε, quindi ∃n_ε∈N tale che a_nε > ℓ - ε. Dato che a_n è crescente, ℓ - ε < a_nε ≤ a_n < ℓ + ε, quindi |a_n - ℓ| < ε ∀n ≥ n_ε e quindi dimostrato.

34 Teorema (Limitezza Successioni Convergenti)

Sia <a_n>_n∈&Nat; ⊆ℝ allora <a_n> è limitata, quindi ∃m, M ∈ℝ tale che m ≤ a_n ≤ M ∀n∈&Nat;

• Dim Sia ϵ = 1, quindi ∃c: |a_n - c| <ϵ, ∀n∈ℕ
• decidiamo M:=max{|a₁ - c|, |a₂ - c|, ..., |a_l - c|}
• m:=min{a₁, a₂, a_l}da cui ∀n∈ℕ m < a_n < M da definizione di max e min.

35 Teorema (Sottosuccessione)

Una sottosuccessione di una successione <a_n> è a sua volta una successione <b_k> con k∈&Nat;

• ES. 1 <b_k> = (a_2k)_k∈&Nat;
• ES. 2 <b_k> = (a_-k)_k∈&Nat;
• Se ∃a_n→l allora ∃b_k→l ∀<b_k>sottosuccessione di <a_n>
• da questo segue che se a_n ha una sottosuccessione b_k→ l ¬∃k→∞
• dim:
• ∃a_n∈ℝ ¬&exists;a