Orale/Scritto Analisi 1

IR: è un insieme che verifica i seguenti ASSIOMI

• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c)
• Proprietà commutativa: a+b = b+a
• Proprietà distributiva: a(b+c) = ab+ac
• Esistenza elemento neutro: a+0 = a
• Esistenza dell'opposto: a-a = 0

Assiomi dell'ordinamento

Assioma della completezza

• 2 sottoinsiemi di R (non vuoti) tali che tutti gli elementi del 1° precedono tutti gli elementi del secondo.
• Esiste un elemento c separatore: A < B

Limitato/Illimitato

• Limitato inferiormente: ∃h∈R, ∀x∈A: h≤x
• Limitato superiormente: ∃k∈R, ∀x∈A: x≤k
• Illimitato superiormente: ∀h∈R, ∃x∈A: x>h
• Illimitato inferiormente: ∀h∈R, ∃x∈A: x<h

Estremi

• Superiore: + piccolo fra M (maggioranti) verso -> ε→α (aumenta 0)
• Inferiore: + grande fra m (minimont) verso +ε→α

Funzione

è una condizione che associa ogni elemento degli di A (insieme non vuoto) ad 1 solo elemento di B (2° insieme)

Dominio

è sottoinsieme di A (insieme di Partenza) in cui ha senso applicare la funzione

Codominio

è sottoinsieme di B (insieme di Arrivo) composto dalle immagini del dominio

Successioni

Sono funzioni ma in cui A = IN B = IR

Successioni Regolari

• Convergenti → l ≠ ±∞
• Divergenti → l ±∞

Esempio (a_n = (-1)ⁿ)

a = (-1)ⁿ * n

Definizioni di limite

∀ V_l, ∀ ε > 0, ∃ D_α, ρ(x₀): ∩ D_α = {x₀} ⇒ f(x) ∈ I_ε ⇒ cioè se x ∈ I_x0, allora f(x) ∈ all'interno del limite

Scritto con le successioni

∀ m ∈ ℕ, m ≥ m: a_m ∈ I_α ⇒ si avvicinano sempre di più allo ε

Punti:

1. A^': Accumulazione, comprendente elementi diversi
2. I_D: Punto isolato ∀ V_x0 ∩ D = ∅
3. A: Punto interno ∃ I_x0 ∩ D;
4. ∂A: Punto frontiera ∀ V_x0, I_x0 ∩ D ≠ ∅ I_x0 ∩ C^c ≠ ∅

Forme Indeterminate:

^∞⁄₀, 0⁄0, ∞/∞

Punto di accumulazione:

D_f⊆R D≠∅ e x₀∈D’

f è un infinito per x→x₀ lim_x→x0 f(x)=±∞ (0→∞) x^α

f è un infinitesimo per x→x₀ lim_x→x0f(x)=0

Infinito con x→∞ Infinitesimo x→0

Confronto fra Infiniti:

f: D⊆R D≠∅ e x₀∈D’ x₀

Confronto: lim_x→x0 f(x)⁄g(x)

• ∞ f(x)≫g(x)=r(r=f(x)=infinito di ordine superiore
• 0 q(x)≫f(x)→q(x) è infinito di ordine superiore
• k≠0(k∈R)f(x)⁄g(x)=sono infiniti dello stesso ordine

7→ I due limiti non sono confrontabili

Vale il principio di sostituzione dei infiniti (come nella ecc.)

f(x)≫g(x)→f(x)+g(x)~f(x) assimila per x→x₀)

f(x)=x^α g(x)=x^β α≤β>0 oppure f(x)=a^x g=bx^b con a>b≥0

Vale il “limite notevole”: f(x)=(1+ 1⁄x)^mlim_x→∞ (1+1⁄x)^x=e

Com 8^x⟶∞ f(x)→e

Vale la gerarchia dei Infiniti:

• x^x a^x x^α log(x)

lim_x→x0 (1+ f(x)⁄A(x) )^A(x) = e Dove lim_x→x0 A(x)=±∞(∞→∞)

Teorema di Fermat

• Ipotesti
• x₀ è un massimo/minimo relativo
• f derivabile in x₀

f'(x₀) = 0 è un punto stazionario

MAX O MIN

f'(x) = 0

• MAX MIN se

f''(x) = 0 e f'(x) ≠ 0

FLESSO TANG. oblique

Teorema di Rolle

• f(a) = f(b)
• f(x) continua [a, b]
• f(x) derivabile ]a, b[

Allora ∃ c: f'(c) = 0 (almeno 1)

Dimostrazione

1) Per il teorema di Weierstrass (unica ipotesi f continua)

∃ m, M ∈ [a, b]

Dato che per ipotesi f(a) = f(b), abbiamo 2 situazioni:

1. M = f(a) M = f(b) f costante
2. M ∈ Θ^o (interno) => ∃ f'(c) = 0

Conseguenze Teorema di Lagrange

I. Se f'(x)=0 ∀x∈]a,b[ ⇔ f è costante

Dimostrazione

1. Per ipotesi sappiamo che f'(x)=f'(y) ∀x∈[a,b]
2. Applico la definizione di f'(x), f'(x) - f'(y) = 0 ∀x∈[a,b]

II. f'(x) è monotona in [a,b] ⇔ f'(x) ≥ 0 ∀x∈]a,b[_psi Crescente

Dimostrazione

1. Per ipotesi f'(x) continua e derivabile
2. Applico la definizione di rapporto incrementale

f'(x) = R(h) = (f(x+h) - f(x)) / h

Quindi f(x+t)_psi = f(x) per f'(x) ≥ 0 ∀x∈]a,b[_theta

f': Dobiamo dimostrare che è monotona crescente

1. Per ipotesi f'(x)>0 ⇒ R(h) = f(x+h) - f(x) / h > 0
2. Quindi
   • f(x₂) > f(x₁) se x₁ > x₂ definizione di monotonia crescente

Integrali (Prop)

∫_a^b f(x)dx = m · (b−a)

• Integrale definito è un numero, indica l'area (se finita) del trapezoide di f_×compreso tra la funzione e l'asse x, delimitato fra [a,b].

Proprietà:

• ∫_a^b c = c · (b - a)
• ∫_a^b f(x)dx + ∫_b^c f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx
• ∫_a^b [f(x) + g(x)]dx = ∫_a^b f(x)dx + ∫_a^b g(x)dx
• k ∫_a^b f(x)dx = k ∫_a^b g(x)dx
• -∫_a^b f(x)dx = ∫_b^a f(x)dx
• f(x) ≤ g(x) ↔ ∫_a^b f(x)dx ≤ ∫_a^{b g(x)dx}

Valore medio di ∫_a^b f(x)dx: f(z) = ∫_a^b f(x)dx / (b - a)↔ ∫_a^b f(x)dx = (b-a) • f(z)

Riemann

♠ Le proprietà valgono se f(x) è Riemann Integrabile:

1. Denominiamo una partizione P: {x₀, x₁, x₂, ..., x_m}a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_m = b
2. In ogni intervallo I_k=(x_k, x_k+1) vuole: inf f_k ≤ sup f(x)

In generale m P^∞_I=1 inf f_k ≤ m P^∞_I=1 sup f_k (⇒ P) ≤ S(P) se f(x) → S(P) diminuisce

S(P) = A

Se f è Riemann integrabile se ∃ [a,b] (non fortasi continuo)

ESEMPIO 1:

∫₀⁴ 1 / 2√x³ dx

1. lim_z→0⁺ ∫_z⁴ 2√x dx = lim_z→0⁺ [√x]⁴_z
2. lim_z→0⁺ [√x]⁴_z = lim_z→0⁺ [√4 - √z] = √4 = 2 Converge

ESEMPIO 2:

∫₂^h 1 / x² dx

1. lim_z→+∞ ∫₂^h 1 / x² dx = lim_z→+∞ [-1/x]^h₂
2. lim_z→+∞ [-1/x]^h₂ = lim_z→+∞ [-1/h + 1/2] - (1/2) Converge