Prima parte Analisi matematica I

A

MEIR Se

minorante

è mEX

per : :

dice

si superiormente

A limitato al meno

se ammette un

maggiorante .

limitato

dice

si

A ↑ minorante

inferiormente un .

maggioiante

dice minorante

A LIMITATO

si se un

un e

ES . dei

insieme

(2 (-0

3) minoranti

2]

A = , , maggioranti

+a)

[3 , M/XM

Ex A

/EM

-M

limitato

A ( --

= :

0

>

. ne minoranti

ne

& maggioranti

na

non tranti

tipgedeiminora

incuore

Estremo

A

ACIR ,

Diciamo superiore di

è A

MEIR

che estremo se

un

di

è

M

2

. A 3

maggioranie M SupA

=

Cia

UNEIR NIM

=

N

2

. maggiorare

,

Diciamo inferior di

è A

che meIr estremo se

un

minorante

me di

1 A 3 inf A

m =

di

minorante

An A

,

.

2 Er = nem

n

Esempi 1/2033maxD

Gh SupD

1

D -

n =

=

= . ↳ it

be esisit sup

max =

L min=inf

il

se esiste

O infD

= minorante

170

Un è

0 un

EN1503 :

Dim assurdo

X

. Voglio

D

Prendiamo dimostrare 950

Er che

Mindiane

a per

· .

.

supponiamo che >o

a

· Ine 1503

IN n 1

tale che >

minorante

quindi è

a non un

aso

=>

Teorema Se

A0

FIR

A limitato

è

a

. allora

superiormente

, ,

superiore

esiste di .

l'estremo

unico A

inferiormente esiste

limirano

Se è unico

allora

A ,

l'estremo inferiore di A

.

limitaro superiormente

Di A

: d

maggioranti

del

l'insieme B

Sia B di +

A =>

di B

Proprietà :

A e b

fatA bEB

, a =

:

di esiste

Per assioma SEIR

completa :

EbE

FatA ascEb

B :

, ↳ maggiorante ,

e per A

un

CfB

i maggioranti

del

minimo

è

c ↳ #

SupA

c = limitati

BER AEB A

A , B

,

, ,

infA1 supA[

infB supB

2) 3)

E- 2 (

A B 4

=

.

es = ,

, DELL'ESTREMO

CARATTERIZZAZIONE SUPERIORE

Meir

AO

AGIR di A solo

è estremo se se

sup e :

,

, .

maggiorante di

M è A

.

1 FE 7xA M-E

0

> X >

2 :

. , maggiorane

Ts di A

e

↳ quannia un

positiva c M non

Esempio

{ nEN min di

A infe A

Trovare e sup

max

= : ,

infa

Min 0

8

A = = n 1

+

lim

SUPA 1 1

= =

I A

è

1 per

maggiorante

EIN

Un

1 (n 1) zn f

A

=

1 vero

= +

& 1

n +

moltiplica -

Sia ECO nel:

cerco

, 1)

G)(n

(1

>

n +

- 2)

n(1 E

+

n 1

> -

-

· - 1 E

E(

1

En > n)

> = -

- E

-

6 proprietà

In fin questa

con Lezione 24/09/25

3

DELL'ESTREMO

CARATTERIZZAZIONE INFERIORE

IR ASIR Ay0

mE ,

, 11

A

è minorante per

.

1 un

m

Vaso JxEA E X

2 +

: >

m

,

. Esercizi IN]

E En

1) Int

A = EhE

& supA

maxA

1 1

= =

2n

E UhEI infa

O

O =

infA

Proviamo O

Che :

= IN au >

Prendo O

,

30 +

ne

cerco per

. )

2 / *

E

Est log

>

= = ,

↓

2 M

↳ ha almeno una

N

- in qualsiasi

soluzione Eso

sia

( 33

(X(IR

A

2) X

< +

+ 2

:

=

Risolviamo disuguaglianza

la --

è

il al quodrato

o elevo

Se membro

2 positivo +

2 0

C =

S

. .

E E ↓

X33 3

X4 - IR

3)

2c(x

x2 a

+ +

( (x2 bx +

+

37 a)

( =

A +

= - ,

InFA Es

= - illimitato

SupA + >

D

= superiormente

-

sup Scre

-3

3) ,

nEN,

= :

e-1 e

?

A Girotroche un

waggidante

2" M

+

-13 NJ3

+

UnEIN

= B

1

Ex -

UE neIN rale

0

> che

cerco

,

-

-

+ -2- Ei

E)

m(E

2

1 - +

- -

(1

e E)

1 +

> - E)

m((z

en +

1

> -

E -E

che

tale

ses soluzione

è u no

(n)

lok -

perche

Lie o

logs

ai

1-5)

Se log

passo

o [ sicuramente Trovo un

log(-) verifica

EN che

n

n disuguaglianta

questa

infine

4) 2 = ?

2in e UnEN

2 = +

m 1

+ En

2 e

= + (

2

+ 6

è quindi

minore ,

stretto

72

-2 infe

, e min

non

2

- UnEN

2 vew e

Faxo EN

In +Es

:

· , 2xn

En Em

2 2 e

+

+ +

>

+

Ein e-E-2

>

M 2 In risolve

EN che questa

E

e

> -

- E disuguaglianta

inf neN0

3) :

Un

· N

N En

en-3 vero

+

n >

1903

fezo EN

In + 3n

E

: +

· , 4n 1

-

42)(4n 1) 3)

4(n

(3 + > +

- 4π

16En

en 42)12 +

+

-3 - EN-So

3 In

42

Gπ

162n che

+

+

> risseve

4

>

n (elementari)

FUNZIONI t

Def Chiamiamo

A insiemi A--B

B due :

: ,

, funzione associa

da A ad

legge che

B

una una

a , f(x)

-

di a YeB

di B

ogni A solo .

y

elemento

Xe

elemento =

un ,

immagine di

e

y x

· I

- di

preimmagine

è Y

X

· dif

il dominio

A è

· dif

codominio

il

Be

· f

immagine

Insieme di y3EB

SyfB f(x)

f(A) Im(f) -X tA

: : =

= =

Grafico di

G(x f(x)) A] [A

graf(f) B

X - +

:

= ,

Esempio : Parabola

> ((X XER3-R

x2)

grac(f)

b)

[0

f(x) Im(6)

X2 :

+ =

= = ,

.

CAMPO ESISTENZA

di più cuif

di di

sottoinsieme

il

f -R

: IR è ben

è grande su

definita . x)

(E(f)

M [1

f(x)

Es 120

x

+

= = -

.

. insiemi f

DEFINIZIONI A B

B

A due -L

:

, ,

Diciamo f è

che : f(xy)

EX1 f(x)

XzEA X1 X 2

INIETTIVAt Se >

: =

=

- , f(x)

f(xy)

(>

FXz

X +

- f(x)

IxfA

EyfB

f(A) B Y

SURIETTIVA Se

- :

= =

- , f(x)

FyEB !

iniettiva 7 XeA

suziettiva

e

Se

BIETTIVA y

e

> =

:

-

- ,

↳ invertibile

& dice

si anche

Esempi : all'

paralle

non

+o

Fq-r Am

f(x)

1 mx q

+

= X

asse

,

. ↳ biettive preimmagine

Dato YEIR X

cerco

, a) 9

2

y mx X

= + = m

↳ preimmagine

unica 13

EXf(M

f(x) 1/CE(C) =

2 +

2x y

= = ,

1

x - suriettiva

è iniettiva ma non

G(xi)

UX XzfIR-213 =

2xe

f(x) + 1

=

=

, 1

X1 -

(2x 1)(x1

1) 1)

1)(Xz

(2x1 + +

=

- -

A 2xeX2 Xn

+

2x2

* X2

2x1

Xz + = -

-

- 3x2()

3x1 X1 Xz

=

- =

-

è

& suceltiva :

non

2x 1 1

2 + cerwx +

= X 1

- 10

2x

* 1

2 2 =

= + -

- IR-E23

I Fy

IR-923

m(f) E risolvo

:

=

= y

yX

y 2x 1

+

=

-

X(y 2) y

1 +

=

- preimmagine

1

X diy y

y-20

biettiva possiamo

f B la

Se è

A definirne

-

: (simmetrica )

funzione %

bisetta quad

1

rispetto alla

inversa .

:

2 B A Tale che

>

- 3

(f(x))

- 1

X f X

A

( : = deriva da:

2

-"

(y))

G(f

(y B y

= =

: 5 ! f(x

6 Fy-B XEA

biettiva =

:

, L

f" (y) X

=

Esempio : 12 biettiva

IR-IR

X 3

f(x) + :

= inversa

funzione

calcolo la E

s

X3 1

+

y =

f(x)

-

f(x) 3

1

= - 26/09/25

Lezione a

MONOTONIA

Def IR-IR

f si dice

: :

: f(x 1)

f(x)

UX

Monotona EIR =

Xz

X1

crescente = =

X

- :

, f(x))

f(x)

UX EIR <

Xz

X1

Montona < =

X

strettamente crescente :

- , f(x)

f(x)

UX EIR

Monotona decrescente X1X2 > =

X =

:

- , f(xz)

f(x )

(X EIR

Monotona decrescente Xz

strettamente X1 > >

X < =

:

· ,

,

Se iniettiva

monotonia

c'è e

--

stretta

una

f G(x)

f(x

è periodo

di ExEIR T)

PERIONICA se

Tso =

+

di

di i

sin e T

↑ Tan

Cos

e =

=

1)

(3X E

cos +

es + =

.

FUNZIONI ELEMENTARI : XVnE

f(x) (E(f)

POTENTE IR

NATURALE

ESPONENTE

AD :

=

0f(x) 1

=

n = 1f(x) X

n =

= rispetto

simmerica all'asse y

2

x a)

f (6) [0

pari Im

10

n22 +

, n = ,

,

↳ iniettiva

e

non [0 a)

Se funzione

restringo la + -6150

a d)

+

, ,

7) a)

[0

[0 N) bieltiva

50 a) è

>

: +

+ +

-

, ,

,

funzione

La n-esima

radice

la

e inolce pari = 2

inversa n

con ,

[0

[0

n N) N)

+

+ >

-

, ,

~ [0 a)

(x

20 -

x +

.

X

n y = X"con

f(x) dispari 2

n

n

= simmetrica

, rispetto all'origine

-

n

" CE(f)

I

f IR

dispos = crescente

strettamente

monotona

Im(f) IR

=

biettiva

E'

l'inversa dispar

n-esima

è radice IR-IR

la indice

con :