Analisi matematica I - prima parte

RICHIAMI sulla teoria degli insiemi

un gruppo di oggetti, questi oggetti stanno insieme per qualche regola.

x, y, z, ... ∈ A, B, C, insieme. x ∈ X appartiene x ∉ X non appartiene

CLASSE H = {tutti gli studenti in aula} = parba, italia, puglia.

SPAZIO AMBIENTE

X = {x ∈ ω soddisfa la proprietà P} gli elementi devono soddisfare una proprietà comune.

da quel ambiente vado a pescare l'elemento

es. x ∈ X = {x ∈ ω | x - 2y con y ∈ ℕ}

numeri naturali

es. D = {x ∈ ω | x - 2y = 4 con y ∈ ℕ}

OPERAZIONI TRA INSIEMI

A ⊆ B INCLUSIONE di A in B o A SOTTOINSIEME di B.

A ⊂ B ci sono elementi solo di A

A ⋂ A = A ⋂ B qualsiasi elemento di A e anche B

coincide A = B A ⊄ B

A ⊆ B A sottoinsieme di B oppure A ⊇ B

l ⊄ B ma han A ⊊ B A è sottoinsieme proprio di B

A ∪ B UNIONE = {x ∈ ω x ∈ A ∪ x ∈ B} PARTICOLARITÀ

A ∪ B = B ∪ A

A ∪ ∅ = A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

INTERSEZIONE

A ∩ B = {x ∈ I : x ∈ A e x ∈ B}

elementi in comune

Proprietà

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ B = Ø insieme vuoto

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) associativa

A ∩ (B ⋃ C) = (A ∩ B) ⋃ (A ∩ C) distributiva posso distribuire un'intersezione in un'unione e viceversa

DIFFERENZA SIMMETRICA

A Δ B = {x ∈ A : x ∉ B}

i punti di A meno quelli di B

COMPLEMENTARE

A ⊆ B sottoinsieme

Il complementare di A rispetto a B:

A^C = {x ∈ B, x ∉ A}

LEGGI DI DE MORGAN

A ⋃ B = Ā ∩ B̅

A ∩ B = Ā ⋃ B̅

RISPETTO ALLO SPAZIO AMBIENTE

A^C = {x ∈ Ω : x ∉ A}

1. A ⋃ A^C = Ω
2. A ∩ A^C = Ø
3. (A^C)^C = A
4. A × B = A ∩ B^C

PRODOTTO CARTESIANO

A × B = {(a,b) con a ∈ A, b ∈ B} COPPIE ORDINATE

A × B × C = {(a,b,c) con a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} TERNE ORDINATE

INTERVALLI DEI NUMERI REALI

• 2 ≤ x < 5 [2,5)
• estremi compresi [2,5]
• 2 < x < 5 (2,5)
• estremi esclusi (2,5)
• 2 ≤ x ≤ 5 [2,5]
• solo uno dei due (2,5]
• x > 3 (3,∞)

Semiintervalli

PIANO CARTESIANO

P_Rx P_Ry = {(x,y), x,y ∈ ℝ }

P_Rx

P_Ry

ℝ_y

ℝ_x - o - (x,y)

y

ℝ_Rx,ℝ_Ry ℝ_R²

Terza dimensione

IL SISTEMA NUMERICO DEI NUMERI REALI

ℝ

ESTREMO superiore o inferiore

Supponiamo un insieme X ⊂ ℝ limitato superiormente (3ℝ) inferiormente (3ℝ)

Se X_ε è illimitato superiormente, vuol dire che ad ogni numero ne seguirà sempre uno più grande

• max X: l’elemento più grande che, negli insiemi limitati, corrisponde a sup X
• min X: l’elemento più piccolo che corrisponde a inf X

Un numero S = sup X se:

1. x ≤ S ∀ x ∈ X
2. ∀ε > 0 ∃ ξ ∈ X
   • S - ε < ξ ≤ S

E_X = { x ∈ ℝ | e_n → x }

1. Assioma di completezza e continuità

∀ insieme non vuoto e limitato superiormente di numeri ℝ ha sup X_ε ℝ

&simili;

A = numero TR

1 RADIANTE

è l'apertura dell'angolo per il quale la lunghezza dell'arco tagliato è uguale al raggio della circonferenza

1° = 180°

1_RAD = 180°

• 0° 0
• 360° = 2π
• 90° = π
• 120° = ⅔π
• 60° =
• 45° =

Γ = 2πx2

= 360° + 360°

-3Γ = -2π-π

SENO e COSENO

sen =

cos =

tg =

cosx

FORMA TRIGONOMETRICA dei C

per il teorema di Pitagora

x²+y² = |z|²ipotenu

sempre >0

per trovare un numero complesso in modulo

|z|=√x²+y²

θ = argomento di z

ε [0,2π)

escluso incluso lo 0

senθ =

cosθ =

Lezione 4/10/23Mercoledì 4 ottobre 2023

(es) (1) aⁿ = eˣ con ξ₀, ξ₁, ξ₂, ξ₃

Vi z₃, val z₁, val z₂

Ko = 0, 2 iπ→θ = kπ 2π

(vi) si ottengono 2 vie di: opposte simmetrice sul piano

lungo la bisettrice I e III qua diventa

se facessi servono sempre opposte anche lungo la bisettrice di II e IV

verifica (-1) ³ = (-1) ³ . 1 = -i ² . i = -i . -i . i = -i

le 3 radici di i formano triangolo equilatero

tutte le radici n-ésime di 1 uno stanno ai vertici di un poligono regolare a n-vertici iscritti nella circonferenza unitaria a partire da 1

solo 1 segmento

w = 3 -1/2, –i√3/2, 1/2, i√3/2avevo un triangolo equilatero

PolinomioSiano a_n, a_n-1, a_n-2, … a₁, a ∈ ℂ ∖ a₀ , n ∈ ℕ {0} Si chiama polinomio di grado n ai coefficienti a_i , l'espressione

Pⁿ = a_n zⁿ + a_n-1 zⁿ⁻¹ + … + a₁ z¹ + a₀

(E) equazione algebrica = a_n zⁿ + a_n-1 zⁿ⁻¹ + … + a₁ z¹ + a₀ = 0

Monotonia e Disequazioni

f(A) ≷ f(B)

applicare f^-1

f^-1(A) ≷ f^-1(B)

f(A) ≷ f(B)

applico f^-1

• A ≷ B se f ↑ manteniamo stesso segno
• A ≶ B se f ↓ cambia segno

Trovare il grafico f^-1

traccio la bisettrice e faccio la simmetria

f: x → y

f^-1: x = f(y)

dom e codom si invertono

x² non iniettiva → non invertibile

considero solo la zona positiva [0, +∞[

immax f - max codom (↑)

min f - min codom (↓)

sup f - sup cod (↑)

inf f - inf cod (↓)

Una f si dice limitata sup/inf se lo è il suo codominio. f si dice limitata se lo è sia sup che inf.

• superiormente: ∃ M ∣ f(x) ≤ M ∀x ∈ Dom f maggiore
• inferiormente: ∃ m ∣ f(x) ≥ m ∀x ∈ Dom f minore
• limitata: m ≤ f(x) ≤ M

x² - x - 6 < 0

nell’intervallo dei 2 numeri < 0

x_1/2 = ^{1 ± √1 + 24}/₂ = ^{1 ± 5}/₂ = {-3; 2}

POTENZA

x^a

a = esponente fisso

x = variabile

se a > 0 x^a:

[0, +∞) → [0, +∞)

se a < 0 x^a:

(0, +∞) → (0, +∞)

se x⁰ ; x⁰ = 1

a ∈ e ∩ ℕ

R → [0, +∞)

R \ {0} → R \ {0}

monotona ↑

a pari

a > 0

x^-2n = ¹/_x²ⁿ

R \ {0} → (0, +∞)

a dispari

x^-(2n+1) = ¹/_(2n+1)

POTENZA PARI NEGATIVA

P. DISPARI NEGATIVA

T(x) = T(x+π) tg(x) = tg(x+π) tg(x) = sin(x) / cos(x) = - sin(x) / cos(x) = - tg(x)

asinot verticale (∉ Df)

COTANGENTE: la linea si fa — sopra tg(x) inversa: arc_tg(x)

^π/₂

cos(x) = sin(x) cos x / sin x |R|%{ 2π }^{R = C}

cos(x) è dispari, periodica di periodo π