Potenziali extracellulari

MODELLO FIBRA GENERICA

Rispetto alla fibra isolata, che non mi dice nulla sull’andamento dei

potenziali all’interno della fibra, questo modello mi caratterizza la

distribuzione all’esterno e all’interno della fibra.

Voglio caratterizzare la singola fibra sia per quanto riguarda lo strato

extra che quello intra cellulare.

Avrò un potenziale interno e uno esterno, diversi tra loro: idem per le

conducibilità.

Se attraverso la membrana, introduco una variabile “psi” che si

comporta come i potenziali perché sigma sono costanti a tratti (e all’esterno e i

all’interno). Un osservatore che la attraversa vede un salto in questa variabile; quindi,

delta psi sarà diverso da zero, in generale. Non so cosa mi ha generato questo salto

ma mi basta dire che, essendo che delta psi si comporta come un potenziale e so le

equazioni dei potenziali, allora so scrivere la distribuzione di psi nel volume. Nota la

distribuzione di psi (variabili fittizia), posso tornare ai valori del potenziale, dividendo

psi per sigma -> equazione finale del potenziale (P) in qualunque punto, sia all’interno

che all’esterno della fibra.

Sigma non è più la conducibilità generica ma è diversa tra interno ed esterno: avendo

zone a diverse conducibilità, sigma potrà variare (sigma P indica il sigma nella

posizione interna o esterna).

Quello che ottengo è un’espressione che non ha ipotesi sulla fibra: vale per

QUALUNQUE FIBRA!

-> Qualunque sia la mia sorgente, che è sempre una combinazione di fibre, modellerò

la sorgente applicando un principio di sovrapposizione degli effetti. Posso descrivere

qualsiasi modello di sorgenti.

Da un punto di vista pratico è troppo difficile ma dal punto di vista teorico è molto

importante per la sua generalità.

Perché psi si comporta come un potenziale? Siccome se sono all’esterno sigma vale

sigma e, che è costante all’esterno, questa variabile, a meno di una costante, si

comporta come un potenziale. Idem all’interno. È una variabile ausiliare senza

significato fisico ma utile per costruire queste equazioni. È il potenziale per una

costante -> si comporta come il potenziale a meno di una costante.

Il caso del disco è specifico? No. Si può dimostrare essere valida qualunque sia la

superficie. Il disco è solo un esempio -> valenza generale per qualunque sia la

superficie.

MODELLO DI VOLUME MULTIFIBRA

Miocardio: 10^10 cellule -> impossibile descrivere la sorgente descrivendo il

comportamento delle singole sorgenti.

Devo condensare l’informazione: l’approccio è quello di suddividere il volume in piccoli

volumi, ciascuno infinitesimo, con un numero significato di fibre in ciascuno. Non

descrivo il comportamento di ciascuna fibra ma quello di ciascun volumetto, in cui

tante fibre. Definiscono una nuova densità -> densità di momento di dipolo, definito

per unità di volume. Può essere ottenuto come media degli elementi all’interno.

Strutturalmente ha la stessa valenza ma dimensionalmente è definito per unità di

volume.

Equazione strutturalmente simile ma su un volume.

Questa condensazione delle info in elementi dV è necessaria dal punto di vista pratico:

non traspare che ogni densità dipende dal mio elemento dV con cui suddivido il

volume. Se faccio dV troppo grossi, perdo un effetto di distribuzione spaziale e quindi il

potenziale misurato sarà poco preciso. Se dV sono troppo piccoli, perdo il vantaggio di

condensare le info in elementi dV. Devo allora progettare bene la suddivisione dV.

Diapositiva di sintesi dei modelli di sorgente visti (monopolo, dipolo, singola

 fibra, generica fibra, sorgente generica): struttura ripetitiva delle equazioni.

Dalle sorgenti semplici (monopolo) alla più generica (es. miocardio).

Il potenziale dipendeva da 3 fattori: questi tre elementi costitutivi li noto in tutte

queste equazioni

- 1/ (4 pigreco sigma) c’è sempre

- Dipendenza dalla sorgente: Io, p, im o derivata seconda, delta psi, Dv

- Distanza tra elettrodo e sorgente: se è monopolo (e quindi anche singola fibra)

la dipendenza è 1/r; nei casi di dipolo (quindi anche generica fibra o sorgente) è

il gradiente di 1/r

NB: l’ipotesi è avere un VOLUME INFINITO E OMOGENEO, costituito dalla sua

CONDUCIBILITÀ COSTANTE! Unico parametro che lo caratterizza.

Se l’elemento non è isolato, il contributo va integrato per tutti gli elementi in cui

abbiamo suddiviso la sorgente.

Il punto fondamentale è il volume infinito e omogeneo -> non è un volume reale. Non

è un’ipotesi realistica: come posso sostituirla? Perché sono utili queste relazioni? In

realtà, quando voglio calcolare il potenziale all’interno di un volume che ha le

caratteristiche di un volume fisico, il risultato che ottengo parte dall’utilizzo di queste

relazioni. Si parte dal caso ideale con alcuni fattori di correzione che tengono conto del

volume non infinito e non omogeneo.

VOLUME CONDUTTORE

Dal volume infinito passiamo al volume reale, che è non omogeneo e ha dimensioni

finite.

In applicazioni biomediche, i volumi sono torace, cuore e encefalo, oppure arti, ecc.

Le dimensioni sono variabili e hanno proprietà conduttive diverse.

I valori di resistività posso essere molto diversi, come per esempio:

- Osso: 177

- Sangue (plasma): 0.7

Hanno allora ordini di grandezza diversi e sceglieranno quindi percorsi diversi. Ancora

più problematico è ad esempio osservare che questa conducibilità dipendono anche

dalla direzione che osserviamo nella struttura: es. muscolo scheletrico

(longitudinalmente la corrente trova meno fatica a passare che trasversalmente). Non

avrà un unico valore costante ma dipende dal punto e dalla direzione di questo punto

-> anisotropia. La conducibilità non è sempre la stessa neanche nello stesso tessuto;

questo perché i muscoli permettono il passaggio di corrente facilmente

longitudinalmente mentre trasversalmente risulta più complicato perché le fibre sono

longitudinali -> trasversalmente devono attraversare continuamente le membrane

delle fibre.

Noi vedremo solo volumi isotropi, i quali hanno un solo valore scalare e non un tensore

(quindi tre valori diversi lungo x, y e z).

Come le correnti si muovono dipende sia dal volume sia dalle zone a più alta o bassa

conducibilità.

Da una parte ho un volume finito, dall’altro ho strutture disomogenee nel volume.

DISOMOGENEITÀ: nel volume conduttore esistono strutture anatomiche che hanno per

loro costituzione conducibilità diverse (es NEL TORACE c’è il cuore con le camere

cardiache e l’Orta che hanno alte conducibilità; ci sono invece le ossa con valori molto

più bassi). Rappresentazione semplificata accorpando le regioni con conducibilità

simile.

Anche nel MODELLO DELLA TESTA: ho cervello, cranio e scalpo. Scalpo e cervello simili

mentre cranio con conducibilità molto più bassa. Modello dettagliato a 3 sfere

concentriche: dall’interno ho cervello, cranio e scalpo. Importante sottolineare

comunque che nel volume ho strutture con conducibilità differenti.

EFFETTI DELLE NON-OMOGENEITÀ: sulla superficie devo garantire una continuità dei

potenziali perché queste superfici sono solo di separazione. Sono infatti superfici

passive che non possono generare potenziali. Non ci sono sorgenti sulle superfici.

Inoltre, essendo passive, dovrò garantire anche una continuità delle correnti (tanta I

entra, tanta I esce) -> continuità correnti e potenziali lungo le superficie passive di

separazione.

Considero la variabile ausiliaria psi e vedo come varia nel volume: punto interno o

esterno. Per lo stesso ragionamento di prima, psi soddisfa le ipotesi del potenziale

perché è costante a tratti. Nell’attraversare la superficie, misuro il salto di psi che

dipende dalla conducibilità.

Nel mio volume allora ciascun elemento genera una variazione di psi, che so

descrivere (psi è ancora una variabile fittizia senza significato fisico).

Questa espressione mi dice che sebbene la superficie di separazione non generi sulla

sua superficie delle effettive sorgenti, ha un effetto sul potenziale che un elettrodo

misura sul punto e quindi è come se ci fossero delle sorgenti sulle superfici. Siccome il

potenziale viene modificato dalla sorgente, è come se ci fosse una sorgente che

modifica il potenziale, anche se non c’è fisicamente -> sorgenti fittizie (o secondarie).

Hanno un effetto ma non ci sono fisicamente.

(Psi ha un salto perché c’è una discontinuità nella conducibilità)

CASO DI PIÙ DISCONTINUITÀ

Il potenziale che misuro nel volume dipende dalla sorgente (come se fosse infinito e

omogeneo) ma anche gli effetti delle disomogeneità, visti come sorgenti fittizie ai capi

delle sorgenti stesse.

Ho anche le equazioni degli effetti delle sorgenti secondarie -> potenziale totale

misurabile composto da:

- Contributo sorgenti effettive / sorgente primaria che calcolo con la distribuzione

dei potenziali

- Serie di contributi, ciascuno per ogni superficie di discontinuità, che agiscono

come effetti correttivi sulla situazione ideale -> sorgenti secondarie

OSSERVAZIONI:

- L’effetto delle sorgenti secondarie esiste solo se ho una discontinuità sulla

superficie (se tende a 0, non ce l’ho)

- Il contributo delle sorgenti secondarie è legato alla sorgente primaria. Il

potenziale misurato sulla superficie di discontinuità, infatti, rientra e non l’avrei

se non ci fosse una sorgente primaria. Questo contributo esiste solo se esiste la

sorgente primaria.

- Il gradiente di 1/r misura la distanza tra l’elettrodo e la sorgente che sto

misurando: è tanto più significativa, tanto più l’elettrodo è vicino alla sorgente

di discontinuità (se è lontana posso trascurarla). Decresce velocemente essendo

il gradiente di 1/r.

- Se la sorgente secondaria è lontana dalla primaria, l’effetto fi di si sarà più

basso e posso trascurare le sorgenti secondarie.

L’elettrodo non posso metterlo dove voglio perché mi influenza le misurazioni se ho

discontinuità.

È possibile progettare il sistema di misura in modo tale da minimizzare gli effetti

 delle sorgenti secondarie! Così calcolo il valore delle sorgenti primarie in modo

più preciso. Non è necessariamente da eliminare ma voglio minimizzarlo.

Se l’elettrodo è lontano dalle sorgenti di discontinuit&a