Fenomeni ondulatori - onde elettromagnetiche

2. Onde elettromagnetiche 1

Equazioni di Maxwell

Una carica q immersa in un campo elettrico e un campo magnetico risente della forza di Lorentz:

F = q (E + v × B)

Se si hanno q_i cariche in un volume ∇ possiamo definire una densità di carica ρ = ^q/_∇ e una densità di corrente J = ρv, con v la velocità media del volumetto.

Equazioni di Maxwell:

• (1) ∇•E = ^ρ/_ε0
• (2) ∇×E = -^∂B/_∂t
• (3) ∇•B = 0
• (4) ∇×B = μ₀J + ε₀μ₀ ^∂E/_∂t

Se si può definire una potenza dissipata per unità di volume: w = v • F

w = v • F = ρv • E + ρv • (v × B) = ρv • E = J • E

2.1 Teorema di Poynting

• (4) => J = ¹/_μ0 ∇×B - ε₀ ^∂/_∂t E
• w_s = (¹/_μ0 ∇×B - ε₀ ^∂/_∂t E) • E = - (v × B) • E - ε₀ ^∂/_∂t (^E2/₂)
• (1) -∇×E = -^∂/_∂t B

Faccio il prodotto scalare per B e divido per μ₀

• = -¹/_μ0 (^∂/_∂t ^B2/₂) = 0

Sommo (4) e (1):

w = ¹/_μ0 (v × B) • E - ε₀ ^∂/_∂t ^E2/₂ - ^ε₀/₂ ^B2/_2μ0 =

= - ¹/_μ0 [(∇×B) • E - (v × E) • B] - ^∂/_∂t ^{("ε₀E2" + "B2/_2μ0")]}

2. Onde elettromagnetiche 1

Equazioni di Maxwell

Una carica q immersa in un campo elettrico e un campo magnetico risente della forza di Lorentz:

F = q (E + v x B)

Se si hanno q_i cariche in un volume V possiamo definire una densità di carica ρ = q/V e una densità di corrente J = ρv, con v la velocità media del volumetto.

Equazioni di Maxwell:

1. ∇ • E = ρ₀
2. ∇ x E = -∂B/∂t
3. ∇ • B = 0
4. ∇ x B = μ₀J + ε₀μ₀∂E/∂t

Si può definire una potenza dissipata per unità di volume: w = v • f

w = v • f = ρJ • E + ρ v • (v x B) = ρJ • E = J • E

2.1 Teorema di Poynting

1. ∇ • J = 1/μ₀ ∇ x B - ε₀ ∂E/∂t
2. ∇ x E = -∂B/∂t

Faccio il prodotto scalare per B e divido per μ₀

=> -1 (∫J • E - 1/μ₀ ∂B/∂t B²/2) = 0

Sommo (1) e (2):

w = (1/μ₀) ∫ (E x B) - (ε₀/2) ∂E • B • (∇ x E) - ∂/∂t ∫ (B²/2μ₀) =

= 1/μ₀ [(J x B) • E - ∂E (∇ x E) • B - ∂/∂t (ε₀E²/2 + B²/2μ₀)

Moltiplichiamo per (-1)

_∂u_/∂t + [ (ε₀E²/2) + (B²/2μ₀)] 1/μ₀ ∇ (E x B) = -w

Ora abbiamo un'equazione di continuità con un termine di perdita

v = (ε₀E² / 2) + (B² / 2μ₀)

E (E x B / μ₀)

vettore di Poynting (di trasporto, indica come E e B si trasportano)

Nel vuoto (senza cariche libere) si ha:

_∂u_/∂t = -∇·S

2D

∇·S > 0

∇·S < 0

∇·S = 0

u diminuisce

u aumenta

Forma integrale del teorema di Poynting

Integrando:

∫ _Σ n dΣ = -∫ w d³r

∂/∂t ∫Σ (E x B) dΣ

Energia elettromagnetica

2.2 Onde elettromagnetiche nel vuoto

Nelle regioni di spazio in cui non sono presenti cariche o correnti le equazioni di Maxwell diventano:

1. \(\nabla \cdot \vec{E} = 0\)
2. \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
3. \(\nabla \cdot \vec{B} = 0\)
4. \(\nabla \times \vec{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Partiamo da (2) e applichiamo il rotore: \(\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla \times \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)\) → \(\nabla \left(\nabla \cdot \vec{E} \right) - \nabla^2 \vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{B}\)

Dalla (4): \(\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \times \vec{B} \right) = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E}\)

\(\nabla^2 \vec{E} - \mu_0 \epsilo