Fenomeni ondulatori - onde elettromagnetiche

2. Onde elettromagnetiche 1

Equazioni di Maxwell

Una carica q immersa in un campo elettrico e un campo magnetico risente della forza di Lorentz:

F = q (E + v x B)

Se si hanno q_i cariche in un volume V possiamo definire una densità di carica ρ = q/V e una densità di corrente j = ρ v, con v la velocità media del volumetto.

Equazioni di Maxwell:

1. ∇ · E = ρ/ε₀
2. ∇ · B = 0
3. ∇ x E = - ∂B/∂t
4. ∇ x B = μ₀j + ε₀μ₀ ∂E/∂t

F_v = ρ (E + v x B) = ρE + j x B densità di forza

Si può definire una potenza dissipata per unità di volume: w = v · F

w = v · F = ρv · E + ρ v · (v x B) = ρv · E = j · E

2.1 Teorema di Poynting

1. ∇ x E = - ∂B/∂t

Faccio il prodotto scalare per B e divido per μ₀

∇ · [ (1/μ₀) (B x E) ] = - (ε₀/2) ∂E²/∂t - (1/μ₀) (B · (∂B/∂t)) = - (1/μ₀) ∂(B²/2)/∂t

Sommo (4) e (1):

w = ε₀E²/2 + B²/2μ₀

Moltiplichiamo per (-1)

  Ora abbiamo un’equazione di continuità con un termine di perdita

  Teorema di Poynting

u =  energia elettrostatica per unità di volume

  vettore di Poynting (di trasporto, indica come E e B si trasportano)

Nel vuoto (senza cariche libere) si ha :   (dice come il campo elettromagnetico si sposta nel vuoto)

2D

diminuisce  aumenta

Forma integrale del teorema di Poynting

Integrando:

2.5 Onde elettromagnetiche nella materia

Nella materia oltre alle cariche libere sono presenti anche sistemi polarizzabili quasi neutri (atomi, molecole, rappresentabili come dipoli).

Supponiamo di avere inizialmente un sistema imperturbato con cariche sparte senza alcun ordine, che seguono la distribuzione di Boltzmann.

Il disegno riassume il comportamento di dipoli immersi in un campo elettrico:

Introduciamo il campo macroscopico P:

Consideriamo ora un volume V e applichiamo il teorema di Gauss:

Possiamo scrivere un'equazione di continuità:

Le equazioni di Maxwell diventano:

• (1) ⃗∇ ⋅ ⃗E = ϱ(tot)₀ + ϱ₀
• (2) ⃗∇ x ⃗E = 0
• (3) ⃗∇ ⋅ ⃗B = 0
• (4) ⃗∇ x ⃗B = μ₀ ⃗J_f + μ₀ ⃗J_p + μ₀ ϵ₀ ∂ E/∂t

Studiamo un sotto caso più semplice.

Onde elettromagnetiche nella materia senza cariche libere : ϱ_f = 0 J_f = 0

• (1) ⃗∇⋅(ϵ₀ ⃗E + ⃗P ) = 0
• (2) ⃗∇ x E = -∂B/∂t
• (3) ⃗∇ ⋅ ⃗B = 0
• (4) ⃗∇ x B = μ₀ ∂/∂t (ϵ₀ ⃗E + ⃗P )

Introduciamo il vettore induzione elettrica: ⃗D = ϵ₀ E⃗ + ⃗P

2.7 Battimento di due onde monocromatiche

Consideriamo due onde elettromagnetiche monocromatiche.

\( \overrightarrow{E} = E_0 \, \cos \left( \overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{r} - \omega t \right) \hat{y} = \text{Re} \left\{ \overrightarrow{E_0} e^{i(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{r} - \omega t)} \right\}, \quad \overrightarrow{E_0} = E_0 \hat{y} \)

Onda 1: \( \overrightarrow{k}, \omega \)

Onda 2: \( \overrightarrow{k'} = \overrightarrow{k} + \Delta \overrightarrow{k}, \quad \overrightarrow{k1'} = \overrightarrow{k} \)

\( \omega' = \omega + \Delta \omega, \quad \omega1' = \omega \)

Le due onde sono in fase \( \psi = \psi' = 0 \) e hanno stessa ampiezza \( E_0 \).

\( \overrightarrow{E_1} = E_0 \, \cos (k z - \omega t) \hat{y} \quad \overrightarrow{E_2} = E_0 \, \cos (k' z - \omega' t) \hat{y}, \quad \Delta k \ll k, \, \Delta \omega \ll \omega \)

\( \overrightarrow{E}_{\text{Tot}} = \text{Re} \left\{ \overrightarrow{E_0} \, e^{k'z - \omega' t} + \overrightarrow{E_0} \, e^{ik' z - \omega' t} \right\} \)

\( k = \frac{k + k'}{2} = \frac{k + \left( k + \Delta k \right)}{2} = \frac{k + k}{2} + \frac{k - k'}{2} = k_0 - \frac{\Delta k}{2} \)

\( \omega = \omega_0 - \frac{\Delta \omega}{2} \)

\( \overrightarrow{E}_{\text{Tot}} = \overrightarrow{E_0} \text{Re} \left\{ e^{i \left[ \left( k_0 - \frac{\Delta k}{2} \right) z - \left( \omega_0 - \frac{\Delta \omega}{2} \right) t \right]} + e^{i \left[ \left( k_0 + \frac{\Delta k}{2} \right) z - \left( \omega_0 + \frac{\Delta \omega}{2} \right) t \right]} \right\} \)

\( = \overrightarrow{E_0} \text{Re} \left\{ e^{ik_0z - i \omega_0 t} \left( e^{-i \frac{\Delta k}{2} z + i \frac{\Delta \omega}{2} t} + e^{i \frac{\Delta k}{2} z - i \frac{\Delta \omega}{2} t} \right) \right\} \)

\( = 2 \overrightarrow{E_0} \text{Re} \left\{ e^{ik_0 z - i \omega_0 t} \cos \left( \frac{\Delta k}{2} z - \frac{\Delta \omega}{2} t \right) \right\} = 2 \overrightarrow{E_0} \cos (k_0 z - \omega_0 t) \cos \left( \frac{\Delta k}{2} z - \frac{\Delta \omega}{2} t \right) \hat{y} \)

Quando sommo due onde lineari ottengo il prodotto di un'onda portante e un'onda modulante.

Definiamo così la velocità di fase e la velocità di gruppo (quella della modulazione):

\( v_f = \frac{\omega_0}{k_0} \quad v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} \)

Nel passaggio al continuo \( v_f = \frac{\partial \omega}{\partial k} \).