Riassunto esame Analisi I, Prof. Cianciaruso Filomena, libro consigliato Analisi matematica 1, Marcellini, Sbordone

A

• ∩

Differenza insiemis�ca: A B = { X∈A ma X∉B }, cioè X sta in A ma non in B.

• \

Prodoto Cartesiano: AxB, cioè l’insieme delle coppie (a,b) con a∈A e b∈B.

• insieme delle par� di X, P(X).

L’insieme di tu� i sotoinsiemi di un insieme X è deto All’insieme P(X)

appartengono l’insieme stesso X e l’insieme vuoto. Se A è contenuto in B con A non vuoto e diverso

sotoinsieme proprio.

da B, diremo che A è un Nel caso in cui A = X, l’insieme X-B è deto

complementare di B.

Esempi: 1

,

Siano da� A = [0,1] e B = ] 2] allora,

2

A B = [0,2]

U 1 ,

A B = ] 1] prendo tuto l’insieme degli elemen� comuni ad A e B.

∩ 2 1

A B = [0, ] prendo l’insieme A togliendo gli elemen� di B.

\ 2

3.2. relazione binaria.

Nel caso par�colare in cui A=B, il sotoinsieme A cartesiano A (AxA) è deto

relazione di equivalenza

Una relazione binaria è deta se gode delle seguen� proprietà:

Riflessiva: a∈A (a, a) R

• ∀ ∈

Simmetrica: (a, b) R = (b, a) R

• ∈ ∈

Transi�va: (a, b) R, (b, c) R = (a, c) R

• ∈ ∈ ∈

Esempio:

Siano gli insiemi A = {rete nel piano} e R = {rete parallele tra di loro}. Due rete sono in relazione

tra di loro se parallele. Si verifica il rispeto delle proprietà: riflessiva.

r//r: una rete è parallela a se stessa, quindi la relazione è

• r//s => s//r: se una reta r è parallela ad una s, allora s è parallela a r, quindi la relazione è

• simmetrica.

r//s, s//t => r//t: se una reta r è parallela ad una s, e la reta s è parallela ad una t, allora r

• transi�va.

è parallela a t, quindi la relazione è

Questa è quindi una relazione di equivalenza. b

Data una relazione di equivalenza, è possibile creare un sotoinsieme di elemen� appartenen� ad

b a. classe di equivalenza

A tale che sia equivalente ad Tale sotoinsieme lo chiameremo con a

rappresentante.

definito Mateo Mammoli�

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Esempi: a⩪b

1) Sia X = { studen� nell’aula} e sono tu� gli studen� na� nel 2004.

[MATTEO] = { studen� dell’aula na� nel 2004}.

rappresentante dell’insieme.

Mateo sarà il a⩪y

2) Sia X = { rete parallele} e è la reta 2x+1.

[2x+1] = { y = 2x+q, con q reale}.

Le rete parallele alla Y rappresentante sono tute quelle aven� lo stesso coefficiente

angolare. relazione d’ordine

Una relazione binaria è deta se gode delle seguen� proprietà:

Riflessiva: a∈A (a, a) R

• ∀ ∈

An�-transi�va (a, b) R , (b, a) R => a=b

• ∈ ∈

Transi�va: (a, b) R, (b, c) R => (a, c) R

• ∈ ∈ ∈

Esempio:

Sia x≤y y-x≥0 una relazione binaria. Verifichiamo il rispeto delle proprietà:

 riflessiva.

per ogni x reale, x≤x, quindi la relazione è

• an� transi�va.

x≤y, y≤x allora x=y, quindi la relazione è

• transi�va.

x≤y, y≤z allora x≤z, quindi la relazione è

• Mateo Mammoli�

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4. Funzioni

funzione

Si definisce una legge f: A --> B con a∈A --> f(a) ∈B.

4.1. surie�va

Una funzione si dice se per ogni b∈B esiste a∈A tale che f(a) = b.

Per ogni elemento di partenza, deve corrispondere almeno un valore di arrivo.

immagine degli elemen� di A,

Gli elemen� dell’insieme B saranno defini�

quindi nel caso delle funzioni surie�ve gli elemen� del codominio devono

essere immagine di almeno un elemento del dominio. Eventuali elemen� di

contro-immagine di

A che hanno per immagine elemen� in B, saranno de�

B tramite f.

Graficamente, una funzione è surie�va se il suo grafico è intersecato da ogni reta orizzontale

almeno una volta.

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché un’applicazione sia surie�va è che la cardinalità

≤ #A).

di B debba essere minore o uguale di quella di A (#B

inie�va

Una funzione si dice se ad elemen� diversi del dominio, la funzione

associa elemen� diversi del codominio. Ogni elemento del codominio è

immagine di al massimo un elemento del dominio.

Graficamente una funzione è inie�va se il suo grafico viene intersecato da

al massimo una volta.

ogni reta orizzontale

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché un’applicazione sia inie�va

≥ #A).

è che la cardinalità di B debba essere maggiore o uguale di quella di A (#B

biie�va biunivoca inver�bile.

Una funzione inie�va e surie�va si dice o o In

questo caso c’è una corrispondenza biunivoca tra gli elemen� del dominio e

quelli del codominio.

Graficamente una funzione è biie�va se il suo grafico è intersecato da ogni

esatamente una volta.

reta orizzontale

4.2. Funzioni Lineari

funzione lineare y= mx + q coefficiente angolare.

Si chiama una funzione del �po dove m è deto Se

stretamente crescente,

m>0 allora la funzione si dice che è al contrario con m<0 la funzione è

stretamente decrescente. Nel caso in cui m = 0 allora la funzione risulta crescente e decrescente

costante.

contemporaneamente e si dice

Nel caso di funzioni costan�, avremo che la sua immagine sarà iden�co al codominio, quindi

parleremo di funzione surie�va. Al contrario, nel caso di funzioni lineari avremo una corrispondenza

biunivoca perché qualsiasi punto si prende di y, esso è intersecato dalla reta orizzontale. Essendo

−

funzioni inver�bili, la funzione inversa delle funzioni costan� sarà

Mateo Mammoli�

Corso di Laurea in Informa�ca – Università della Calabria x

Abbiamo dei casi par�colari: la funzione parabola ha

2

[0, [

come immagine l’insieme ed è definita per tuto

+∞

l’insieme reale. Per cui avremo una funzione surie�va

perché il suo grafico ha più di un punto di intersezione

per ogni reta orizzontale. La funzione non sarà quindi

inver�bile. [0, [

Ma se restringiamo il dominio all’insieme la

+∞

funzione diventa inie�va e quindi anche biie�va.

Possiamo quindi calcolare la funzione inversa che sarà

�.

4.3. leggi di cancellazione:

Nel caso di funzioni inver�bili valgono le

f: A --> A

• quindi f f(x) = x, cioè cancello l’effeto di f(x)

-1

f -1

x --> f(x) --> f f(x) --> x

-1

Esempio: x

f(x) = x e f (x) =

2 -1 √

x --> x per effeto di f(x) --> per effeto di f (x) --> x (in modulo) --> x

2 -1

2

√

f : B --> B

• quindi f(f x) = x, cioè cancello l’effeto di f (x)

-1 -1

f -1

• x --> f (x) --> f(f ) --> x

-1 -1x

Esempio: e

x

f (x) = f(x) = x

-1 2

√

x

x --> per effeto di f (x) --> per effeto di f(x) --> x

-1 2

√ √

4.4. Funzioni composte

Siano f:A-->B e g:B-->C due funzioni dove l’arrivo di f coincide con la partenza di g, allora posso

funzione composta g•f:A-->C,

definire la quindi avremo g(fx). In generale possiamo definire g•f se

l’immagine della prima applicazione è contenuto nel dominio della seconda applicazione.

Esempi: 1

1) f(x) = x e g(y) =

4 1+

Img(f) = R e D(y) = R/{-1}

+ 1

Allora g•f sarà 4

1+

2) f(x) = x + 1 e g(y) =

2 1 +

�

Img(f) = [1, + e D(y) = [-1, +

∞[ ∞[

Allora g•f sarà 2 2

+ + 1 = + 2

√1 √

Osserviamo il fato che g•f è differente da Allora f•g

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4.5. Funzione modulo di X Il valore assoluto è una funzione f:R --> R ed è così

+

≥ 0

definita: � − < 0

Il grafico della funzione valore assoluto è composto da

due semirete y=x e y=-x parten� dall’origine. Modulo è

una funzione pari, cioè simmetrica rispeto all’asse y.

La funzione modulo di X ha le seguen� proprietà:

|x| > 0 per ogni x appartenente ad R.

• |x| = 0 se e solo se x=0.

• |-x| = x per ogni x appartenente ad R.

• |x y| = |x| |y| per ogni x,y appartenen� ad R.

• disuguaglianza triangolare.

|x + y| = |x| + |y| per ogni x,y appartenen� ad R, deta

• |x/y| = |x| / |y| per ogni x,y appartenen� ad R ed y diversa da 0.

•

4.6. Funzione Esponenziale dove a è la

La funzione esponenziale è data dalla presenza della variabile x all’esponente, f(x) = a x

base che deve essere maggiore di 0 e diversa da 1. La funzione esponenziale con base

maggiore di 1 è sempre maggiore di

zero ed è stretamente crescente.

La funzione esponenziale con base

compresa tra 0 e 1 è sempre

maggiore di zero ed è stretamente

decrescente.

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4.7. Funzione Logaritmo

La funzione logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale ed è l’esponente da dare alla base per

otenere l’argomento. Quindi, f (a ) = lg x definita per l’insieme R con valori in tuto R.

-1 x +

a

Il logaritmo con base maggiore di 1 è una funzione crescente. Al contrario con base compresa tra

0 e 1 è una funzione decrescente.

La funzione logaritmo gode delle seguen� proprietà:

lg(xy) = lg(x) + lg(y) per ogni x,y >0

• lg(x/y) = lg(x) – lg(y) per ogni x,y >0

• lg(1) = 0

• ) = x lg(1) per ogni x>0

lg(1

x

• lg (x) = lg x / lg b per ogni x>0

• b a a

Essendo che il logaritmo e l’esponenziale sono l’una l’inversa dell’altra, valgono le leggi di

cancellazione. Infa� il lg a = x e a = x

x lga(x)

a

4.8. Funzione sin(x) e arcsin(x) f(x) = sin(x)

Dominio: tuto R

Definizione: [-π/2, π/2] in [-1, 1]

Periodicità: 2π

Simmetria: funzione dispari

f(x) = arcsin(x)

Dominio: tuto R

Definizione: [-1, 1] in [-π/2, π/2]

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