Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Gianazza Ugo, libro consigliato Analisi matematica 1 , Marco Bramati - Carlo Pagani - Sandro Salsa

NUMERI REALI

|a| = {  a se a ≥ 0  -a se a < 0}

[a,b] intervallo chiuso(a,b) intervallo aperto

NUMERI COMPLESSI

FORMA ALGEBRICA

z = a + ib    dove   a è la parte reale Re(z)      b è la parte immaginaria Im(z)      i è l'unità immaginaria

z̅ = a - ib2zz̅ = |z|² = a² + b²|z| = √(a² + b²)

FORMA ESPONENZIALE

z = ρ e^iθρ = |z| = √(a² + b²)θ = arctg _{Im (z)}/^{Re (z)}

FORMA POLARE

z^m = ρ (cos θ + 2kπ/m + i sin θ + 2kπ/m)

cosθ = a/√(a² + b²)    sinθ = b/√(a² + b²)

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

Un'equazione polinomiale del tipo a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_mz^m con coefficienti complessi qualsiasi ammette m radici in ℂ.

FUNZIONI

DEFINIZIONE

Dati due insiemi A e B, una funzione f è una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. f: A -> BLe funzioni f: N -> R si dicono successioniLe funzioni f: R -> R si dicono funzioni reali di variabile reale.

DEFINIZIONE

Si dice che x_m è punto di minimo per f, e m = f(x_m) è il minimo di f.Si dice che x_M è punto di massimo per f, e M = f(x_M) è il massimo di f.

FUNZIONI LIMITATE

• Limitate superiormente ➔ f(x) ≤ H dove H è il punto di massimo
• Limitate inferiormente ➔ f(x) ≥ m dove m è il punto di minimo
• Limitate (sono sia superiormente che inferiormente limitate)

FUNZIONI SIMMETRICHE

• Pari ➔ simmetriche rispetto all'asse y ➔ f(x) = f(-x)
• Dispari ➔ simmetriche rispetto all'origine ➔ -f(x) = f(-x)

FUNZIONI MONOTONE

• Monotone crescenti ➔ f(x₁) ≤ f(x₂)
• Monotone decrescenti ➔ f(x₂) ≤ f(x₁)
• Monotone strettamente crescenti ➔ f(x₁) < f(x₂)
• Monotone strettamente decrescenti ➔ f(x₂) < f(x₁)

FUNZIONI PERIODICHE

La funzione f: D -> R è periodica di periodo T > 0 se T è il più piccolo numero positivo tale che:

f(x + T) = f(x)

LIMITI

DEFINIZIONE LIMITE

Si dice lim f(x) = L se per ogni successione {x_n} di punti diversi da c, tale che x_n → c, si ha che f(x_n) → L per n → +∞.

DEFINIZIONE

Una funzione φ per x → c tende a φ si dice infinitesima, se tende a 0 si dice infinita.

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Se esiste lim_{x → c} f(x) = l, tale limite è unico.

DEFINIZIONE LIMITE DESTRO E SINISTRO

lim_{x → c⁺} f(x) = +∞ → Limite destro

lim_{x → c^-} f(x) = -∞ → Limite sinistro

DEFINIZIONE CONTINUITÀ

Se f: I → R, c ∈ I. Si dice continua in C se:

 lim_{x → c} f(x) = f(c)

Una funzione non continua in C si dice discontinua e c rappresenta un punto di discontinuità e i suoi limiti destro e sinistro esistono finiti ma sono diversi tra loro.

TEOREMI PER IL CALCOLO DEI LIMITI

• TEOREMA DEL CONFRONTO
  1. per x → c, f(x) → l e g(x) → l
  2. Esiste P(x) tale che f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) per x → c, allora h(x) → l
• TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO

  Se per x → c f(x) ≠ l; r > 0, allora f(x) ≠ 0 per x → c

• TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO PER FUNZIONI CONTINUE

  Se f è continua in x = c e f(c) ≠ 0, allora f(x) ≠ 0 definitivamente per x → c

DERIVATE

DEFINIZIONE DERIVATA

lim_h→0 (f(x₀+h) - f(x₀))/h = f'(x₀)

DEFINIZIONE PUNTO ANGOLOSO

Se f è derivabile da destra e da sinistra in x₀, allora f ha un punto angoloso in x=x₀.

DEFINIZIONE PUNTO DI CUSPIDE

Se f è continua in x₀ e f'₁(x₀) = ±∞ e f'₀(x₀) ≠  ±∞ si dice che f ha in x₀ un punto di cuspide.

TEOREMA

Se f è derivabile in x₀, allora f è continua in x₀.

TEOREMA: ALGEBRA DELLE DERIVATE

• (f ± g)' = f' ± g'
• (f · g)' = f' · g + f · g'
• (f/g)' = (f' · g - f · g')/g²
• (k · f)' = k · f'

TEOREMA: REGOLA DELLA CATENA

Sia g°f la composta di due funzioni f e g.

Se f è derivabile in x e g è derivabile in y=f(x), allora g°f è derivabile e vale la formula: (g°f)' = g'(f(x)) · f'(x)

TEOREMA DI FERMAT

Sia f: [a,b]→ℝ derivabile in x ∈ (a,b). Se x è punto di estremo locale, allora f'(x) = 0

PROPOSIZIONE

I punti in cui f' si annulla si dicono punti stazionari per f.

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f derivabile in (a,b) e continua in [a,b], allora esiste c ∈ (a,b) tale che:

(f(b) - f(a))/(b - a) = f'(c)

TEST DI MONOTONIA

Sia f:(a,b)→ℝ derivabile. Allora:

• f è crescente ⟺ f'(x) > 0
• f è decrescente ⟺ f'(x) < 0

Corollario

Ogni funzione continua ha una primitiva. Le funzioni discontinue non possono averne.

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Se f: [a,b] -> R è continua e G è una sua primitiva su [a,b] allora:

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

Corollario

Le operazioni di integrazione e derivazione sono inverse.

Metodi di Ricerca della Primitiva

• Integrazione per scomposizione

∫[α f(x) + β g(x)] = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx

• Integrazione per sostituzione

∫(φ(x)) φ'(x) dx = ∫ f(t) dt    (con φ(x) = t)

• Simmetrie

• f è pari => ∫_-k^k f(x) dx = 2 ∫₀^k f(x) dx

• f è dispari => ∫_-k^k f(x) dx = ϕ

• Integrali Elementari

1. ∫ k = kx
2. ∫ xⁿ = (xⁿ⁺¹) / (n+1)
3. ∫ 1/x = ln |x|
4. ∫ sin x -> -cos x
5. ∫ cos x -> sin x
6. ∫ 1/(cos²x) -> tg x
7. ∫ -1/(sin²x) -> cotg x
8. ∫ e^x -> e^x
9. ∫ a^x -> a^x/log a
10. ∫ 1/(1+x²) -> arctg x
11. ∫ 1/√(1-x²) -> arcsin x
12. ∫ sh x -> ch x
13. ∫ ch x -> sh x
14. ∫ 1/(ch²x) -> th x
15. ∫ -1/(sh²x) -> coth x
16. ∫ (x+a)ⁿ dx = (x+a)ⁿ⁺¹ / (α+1)
17. ∫ 1/(x+a) dx = ln |x+a|
18. ∫ x/(a²+x²) dx = 1/2 ln (a² + x²)
19. ∫ 1/(x²+a²) dx = 1/a arctg x/a
20. ∫ √(a²+x²) dx = arcsinh (x/a)
21. ∫ 1/a²-x² dx = 1/a arccos x/a
22. ∫ 1/cos²x dx = tg x
23. ∫ 1/sin²x dx = -cotg x
24. ∫ ln x = x ln x
25. ∫ arctg x dx = x arctg x - 1/2 ln (1+x²)
26. ∫ arcsin x dx = x arcsin x + √(1-x²)
27. ∫ [f(x)]ⁿ·f'(x)dx = [f(x)]ⁿ⁺¹ / α+1
28. ∫ f'(x)/f(x) = log |f(x)|