Potenziali extracellulari

Modello fibra generica

Rispetto alla fibra isolata, che non mi dice nulla sull’andamento dei potenziali all’interno della fibra, questo modello mi caratterizza la distribuzione all’esterno e all’interno della fibra. Voglio caratterizzare la singola fibra sia per quanto riguarda lo strato extra che quello intracellulare. Avrò un potenziale interno e uno esterno, diversi tra loro: idem per le conducibilità.

Se attraverso la membrana, introduco una variabile “psi” che si comporta come i potenziali perché sigma sono costanti a tratti (e all’esterno e all’interno). Un osservatore che la attraversa vede un salto in questa variabile; quindi, delta psi sarà diverso da zero, in generale. Non so cosa mi ha generato questo salto ma mi basta dire che, essendo che delta psi si comporta come un potenziale e so le equazioni dei potenziali, allora so scrivere la distribuzione di psi nel volume. Nota la distribuzione di psi (variabili fittizie), posso tornare ai valori del potenziale, dividendo psi per sigma -> equazione finale del potenziale (P) in qualunque punto, sia all’interno che all’esterno della fibra.

Sigma non è più la conducibilità generica ma è diversa tra interno ed esterno: avendo zone a diverse conducibilità, sigma potrà variare (sigma P indica il sigma nella posizione interna o esterna).

Quello che ottengo è un’espressione che non ha ipotesi sulla fibra: vale per qualunque fibra! -> Qualunque sia la mia sorgente, che è sempre una combinazione di fibre, modellerò la sorgente applicando un principio di sovrapposizione degli effetti. Posso descrivere qualsiasi modello di sorgenti.

Da un punto di vista pratico è troppo difficile ma dal punto di vista teorico è molto importante per la sua generalità.

Perché psi si comporta come un potenziale? Siccome se sono all’esterno sigma vale sigma e, che è costante all’esterno, questa variabile, a meno di una costante, si comporta come un potenziale. Idem all’interno. È una variabile ausiliare senza significato fisico ma utile per costruire queste equazioni. È il potenziale per una costante -> si comporta come il potenziale a meno di una costante.

Il caso del disco è specifico? No. Si può dimostrare essere valida qualunque sia la superficie. Il disco è solo un esempio -> valenza generale per qualunque sia la superficie.

Modello di volume multifibra

Miocardio: 10¹⁰ cellule -> impossibile descrivere la sorgente descrivendo il comportamento delle singole sorgenti. Devo condensare l’informazione: l’approccio è quello di suddividere il volume in piccoli volumi, ciascuno infinitesimo, con un numero significativo di fibre in ciascuno. Non descrivo il comportamento di ciascuna fibra ma quello di ciascun volumetto, in cui tante fibre. Definiscono una nuova densità -> densità di momento di dipolo, definito per unità di volume. Può essere ottenuto come media degli elementi all’interno.

Strutturalmente ha la stessa valenza ma dimensionalmente è definito per unità di volume. Equazione strutturalmente simile ma su un volume.

Questa condensazione delle info in elementi dV è necessaria dal punto di vista pratico: non traspare che ogni densità dipende dal mio elemento dV con cui suddivido il volume. Se faccio dV troppo grossi, perdo un effetto di distribuzione spaziale e quindi il potenziale misurato sarà poco preciso. Se dV sono troppo piccoli, perdo il vantaggio di condensare le info in elementi dV. Devo allora progettare bene la suddivisione dV.

Diapositiva di sintesi dei modelli di sorgente visti (monopolo, dipolo, singola fibra, generica fibra, sorgente generica): struttura ripetitiva delle equazioni. Dalle sorgenti semplici (monopolo) alla più generica (es. miocardio).

Il potenziale dipendeva da 3 fattori: questi tre elementi costitutivi li noto in tutte queste equazioni:

• 1/ (4 pigreco sigma) c’è sempre
• Dipendenza dalla sorgente: Io, p, im o derivata seconda, delta psi, Dv
• Distanza tra elettrodo e sorgente: se è monopolo (e quindi anche singola fibra) la dipendenza è 1/r; nei casi di dipolo (quindi anche generica fibra o sorgente) è il gradiente di 1/r

NB: l’ipotesi è avere un volume infinito e omogeneo, costituito dalla sua conducibilità costante! Unico parametro che lo caratterizza.

Se l’elemento non è isolato, il contributo va integrato per tutti gli elementi in cui abbiamo suddiviso la sorgente.

Il punto fondamentale è il volume infinito e omogeneo -> non è un volume reale. Non è un’ipotesi realistica: come posso sostituirla? Perché sono utili queste relazioni? In realtà, quando voglio calcolare il potenziale all’interno di un volume che ha le caratteristiche di un volume fisico, il risultato che ottengo parte dall’utilizzo di queste relazioni. Si parte dal caso ideale con alcuni fattori di correzione che tengono conto del volume non infinito e non omogeneo.

Volume conduttore

Dal volume infinito passiamo al volume reale, che è non omogeneo e ha dimensioni finite. In applicazioni biomediche, i volumi sono torace, cuore e encefalo, oppure arti, ecc. Le dimensioni sono variabili e hanno proprietà conduttive diverse. I valori di resistività posso essere molto diversi, come per esempio:

• Osso: 177
• Sangue (plasma): 0.7

Hanno allora ordini di grandezza diversi e sceglieranno quindi percorsi diversi. Ancora più problematico è ad esempio osservare che questa conducibilità dipendono anche dalla direzione che osserviamo nella struttura: es. muscolo scheletrico (longitudinalmente la corrente trova meno fatica a passare che trasversalmente). Non avrà un unico valore costante ma dipende dal punto e dalla direzione di questo punto -> anisotropia. La conducibilità non è sempre la stessa neanche nello stesso tessuto; questo perché i muscoli permettono il passaggio di corrente facilmente longitudinalmente mentre trasversalmente risulta più complicato perché le fibre sono longitudinali -> trasversalmente devono attraversare continuamente le membrane delle fibre.

Noi vedremo solo volumi isotropi, i quali hanno un solo valore scalare e non un tensore (quindi tre valori diversi lungo x, y e z). Come le correnti si muovono dipende sia dal volume sia dalle zone a più alta o bassa conducibilità. Da una parte ho un volume finito, dall’altra ho strutture disomogenee nel volume.

Disomogeneità: nel volume conduttore esistono strutture anatomiche che hanno per loro costituzione conducibilità diverse (es nel torace c’è il cuore con le camere cardiache e l’aorta che hanno alte conducibilità; ci sono invece le ossa con valori molto più bassi). Rappresentazione semplificata accorpando le regioni con conducibilità simile.

Anche nel modello della testa: ho cervello, cranio e scalpo. Scalpo e cervello simili mentre cranio con conducibilità molto più bassa. Modello dettagliato a 3 sfere concentriche: dall’interno ho cervello, cranio e scalpo. Importante sottolineare comunque che nel volume ho strutture con conducibilità differenti.

Effetti delle non-omogeneità

Sulla superficie devo garantire una continuità dei potenziali perché queste superfici sono solo di separazione. Sono infatti superfici passive che non possono generare potenziali. Non ci sono sorgenti sulle superfici. Inoltre, essendo passive, dovrò garantire anche una continuità delle correnti (tanta I entra, tanta I esce) -> continuità correnti e potenziali lungo le superficie passive di separazione.

Considero la variabile ausiliaria psi e vedo come varia nel volume: punto interno o esterno. Per lo stesso ragionamento di prima, psi soddisfa le ipotesi del potenziale perché è costante a tratti. Nell’attraversare la superficie, misuro il salto di psi che dipende dalla conducibilità. Nel mio volume allora ciascun elemento genera una variazione di psi, che so descrivere (psi è ancora una variabile fittizia senza significato fisico).

Questa espressione mi dice che sebbene la superficie di separazione non generi sulla sua superficie delle effettive sorgenti, ha un effetto sul potenziale che un elettrodo misura sul punto e quindi è come se ci fossero delle sorgenti sulle superfici. Siccome il potenziale viene modificato dalla sorgente, è come se ci fosse una sorgente che modifica il potenziale, anche se non c’è fisicamente -> sorgenti fittizie (o secondarie). Hanno un effetto ma non ci sono fisicamente. (Psi ha un salto perché c’è una discontinuità nella conducibilità)

Caso di più discontinuità

Il potenziale che misuro nel volume dipende dalla sorgente (come se fosse infinito e omogeneo) ma anche gli effetti delle disomogeneità, visti come sorgenti fittizie ai capi delle sorgenti stesse. Ho anche le equazioni degli effetti delle sorgenti secondarie -> potenziale totale misurabile composto da:

• Contributo sorgenti effettive / sorgente primaria che calcolo con la distribuzione dei potenziali
• Serie di contributi, ciascuno per ogni superficie di discontinuità, che agiscono come effetti correttivi sulla situazione ideale -> sorgenti secondarie

Osservazioni

• L’effetto delle sorgenti secondarie esiste solo se ho una discontinuità sulla superficie (se tende a 0, non ce l’ho).
• Il contributo delle sorgenti secondarie è legato alla sorgente primaria. Il potenziale misurato sulla superficie di discontinuità, infatti, rientra e non l’avrei se non ci fosse una sorgente primaria. Questo contributo esiste solo se esiste la sorgente primaria.
• Il gradiente di 1/r misura la distanza tra l’elettrodo e la sorgente che sto misurando: è tanto più significativa, tanto più l’elettrodo è vicino alla sorgente di discontinuità (se è lontana posso trascurarla). Decresce velocemente essendo il gradiente di 1/r.
• Se la sorgente secondaria è lontana dalla primaria, l’effetto fi di si sarà più basso e posso trascurare le sorgenti secondarie.

L’elettrodo non posso metterlo dove voglio perché mi influenza le misurazioni se ho discontinuità. È possibile progettare il sistema di misura in modo tale da minimizzare gli effetti delle sorgenti secondarie! Così calcolo il valore delle sorgenti primarie in modo più preciso. Non è necessariamente da eliminare ma voglio minimizzarlo. Se l’elettrodo è lontano dalle sorgenti di discontinuità, posso trascurare il loro effetto.