Orale completo Analisi 2

Name: Orale completo Analisi 2
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Author: sassofono53

Revisionato il 12/07/2026

di sassofono53

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Appunti completi del corso Analisi 2 delle professoresse Cristina Marcelli e Francesca Papalini.Esito esame 30.Quaderno completo del corso, comprende spiegazioni, dimostrazioni ed esercizi …

Esame Analisi 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Papalini Francesca

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2022-2023

66 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Equazioni differenziali a variabili separate

1^a ordine

Le due variabili devono poter essere isolate.

Svolgimento

Teoria

y' = f(x)g(y)

d(y(x))/dx = f(x)g(y)

d(y(x))/g(y) = f(x) dx

Integriamo

∫1/g(y) dy = ∫f(x) dx

Esempio

y' + y² = ln x

dy(x)/dx - y² = ln x

∫dy/y² = ∫ln x dx

-1/y = x ln x - x + c

y = -1/(x ln x - x + c)

Inoltre

Oltre una soluzione di y' = f(x)g(y) esiste y̅ ∈ R: g(y̅) = 0

Allora y = y̅ → Altra soluzione

g(y) = y → g(0) = 0

y = 0

Equazioni differenziali di 1^o ordine

Le due variabili devono poter essere isolate.

Svolgimento

Teoria

y' = f(x) g(y)

d(y(x))/dx = f(x) g(y)

d(y(x))/g(y) = f(x) dx

Integrando

∫ 1/g(y) dg = ∫ f(x) dx

Esempio

y' + y² = ln x

∫ 1/y² dg = ∫ ln x dx

-1/y = x ln x - x + C

y = -1/(x ln x - x + C)

Inoltre

Oltre a soluzione di y' = f(x) g(y) esiste ∃ ĝ ∈ ℝ; g(ĝ) = 0

Allora y = ĝ → Altra soluzione

g(ŷ) = 0 → y = ŷ → ŷ = 0

1^o ordine

y'(x) + a(x)y = f(x)

Se a(x) = 0

y(x) = f(x)

f(x) = 0

y'(x) = -a(x) · y

Metodo fattore integrante

· Si trova una primitiva di a(x)

Moltiplico tutto per e^A(x)

y'(x)e^A(x) + a(x)y e^A(x) = f(x)e^A(x)

= d/dx [ y(x)e^A(x) ]

y(x)e^A(x) = ∫f(x)e^A(x) dx + c ↔ y(x) = (∫f(x)e^A(x) dx + c)/e^A(x)

Esempio

y'(x) = x/g = 2x/f(x)

Studio la primitiva di a(x):

A(x) = ∫2xdx = x²

y = ∫[∫2x · e^-x² dx + c]/e^-x²

y = -2 e^-x² + c/e^x²

La sua costante arbitraria c

SE VIENE fornita una condizione

y'(x) + a(x)y(x) = f(x)

y(x₀) = y₀

Equazione di Bernoulli

y' = a(x)y + b(x)y^α

α ∈ ℝ α ≠ 0, 1

y' / y^α = a(x) y / y^α + b(x)

Si pone z(x) = y^1-α (x)

z'(x) = (1-α) z(x) a(x) + (1-α) b(x)

Esempio

y' = 2y - xy⁵

z'(x) = (2) z(x) - (x)

Equazione lineare di 1^o ordine

y'(x) + a(x) y = f(x)

∫f(x) e^A(x) dx + C

Dato che z(x) = y^1-α (x)

Soluzione => y(x) = z(x)

y^'' + 4y = cos2x

y^'' + 4y = e^0x(i − cos2x + 0sin2x)

1) Numeri complessi di _(f(k))

m_odi = 0 ∓ i2 = ∓ i2²

2) Equazione associata

ε² + 4ε = 0

ζ = 0 ∓ √(0 − 4 ∙ 1) / 2 ρ(0 + 4 ∙ 1) / 2

k = ∓ 1 → ∓ 2i

3) Soluzione particolare con Δ della immagini

ϕ(x) = C₁(e^0x cos(2x)) / i + C₂(e^0x sin(2x)) / i + ϕ(x)

Δ = αi + βx = 0 = 2i

ϕ(x) = x^k=∓1 [ (a) cos2x + (b) sin2x ]

∂i^d(1) / GRADO _{(di N_ominatori)}

a: ∂i^d(2) / GRADO _{(di N_ominatori)}

Sostitucoy - ϕ(x) : x (d.cos2x + b.sin2x)

y^'; ϕ'(x) = a.cos2x - a.sin2x + b.√cosx + b.√cos2x

y = 2a.sinx + 2b.cosx - 2a.cos √x - bx.√x - 2i.sin2x

= cos2x(− 2a + 3bx).sin2x - (2b + 3ax).cos2x = cos2x

− 2a + 3bx = 0

2b + 3x = 1

SE f(x)

SOMMA

2λ²-3λ+2=0

ESEMPIO

y''-3y'+2y=e^2x+x

λ=^3±√9-8/₂

λ₁=2

λ₂=1

y(x)=c₁e^2x+c₂e^x+ϕ(x)

ψ_TOT(x)

ψ_e^2x(x): f(x)=e^2x

ψ_e^2x(x) : (a)e^2x . xⁱ=axe^2x

ψ_x(x): f(x)=x

ψ_x(x)=xⁱ(bx+c)=bx+c

ψ_x(x)=bx+c

y=ψ_TOT(x)=ψ_e^2x(x)+ψ_x(x)=axe^2x+bx+c

y' = ψ'_TOT(x)=a2xe^2x+2axe^2x+by

y'' = ψ''_TOT(x)=a2e^2x+2ae^2x+b2xe^2x=4axe^2x+b2xe^2x+b

Sostituire 5a2e^2x+b2xe^2x-3(a2xe

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