Oscillatore armonico

Oscillatore Armonico

d² x(t)/dt² + ω₂ x(t) = 0

x(t) = A sin (ωt + φ)

• ampiezza
• fase iniziale
• pulsazione

T = 2π/ω

γ = 1/T

Parametri

A e φ: dipendono dalle condizioni iniziali

ω: dipende dalla dinamica

α = −ω₂x(t)

Esempi di moto armonico:

• forza elastica → m d²x/dt² = −Kx
• pendolo semplice → m d² θ/dt² = g/l θ ≈ 0
• pendolo composto → m g θ/I ≈ 0

ω₁² = K/m

ω₂² = g/l

Ω₂ = g/l = m g h/I

Esempio: forza elastica (forza conservatrice)

E_tot = E_K + E_P = cost

1/2 m ω² A² = cost

Somma di moti armonici ω₁ ≠ ω₂

• moto (x₁ + x₂) / 2
• (x₂ - x₁) / 2

Per entrambi d²x/dt² + ω² x = 0

x(t) = A sin (ωt + φ)

Oscillatore Armonico

d²x(t)/dt² + ω²x(t) = 0

x(t) = A sin(ωt + φ)

T = 2π/ω₀       X_t = 1

• Parametri A, ω, φ
• A, φ dipendono dalle condizioni iniziali
• ω dipende dalla dinamica

a = -ω²x(t)

Esempi di moto armonico:

• forza elastica: md²x/dt² = -Kx
• ω² = K/m
• pendolo semplice: d²θ/dt² + g/l θ = 0
• ω² = g/l
• pendolo composto: mgℓ/I θ
• Ω² = g/l = mgℓ/I

Esempio forza elastica

(forza conservativa)

E_tot = E_K + E_P = cost

½mω² A² = ½ Kx²

• x(t) = A sin(ωt + φ)
• v(t) = ω A cos(ωt + φ)

A² = (A cos(ωt + φ))² + (A sin(ωt + φ))² = A²

E_K + E_P = ½ m v² + ½ m ω² x² = ½ mω² (A² - x²)

→ E_tot = E_K = E_P = ½ m ω² A² = cost

Somma di moti armonici ω₁ = ω₂

moto (x₁ + x₂)/2   ⊕   (x₁ - x₂)/2

Ipotenii: m₁ = m₂ = m

Per entrambi: d²x/dt² + ω²x = 0     ω² = K/m

• x(t) = A sin(ωt + φ)
• x₁(t) = A₁ sin(ωt + φ₁)
• x₂(t) = A₂ sin(ωt + φ₂)

x_s = x₁ + x₂ soluzione dell'equazione differenziale

x_s(t) = A sin(ωt + φ) = A₁ sin(ωt + φ₁) + A₂ sin(ωt + φ₂)

• sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

Acosφ = A₁cosφ₁ + A₂cosφ₂   sinφ = A_sinφ + A₁sinφ₁

A_sin ± A₂sinφ₂   φ = t_f   ω   A₁ cosφ₁ - A₂ cosφ₂

A₁ sin φ₁ - A₂ cos φ₁

Qualcosa somma ρ = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosφ₂ + φ₁ + 2A₁A₂sinφ₂

cos(ϕ₁ - ϕ₂) = cosϕ₁cosϕ₂ + sinϕ₁sinϕ₂

A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(ϕ₁ - ϕ₂))

A dipende dallo spostamento

d = θ₁ - θ₂

Anche la somma è un moto armonico

Diversi casi

• no spostamento

ϕ₁ = ϕ₂

d = 0, 2π, 4π...

opposizione di fase

• θ = ϕ₁ - ϕ₂

A = √(A₁² + A₂² - 2A₁A₂)

= |A₁ - A₂|

Se A₁ = A₂ ⇒ A = 0

• quadratura di fase

ϕ₁ - ϕ₂ = π/2, 3π/2, ...

Una funzione seno, l'altra le coseno

A = √(A₁² + A₂²)

Metodo di Fresnel

metodo grafico per rappresentare moti armonici

A₁ con ampiezza A₁

A₂ con ampiezza A₂

Lungo x(t): A₁sinωt + A₂sin(ωt + ϕ₁)

moto armonico

X = x₁ + x₂ ⇒ (sovrapposizione)

A₁ + A₂ = Â

Δt = t₂ - t₁ = (ω(t + ϕ₁)) - (ω(t + ϕ₂)) = ϕ₁ + ϕ₂

A² = (Â₁ + Â₂)²

A = √(A₂² + A₂² + 2A₁A₂cos(Δt - Δt₁))

Somma di moti armonici con ω₁ ≠ ω₂

x₁ = A₁sin(ω₁t + ϕ₁)

x₂ = A₂sin(ω₂t + ϕ₂)

x₁ + x₂ non è soluzione di nessuna delle due equazioni

Δt = t₂ - t₁ = (ω₁t + ϕ₁) - (ω₂t + ϕ₂)

1/2(ω₁ - ω₂)t + (ϕ₁ - ϕ₂)

Modulazione di Ampiezza

Esempio:

A₁ = A₂ = A

ϕ₁ = ϕ₂ = 0

x₁(t) + x₂(t) = A sin(ω₁t) + A sin(ω₂t)

sin p + sin q = 2 sin  cos (   )

x₁(t) + x₂(t) = 2A cos(Ω t) sin(ω t)

= A(t) sin(ω t)

A(t) = 2A cos(Ω t)

Ω =  

ω =  

Fenomeno dei battimenti

(n < ℓ ω)

Somma di modi armonici su assi ortogonali

Corpo puntiforme di massa m soggetto a due forze elastiche

lungo  

lungo : due assi: x(t) = A sin (ωt)  spostamentoy(t) = B cos(ωt + ϕ)

Se x e y sono in fase (ϕ = 0, 2π)...x(t) = A sin (ωt)y(t) = B sin (ωt)

 y =  

y =  

tg  y =  

Se x e y sono in "quadratura" ϕ =  

x(t) = B sin(ωt)y(t) = B cos(ωt)

^{2 2} ellisse

Con

l'ellisse è percorso in senso antiorario

Somma di moti s.h.m. ortogonali

w_x/w_y = ↓ circe di Lissague

Oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa

Forza viscosa: R_x = -λvx

ma + mλdx/dt = -Kx → mλdx/dt = Kx

Caso 1: Smorzamento forte

x(t) = e^-f[Ae^f+√ + Be^-f+√ ]

Caso 2: Smorzamento critico

x(t) = e^-ft (At + B)

Caso 3: Smorzamento debole

x(t) = e^-ft [Ae^iwt + Be^-iwt ]

• [A + B] A e B devono essere oppure uno è complesso coniugato dell'altro
• A = a + ib, B = a - ib

x(t) = e^-ft [2a cos(wt) + 2b sin(wt)]

x(t)=e^-βtAsin(ωt+φ)

A=√(a²+b²)

tgφ=\frac{b}{a}

ω=\sqrt(ω₀²-β²)≈ω₀

moto pseudoperiodico T=τ=2π/ω

L'ampiezza dopo uno pseudoperiodo diminuisce di un fattore

\frac{x(t+T)}{x(t)}=e^-βτ=e^-μmg/2k

Se ζ è smorzato da attrito radente:

moto pseudoperiodico T=2π\sqrt{m/k}

md²x/dt²=-Kxξ=μmg se mgl = 0

L'ampiezza diminuisce ogni pseudoperiodo di 4μmg/K

Energia:

• moto armonico semplice:

d²x/dt²+ω₀²x = 0 ω₀²=K/m

T=2π/ω₀

x(t)=Asin(ω₀t+φ)

s(t)=ω₀Acos(ω₀t+φ)

E_tot=\frac{Kx²}{2} + \frac{1}{2} mω₀²

= \frac{1}{G} \int_tE_p(t)dt =\frac{1}{2}kA²\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}mω₀²A²\frac{1}{2}E_tot

= \frac{1}{G} mω₀²A