Fisica 1 - Appunti per superare Scritto e Orale

Cinematica del Punto

Parte della fisica che studia il moto dei corpi.

In particolare si vuole studiare:

Non ritenere

Punto materiale → qualsiasi corpo di dimensioni trascurabili rispetto a noi i corpi dello spazio in cui ci muoviamo

X = x(t)

Nella cinematica del punto nei moti rettilinei si considerano solamente le traslazioni

Si vuole quindi studiare il moto del punto materiale, che è noto se è nota la sua posizione in funzione del tempo.

ovvero quindi:

• X = x(t)
• Y = y(t)
• Z = z(t)

3 dimensioni

• R = r(t)
• Θ = Θ(t)

2 dimensioni (possibile con raggio e angolo in funzione del tempo)

coordinata polare - possibile anche con x(t) e y(t)

Di questo punto materiale si vuole studiare la traiettoria, ovvero il luogo dei punti occupati successivamente dal punto materiale in movimento.

Le traiettorie è possibile studiarle attraverso altre 3 grandezze fondamentali oltre che la posizione:

• Spazio
• Velocità
• Accelerazione

Questo punto materiale è considerato con dimensioni trascurabili a causa del sistema di riferimento che usiamo. Esso non può avere rotazioni e non può avere altri movimenti fisici come la vibrazione.

Si può quindi studiare le 3 grandezze preceduti in un moto rettilineo:

Se andiamo a descrivere il nostro punto in posizioni X_t in istanti di tempo t_n andiamo a creare un diagramma orario (funzione x = x(t) che è funzione del tempo).

Velocità Media

Rapidità con cui avviene lo spostamento tra due punti nello spazio in un intervallo di tempo.

V_m = ^{x₂ - x₁}/_{t2 - t1} = ^Δx/_Δt

Calcolo dello spazio percorso nel modo rettilineo

Conoscendo la velocità istantanea, con x_o posizione iniziale.

Δt = t - t_o , t_o = 0 corrisponde Δx = x - x_o

V(t) = ^dx(t)/_dt

dx(t) = V(t) • dt

⟹ ∫_xo^x dx = ∫_to^t V(t) dt ⟹ x - x_o = ∫_to^t V(t) dt

⟹ x = x_o + ∫_to^t V(t) dt ⇒ calcolo dello spazio percorso conoscendo V(t).

x_o ⇒ t_o

Quale è la connessione tra V_m e V(t) ?

^Δx/_Δt = ¹/_{t - to} ∫_to^t V(t) dt

quindi la velocità media in [ ] è uguale al valor medio della velocità istantanea nell'intervallo di tempo considerato.

Di seguito è riportato l'andamento in funzione del tempo di accelerazione, velocità e posizione, con a = 1 m/s² e V₀ = 2 m/s

Moto verticale di un corpo

Assumendo di non considerare la resistenza dell'aria, un corpo che cade in vicinanza della superficie terrestre si muove in basso con un'accelerazione a = -g = -9,8 m/s²

→ il moto osservato è rettilineo uniformemente accelerato.

Possibili situazioni:

1. Corpo materiale lasciato cadere da un'altezza h → velocità iniziale nulla.

Condizioni iniziali:

x₀ = hV₀ = 0t = t₀ = 0

⇒ y(t) = -gtx(t) = h - ½gt²

t_c = √^2h/_g,V_c = √^2gh

Diagramma non armonico completo

Di seguito il diagramma dello sposamento

" - Diagramma della velocità

" - Diagramma dell'accelerazione

Calcolare le condizioni iniziali

X(θ) = X_o = A senθ

Y(θ) = V_o = wA cosθ

Calcolare le costanti A e θ dalle condizioni iniziali

Tgθ = ^{w x_o}/_Vo

A² = x_o² + ^V_o2/_w²

Punto materiale in 2 dimensioni

Il punto P è descritto da una posizione in funzione di t (tempo), di una direzione e di un verso.

Per riuscire a descrivere questo punto c'è bisogno del concetto di vettore.

Un vettore è costituito da: modulo, direzione, verso.

Operazioni sui vettori

1. Prodotto per uno scalare

   Si varia monovamente il modulo del vettore moltiplicando lo stesso per una quantità λ.

   b̅ = λ a̅, λ ∈ ℝ

   λ ≥ 0 -> b̅ -> b̅ > 0

   λ = -1 -> b̅ = - a̅ (stesso modulo, ma opposto in verso)

2. Somma di vettori

   c̅ = a̅ + b̅

Con lo stesso procedimento si ottiene la velocità istantanea

^V_r = ^dr/_dt

la differenza tra i due punti è data da Δr, quando Δr → 0 questo vettore (Δ^r) è perpendicolare a r(t)

d^r = ds ^μ_t

se ^r(t) = x^μ_χ + y^μ_γ il vettor velocità istantanea si ottiene derivando le componenti lungo le direzioni x e y.

^V(t) = ^dx/_dt ^μ_χ + ^dy/_dt ^μ_y

Accellerazione nel moto piano

L'accelerazione non è parallela alla velocità, è diretta verso le concavità della curva che rappresenta la traiettoria.

si definisce accelerazione vettoriale come la derivata della velocità vettoriale rispetto al tempo o come derivata seconda del vettore spostamento rispetto al tempo.

a = dv/dt = d²r/dt²

Dinámica del Punto Materiale: Leggi di Newton

I^a Legge della Dinamica

Conosciuta con il nome di principio di inerzia

Enunciato

Un corpo su cui a forze non subisce cambiamenti de velocità; cioè resta in stato di quiescere (v = 0) se era fermo, oppure si muove di moto rettilineo uniforme (v = cost)

F = nulla → V = cost → ã = 0

II^a Legge della Dinamica

Conosciuta con il nome di principio di proporzionalità, vuol dire la forza F è proporzionale all'accelerazione mediante un coefficiente di proporzionalità che è m (massa inerziale del punto materiale).

m grande → minore accelerazione, m piccolo → Accelerazione del punto sarà maggiore,

Massa Inerziale → esprime l’inerzia del punto, cioè la sua resistenza a variare il proprio stato di moto. (ovvero modificare la velocità in modulo direzione e verso).

Enunciato

Una forza che agisce su un corpo, produce su di esso un’accelerazione ovvere la stessa direzione della forza ed il modulo della forza è pari ad m · ã.

3

F = costante ➔ moto uniformemente accelerato

4

Moto piano curvilineo

L'accelerazione presenta 2 componenti:

• a_T
• a_N

La risultante delle forze agenti sul punto materiale in un moto piano curvilineo ha 2 componenti:

• F_N: perpendicolare alla traiettoria, provoca variazione di direzione della velocità (forza centripeta).
• F_T: tangenziale alla traiettoria, determina la variazione del modulo della velocità (forza tangenziale).

F = m · a_T + m · a_N = m · ^dv/_dt · u_T + m ^v2/_R · u_N