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Prerequisiti 1

Teoria dei vettori: i vettori applicati

1. Definizione di vettore (ripasso):

• Il vettore è l'ente costituito da una direzione, un'intensità (modulo) ed un verso ed è rappresentabile mediante uno degli infiniti segmenti orientati aventi una direzione, una lunghezza ed un verso assegnati. Quando uno qualunque di questi segmenti corrispondenti al vettore v è assegnato, il verso del vettore è quello che fornisce P alla Q, e rappresentiamo rispettivamente l'ogni inizio e quello finale, e la direzione è la retta passante da P a Q. Il modulo sempre positivo, è un numero reale; definisce l'ampiezza del vettore e dipende dall'operazione fisica che esso rappresenta (m, l, r, n, ...).
• Un versore è un vettore di lunghezza unitaria, il cui scopo è quello di individuare una specifica direzione data un vettore v possiamo sempre pensare di associare un versore.

Vers(v) = v/ |v| dove |v| indica il modulo del vettore v

• Un versore è dunque un vettore avente stessa di direzione e verso del vettore corrispondente, ma modulo uguale a 1

1. Regola del parallelogramma

La risultante di due vettori u e v è il vettore R, individuato dalla diagonale o orizzontale del parallelogramma che ha per lati i due vettori u e v. L'operazione consiste nel trasportare il due vettori u e v paralleli mentre siano a far combaciare l'ugual origine e poi crear dell parallelogramma con diagonale R.

2. Somma dei vettori per componenti

Supponiamo che dei due vettori u e v siano note le componenti cartesiane

U = (u₁, u₂, u₃) v = (v₁, v₂, v₃)

Allora il vettore somma u+v si ottiene dalle componenze di u e v; cioè...

u+v = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)

3. Proprietà della somma di vettori

• u+v = v+u Proprietà commutativa
• (u+v)+w = u+(v+w) Proprietà associativa
• u+0 = Proprietà del vettore nullo
• u+(-u) = 0 Proprietà del vettore opposto

1. definizione di prodotto scalare, calcolo diretto e per componenti

Si definisce prodotto scalare fra due vettori u e v (u x v, u scalare v) l'operazione che associa ai due vettori il numero reale |u| |v| cos(u,v), essendo quest'ultimo l'angolo fra le direzioni orientate di u e v

u x v = |u| |v| cos (u,v)

inoltre è uguale al prodotto del modulo di u per la componente orientata del'vettore, secondo la direzione orientata del primo

u x v = |u | v_u |

Data una retta orientata r e il suo versore e, vettore unitario parallelo e con verso concorde a r, si ha per un generico vettore u

u x e = |u| |e| cos (u,e) ± u_r

Il calcolo per componenti è il seguente, date u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃)

u x v = u₁ v₁ x u₂ v₂ x u₃ v₃ = | ∑ u_x v_x |

v_1/v2 = | u | | 1° u₂ |

2. proprietà del prodotto scalare

• u x v = v x u proprietà commutativa per uno scalare
• (k x u) x v = (v x k) x u proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione v
• u x (v + w) = u x v + u x w proprietà distributiva rispetto all'addizione
• v x 0 = 0 x v = 0 prodotto nullo
• Se u = 0  u x v = 0 prodotto nullo

3. prodotto scalare per calcolo del modulo di un vettore

Se u = v  u x v = |u| |v| = |u| ²

poiché cos(u,v) = 1

5. prodotto scalare come condizione di direttori nulli

Se u o v = 0 e u ≠ 0 e v ≠ 0  u x v = 0  u ⊥ v

poiché cos(u,v) = 0

6. proiezione vettore su direzione orientata

Data una retta orientata r, sia e il suo versore (vettore unitario parallelo ad r), sia l per un generico vettore u

u x e = |u| |e| cos (u,e) = u_r dove |e| = 1

|u| | cos (u,e) = u_c = u componente di un vettore secondo la retta orientata r proiezione vettore per senser(r)

2. Moltiplicazione fra matrici

Una funzione fra due matrici [A]_m×r e [B]_r×n, è definibile se e solo se il numero di colonne di [A] è uguale al numero di righe di [B]. In questo caso le matrici sono "compatibili per la moltiplicazione."

[A]_m×r [B]_r×n = [C]_m×n => (m×p) (p×n) = (m×n)

I cui elementi C_ij sono dati da

C_ij = Σ a_ik b_kj i, j = 1, 2, ..., m & k = 1, 2, ..., n

Si osserva che: C_ij = (a_i1, a_i2, ..., a_ip) (b_j1, b_j2, ..., b_jp) Corredo prodotto scalare fra il vettore algebrico rappresentante una riga i-esima della matrice [A] e il vettore algebrico rappresentante una colonna j della matrice [B]

Proprietà

• [A]([B][C]) = ([AB][C])[C] PRO ASSOCIATIVA
• [A]([B]+[C]) = [AB]+[AC] PRO DISTRIBUTIVA
• [A][I]_n = [I]_n[A] CONNOTAZIONI CON MATRICE UNITARIA

In cui gli elementi m×n possono essere suddivisi mediante linee verticali e orizzontali, in quadri di dimensioni minori che prendono il nome di sub-matrici. In tal senso si dice che si opera una partizione della matrice.

Il termine minore si usa quando il proseguimento di fenomeni ai sub-matrici il quadroe.

Es.

  a₁₁, a₁₂, a₁₃  -------- -------[A] = | a₂₁, a₂₂, a₂₃ | --> [A₁₁, A₁₂]  a₃₁, a₃₂, a₃₃[A₂₁, A₂₂]

A₁₁ = [a₁₁]

A₁₂ = [a₁₂, a₁₃]

A₂₁ = [a₂₁, a₂₂, a₂₃]

A₂₂ = [a₂₁, a₂₃]    ------- -------    a₃₂, a₃₃

2. Moltiplicazione di matrici e proprietà tipo Vischermia

Si definisce prodotto righe per colonne il moltiplicare per una matrice [A]_m×r e la matrice [B]_r×n, tale operazione è definibile se e solo se il numero di righe della prima è uguale al numero di colonne della seconda, in questo caso si dice che le matrici sono compatibili per la moltiplicazione.

[A]_m×p[B]_p×n = [C]_m×n => C_ij = Σ a_ik b_kj dove i, j = 1, 2, m e j = 1, 2, n

Il quadro di elementi m×n può essere suddiviso mediante linee verticali e orizzontali, in quadri di dimensioni minori che prendono il nome di sub-matrici. In tal senso si dice che si opera una partizione della matrice.

Equazione di moto rigido piano e centro di rotazione istantaneo

Un atto di moto rigido si dice piano se tutti gli spostamenti sono paralleli a un piano.

Utilizzando il teorema di Mozzi, generico atto di moto elicoidale, si può dire che un generico atto di moto rigido piano è pura rotazione attorno un'asse giacente con una direttrice dell'elicoide, angolare dψ.

Fissando il sistema di riferimento ortogonale destrorso, in modo tale che in x₁y₁ sia perpendicolare al piano del moto (ortogonale alla rotazione), per il generico P₁ si ha dϚ=0

dx₁ = dx₂ - dψ₂(y₁-y₁)

dy₁ = dy₂ + dψ₂(x₂-x₁)

Il centro is istantaneo di rotazione per un atto di moto rigido piano rappresenta l'intersezione tra l'asse di is istantanea rotazione di un atto di moto rigido piano e il piano x₁y₁ per quanto detto lo spostamento è nullo.

y_cir = (dx₂/dψ₂) + y₂

x_cir = (dy₂/dψ₂) + x₂

Sistemi catene cinematiche

Un sistema si blocca quando, presenzia il grado di cambina presentuna possibile nuova configurazione rispetto al precedente inicale, prende il nome di catena cinematica.

Un qualsiasi spostamento infinitesimo di un corpo rigido piano può essere ricondotto a una rotazione intorno ad un centro C definito il centro di rotazione del corpo stesso.

Se due elementi rigidi sono connessi definiamo centro relativo di rotazione C_ik fra due elementi _i e _k quel punto che rappresenta il centro della rotazione cui può dodes lo spostamento rigido relativo tra i due evenemi i e k.

Propag. a) I centri assoluti C_i e C_k di due elementi rigidi i e k mutuamente collegani devono essere allineati con il centro di rotazione relativo C_ik

• (C_i) <–> (C_ik) <–> (C_n)

Propag. b) I centri relativi C_ik, C_ij, C_jj di tre elementi i, k, j appartenenti ad un sistema rigido devono essere allinea.

• (C_ik) <–> (C_ij) <–> (C_ij)