Appunti orale Analisi 2

Numeri Complessi

α ∈ C

α = a + b i

Rappresentazione Algebrica del Numero Complesso

i² = -1

Parte Reale: a = Re(α)

Parte Immaginaria: b = Im(α)

Operazioni

α = a + b i

β = c + d i

Addizione

α + β = Re(α + β) + Im(α + β) = (a + c) + (b + d) i

Moltiplicazione

α · β = (a + b i)(c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i²

= (a c - b d) + i(b d + b c)

Reciproco

α' = 1 / α = α - b i / (α + b i)(α - b i)

= α - b i / α² + b²

Divisione

α / β = α · β'

Complesso Coniugato

α' = a - b i

a - b = -b

se α = α allora b = 0 ; Numero Reale

Modulo di α = a + bi

|α| = √a² + b²

• α è un numero Reale
• Rappresenta (a livello grafico) la lunghezza del vettore OP (Origine, P(a;b))

(Teorema di Pitagora)

Piano Argand-Gauss (bi-compless)

δ, Argomento, è l'angolo fra l'Asse Reale e il vettore = Arg(α)

C'è in Radianti = (0 ; 60 ; π)

• Se α = 0 allora δ è indeterminato

Forma Trigonometrico di α

(Ricorda α_r = √a_r² + |α|)

α = r (cos δ + i sin δ) = |α| (cos δ + i sin δ)

α = β solo se α_r = β_r

α = a + ib

Operazioni:

ADDIZIONE:

a = _ij

b = _ij = (0 1)

- Solo se hanno stesse righe e stesse colonne

PRODOTTO scalare:

ka1 = _ij

PRODOTTO:

Solo se _{mxp pxm} = _mxm

- Si fa la somma fra elementi e' elemento della prima riga per il primo elemento della prima colonna...

a = ^{2 3 6}

b = ^{4 4}

c = ⁴

d = ^{4 4}

DETERMINANTE di matrice QUADRATA mxm A ... det(A) = 1A

. m = 1 det(A) = a ₁₄

. m = 2 a = ^{a11 a12} a = ^{a21 a22}

det(A) = a11a22 - a12a21

. m = 3 a = a11^{a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33}

Ovvero prendi una qualsiasi riga e poi (k+1) _i,1

NB: La MATRiCE Escludendo i ... (s...otimo colonna)

Teorema Rouche-Capelli:

Un sistema ha soluzioni (tutte da soluzioni 0) se:

• Se _{con(A)b-completo} ^{con(A)b-incompleto}
• Se _con(A)=m: solo soluzioni nulle (c⁰=1)
• Non di studi del corap.

Matrice a scala della matrice quadrato relativa + grande

1. a) con _det(A)=m g₀controllo _elementi diversi da 0 solo diagonali
2. b) trasformare A_mXm: s_cdet|AmXm|>0 controllo det(A_m-1Xm-1)in matrice a scala
3. c) con (matrice quadrato) = somma righe matrice quadrato a scal non nulle (.....)

Cramer:

Un sistema lineare del tipo:

1. Ha una sola soluzione del tipo (x, y, z...^{solo lo nullo})se e il C_{sistema lineare omogemo} (0=0) C_{m inc. compl.}
2. a) le soluzioni x, y, z ^{caso b} travo (controllo)

In sostanza la soluzione e il quotiente fra

1. el det(A_mxm
2. Sostituendo la colonna destrosa da rinale carcias con b trafto
1. det(A_m,c1) + 1
2. det(A_m,c3) + 2
3. det(A_m,c3) + 3
4. det(A_m,c3) + n
3. ^{el colonna m}
1. x y z e k
2. =
3. det(A^A) = A^A | 0, A^B, A.^A (A^b)
4. det(A) A X = A: ^(0,a,9,7)

Prodotto vettoriale

\(\vec{A} \times \vec{B} = \vec{vettore}\) \(|\vec{A}|\, |\vec{B}|\, \sin{\theta}\)

Per la regola della mano destra \(\vec{A} \times \vec{B} \, è \, il n.o. \, \vec{A} \rightarrow \vec{B}\)

In Geometria

\(\vec{A} \times \vec{B} = \text{Area del Parallelogramma}\)

\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \quad vs. \quad\begin{bmatrix} b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix} \quad vs. \quad\begin{bmatrix} a_2 & c_2 \end{bmatrix} \quad vs. \quad\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\)

\((\vec{v} \times \vec{w})^2 = |\vec{v}|^2 |\vec{w}|^2 - (\vec{v} \cdot \vec{w})^2 = v_1^2 w_2^2 + v_2^2 w_1^2 - 2v_1 v_2 w_1 w_2 \, \sin^2{\theta}\)

Combinazione lineare Spazio Vettoriale.

v₁, v₂, ..., v_n combinazione se: n < infinito

Spano un vettore.

Spano α_iv_i con λ ∈ ℝ^r

Spano {y = α_iv_i} che è sottospazio di V

Insieme di tutte le combinazioni dei pascoli. Lo spazio. IV.

Detti/fatti (==piani), sottospazi

y = α_iv_i

Sono lineare emte dipendenti se: 3 sono combinazioni di 1

Risultato nullo se tutte le scalari sono nulli (per cui le vette = 0)

A e il risultato è 0 (non andata dedotta, nulla con interventi schifosi) x₁ + x₂ + x₃

Sono linearmente indipendenti se: x₁ + ... + x_n = 0 è l'unico combinabile. risolto vello l. imposto a

A {a+...0} a=0

Solo combinabile banalment

Se A non è l'unico combinabile (== pred. es.)

• 0 è uno scalare == {λ=0}
• a = 0
• a + ... + 0 a = 0
• x = 0

Dimostrato (1)

Metodo: Veloce e Semplice x controllare che i Nodi dell’insieme non vadano se non lungo il bordo, ognuno di 2 cm dall’insieme

se f(x,y) = f(x,y)_R per ogni (x, y) = f(x, y)_senzabianco

f(0,3), f(0,0)= 1(X + 10)

Allora non L’unione, x₁ e 2 - se pari: x e 10

(3)

(9)

Metodo: Veloce x il controllo del fino.

⁄ R

G(x)⁽⁹⁾

Dato che sono diverse, f(x, y) Y

Ellisse

Luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da 2 punti fissi F₁ e F₂ chiamati fuochi.

• Equazione: F₁(-c;0) F₂(c;0)
•  a=F₁P+F₂P
•  F₁P = F₂P = 2a
•  F₁F₂ = 2c

Formula

2a = F₁P + F₂P

⇐ √(x+c)²+y² + √(x-c)²+y²

LEVANDO:

•  x²-2cx+c² + y²
•   -4a²

levando:

⇐ a²-c² = b²

Vertice:

V (^-b/_2a ; ^-Δ/_4a)

(^{b² - 5ac}/_5a)

Fuoco caso generale

F _origine (0 ; ¹/_2a)

F _{non origine} (0 + x _vert ; ¹/_2a + ^-Δ/_4a)

Eq. del Piano

V₁(l₁, m₁, n₁)

V₂(l₂, m₂, n₂)

P₀P appartenente al piano, se il vettore P₀P (con P esterno) è complanare con i vettori αV₁ + βV₂:

• x - x₀ = αv_x + βv₂
• y - y₀ = αm₁ + βm₂
• z - z₀ = αn₁ + βn₂

Equazione parametrica del piano

• x = x₀ + αl₁ + βl₂
• y = y₀ + αm₁ + βm₂
• z = z₀ + αn₁ + βn₂

Equazione cartesiana del piano

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

a + b + c + (-bx₀ - by₀ - cz₀) = 0

ax + by + cz + d = 0