Oscillatore armonico smorzato

SONZIONE

wot

2

1 EQUAZIONE

20a 0 CARATTERISTICA

+ =

+ SODDISFANA

Essere

Deve

&

DELL'EQ DEL

Diff MOTO

. edzt

ext

X(t)

(21 x2(t)

;

+

22 = =

,

RISOLVENDO L'ER CARATTERISTICA :

Alz

1

(f12

= Co2

H A0

21 - - delle

Valori forze

Base Al

In

= 2

-

2

,

↓ (Il

3 DELL'OSCILLATORE)

tipo

Casi FISICI

PARAMETRI

di dipende relazione tra

solelone

: dalla i

>

- Fe

Fr (k)

domna su

<

212 Wol

Fortel -

IS

Ado

1) Soluzioni

Se Umk distinte

> 2 real

-

. "

12

CRIRCO) Wo'-

IS >

A

2) 4mk

Se Real

sorzion concent

0 2

> I

= =

= -

. fino

Alo IS debole

3) e

complesse

se sorzioni coniugate

cumk 2

-

.

CASO 1 forte

smorzamento Wol

(4)

(02 Worl V

# U

Xe i

0 > +

> xc = -

-

- -

- = Beat

t

ext +

edt x(t) Ae

x = + > = +

=

= - wo2)t

wo2t ( -

A e) - x

u m 12

+

+ +

-

x(t) Be I

+

=

Caso 2 smorzamento Celtico più rapidamente

punto Equilibrio

: 0

posizione

tende alla di

caso in il

cui x =

22-wo2

A v

0 0 wo

1 ,

= = =

-

↑ (t) (t) wo

= x(t)

28 0

+

+ =

12

= (t) 2 + (t) (t)

+ 0

+

+ =

& 4) diUdo Addenal

2

in u

= (t) -

#m

& (t))

u (0

(x) + (t)

+

+ + 0

+ =

x(t) V (t) CAMBIO

z VAZABIN

DI

x

+ =

dz(t) 5z(t) Diff Separabil

Al I

0 Variabil

ed OraWe a

=

+ . .

Olt d Vzlt)

-

-

dt -Ut

Jotz enz

Vdt cost

(1-udt) +

INTEURO =

- =

Z I

-

ecoste

Ut cost ut ut

+

e -

z(t) -

Ae

= = =

It

TORVAMO VARIABILE

ALLA T

er t Ae-Ut ent

(t) .

=

evt

eut x 1 A

x

+

. . =

. c

↓ ++

en

(ex (eut

& x) Adt At

> + +

- = =

SEPARO INTECRO

VARABIU

CONCLUSIONE

IN CASI 1 E2 :

ut

- (At 3)

x(t) NON TERTWI

2

e SONO OSCILAZIONI

di

a

+ A Afferenza

-

= Del SempUCE

Non sono Oscillazioni Nel

I Ci forte CRITICO

di smorzamento

Casi E

CASO 3 deBOLE

smorzamento

: H

(4) -

# idz e(wo

(002 - e

14

i V

H

Ode +

=

+ =

- -

- = -

-

= -

W2 percorsatare

-

* ew)t

Ae iv)t

V 1 u

E + - -

Be

Ax 3x2(t)

x(t) +(t) +

+

= =

=

id

A d ALGEBRICA

MANIPOLAZIONE

B -

A a

= , ,

SOSTITUENDO B

A - 4)

- i(wt

ut)ei(wt d)

ut iwt

ibe +

Ut fiwt

&eide + c

-

&e - -

&e

-

(t)

↑ + +

-

= = d

wt

=> +

d)]

(wt

ut [ci(wz d) +

-i

+

e etit

forudevco

&

(t) isex

cost

c

+

↑ =

:

= =

2cos)wt d)

= +

[cosu

=c pl)

(wz iseu(w

d)

cs(wt

a) +

se + +

+

+ -

Ut

e

X(t) cs(wt a)3

a +

= - ↳

in DELL'

SOWZIONE

(wa

hp 1 d)

Xit)

1 Oscillatore

0 resistenza

forza a armonico

viscosa +

cos

+ o

= 0 -

: =

= = SMORZATO

NON

~ Graficamente :

X(t)1

su 1) OSCLAZIONE SMORTATA Camba)

2) /ampiezza

periodico

pseudo

moto

t pseudo-pulsazione =

3) esevao-perlodo

e e sopet

l'u introdotto

Punto oscillazioni

comple

smorzamento debole

di pulsazione

condizioni

Il di

in :

,

, 22

WE

w Wo

= - T zi

Psevapperiodo

E : = W

è esponenziamente

L'Amplezza smorzata . e perche

E

PARI periodico

recolari non

inverte

Moto Interval a ma

a

si

Il il

,

POSIZIONI

NELLE

PUNTO RIPASSA STESSE

NON 19103

OSCILLATORE SMORZATO

ARMONICO FORZATO Può

Si Persistente

l'oscillazione

rendere

I Realizzare Quindi sistera FISICO

Un REALE

E

SINUSOIDALE

IFORZA

#(t) FREQUENZA DEFINITA

OSCILL

CHE E

CON

TERYWE FORZANE sit

funzione

> -

-

< Ampiezza presenza di

anche

costante in

e Es ,

ATTRITO ViscOSO

S

O

- (

reg X

o

= È funzione amplezza

una periodica sua

la vara

y c

con

I

by

ma (wt)

Fo

kx seu

+

= -

- Wo

En PULSAzione MOTO

del

= Avremmo

Armonico che

i b Se

=

+ + & TERMINE

Assenza

In di TERMINE

FORZANTE E IN VISCOSO

DI SMORTAMENTO

↳ RESISTENZA

↳ SENZA

2x PULSAZIONE PULSANTE

TERMINE SENZA TERMINE

VISCOSA

[ E

= FORZANTE Wo Im

: =

DELL'OSCILLATURE

& quella propria

impressa

forza ha una pulsazione da

le

la Wo

* wox

22x Tsu(wt) omogenea

RISOLVERE

+ non

EQ eg It ordine

DIFF

+ DA X

~ in

= .

. RICHAMO METODO

~ 4) x(t) p(t)

xo(t) +

+

= , ,

SOWZIONE : da ARMONICO

OSC SMORZATO

1 .

trovare

sobbaro

~ 4

Particolare QU

Questa sol. Trovato

Xp(t)

(t) Xo(t)

* +

= A /Ampiezza)

>

-

- (wt d)

Ipotizziamo xoseu

Xp TROVARE

DOBBAMO

+ I

= To

=

wXocos(wt waxo

Xp b) (wt d)

seu

+ +

=

= p -

Xp

Xp

SOSTITUIAMO Xp Nell'equazione

e

, che

imporce

dobblro

wohtosu(wt

w2 b) a)

(wt b)

24wxo ~

= Seu(wt

(wt

Seu

To +

cos +

+ +

+ VALCA

- UXocoscut

w"To woto

cosd-w28to

servutcosd-w"to coscut-send selut- wot

o sencut-cosa coscutsend

sel

+ 2 + +

- =

- 7

5 6 3

2

ut

T seu

= )

ct

4 sel l

TERtW

- con

, - - -

(co-w

3

I utseud-w

sent waxo

cos

to - 2

cost /wo-w)

seu wat tut

* p

cos

+ -

=

-2Vw

tgp = (Wo2 tgd

(2) 1

cosa

send

Usiamo

- : ;

, = = tg2d

tg2d

1 1 +

+

Cosd(Wo-W2)

· 21 & E

WXo

to d

tg

Seu compaia

vocino la

che

=

-

Sin d

Sostituendo d

e cos d

25Wo Eg

(Wo2-w2) E

* espucttare Rispetto

Devo Ata

·

- =

tg2a tg2a

1 1 +

+

[(Wo-w2)-28Wtgd) tg2d

Fo

= 1

x +

M

tg2d

Fo 1 +

Xo = (2) d]

[(Wo2 28wtg

m -

. -