Microeconomia

AVVERSIONE AL RISCHIO

A differenza del caso del consumatore, nell'ambito delle scelte in condizione di incertezza, siamo in grado di classificare le tipologie di preferenze in 3 grandi categorie a seconda dell'avversione al rischio.

Data la lotteria X e la lotteria certa C=k [tale che k=E(X)] che garantisce una vincita certa pari al valore atteso di X, un individuo è:

• avverso al rischio se preferisce la vincita certa alla lotteria rischiosa

Quindi, un individuo è avverso al rischio se preferisce avere una somma certa piuttosto che partecipare ad una lotteria che ha un valore atteso pari alla somma certa.

La forma delle curve di indifferenza dell'avversione al rischio di un individuo attraverso un'analisi grafica si individuano innanzitutto tracciando una retta passante per B (tale che tutte le lotterie stanti sulla retta hanno lo stesso valore atteso della lotteria B) e per individuare il valore atteso individuiamo l'intersezione tra la retta costante.

E la retta della certezza (bisettrice del 1° quadrante) tale che il punto individuato ha le due coordinate equivalenti corrispondenti al valore atteso.

Gli individui che sono avversi al rischio sono individui che hanno curve di indifferenza con concavità verso l'alto e queste curve di indifferenza hanno tutte la stessa pendenza.

Per un individuo avverso, sostenere il rischio comporta un costo. Tale costo può essere compensato a patto che la lotteria incerta sia adeguatamente conveniente in proporzione al rischio.

Per ricavare il costo del rischio introduciamo il concetto di equivalente certo di una lotteria X, ovvero una lotteria certa, indifferente a X tale che. L'equivalente certo può altresì essere definito come il valore monetario che l'individuo attribuisce alla lotteria.

Affinché questo sia vero, la grandezza indica la vincita certa equivalente a X.

L'equivalente certo di una lotteria sarà sempre minore del valore atteso.

La premessa di base è che le persone sono influenzate dal rischio quando prendono decisioni riguardo alle lotterie. Il rischio è definito come la possibilità che l'esito di una lotteria sia diverso da quello atteso. Il costo del rischio è rappresentato dalla differenza tra il valore atteso di una lotteria e il suo valore reale. Questa differenza rappresenta il costo derivante dal sostenere il rischio. Questa misura (individuale) viene chiamata premio per il rischio e rappresenta la massima disponibilità a pagare per evitare il rischio.

Un individuo è considerato propenso al rischio se preferisce una lotteria rischiosa (X) piuttosto che una lotteria certa. Come per i soggetti avversi al rischio, anche per i soggetti propensi al rischio è possibile individuare la forma delle curve di indifferenza per la propensione al rischio di tali soggetti. Le curve di indifferenza di tali soggetti hanno una forma concava rivolta verso il basso e risultano essere tangenti alla retta del valore atteso nel suo punto di intersezione con la retta della certezza.

Un individuo è considerato neutrale al rischio se per ogni lotteria rischiosa X le sue preferenze soddisfano la condizione . Un individuo neutrale al rischio ordina le lotterie in base al loro valore atteso, affinché l'individuo sia indifferente tra due lotterie.

una certa e una rischiosa, le due lotterie devono avere lo stesso valore atteso. Sappiamo che il premio per il rischio è dato dal valore atteso della lotteria rischiosa e l'equivalente certo della lotteria; nel caso di un individuo neutrale al rischio, l'equivalente certo dev'essere esattamente uguale al valore atteso di tale lotteria.

Le curve di indifferenza di tale soggetto corrispondono alla retta del valore atteso costante in quanto sono tutte le lotterie che rendono tale soggetto indifferente tra le altre lotterie sulla retta e quella in questione perché hanno tutte lo stesso valore atteso.

ASSICURAZIONE

Ci sono innumerevoli situazioni che espongono il soggetto ad una possibile perdita finanziaria; in molte di queste situazione è possibile coprirsi da tali rischi attraverso la stipula di un contratto con una compagnia assicuratrice che risarcisce qualora avvenga l'evento associato alla perdita finanziaria. Il contratto citato è chiamato

Un'assicurazione o polizza è un contratto rilasciato dalle compagnie assicurative. Esamineremo il comportamento di un individuo avverso al rischio in condizioni di incertezza. Definiremo la situazione attraverso uno schema ad albero con i seguenti fattori:

• Situazione rischiosa: il sinistro che provoca la perdita di ricchezza
• Ricchezza iniziale [w]
• Perdita [d] derivante dal sinistro
• Probabilità dell'evento favorevole [π], ovvero che non si verifichi la perdita

Poiché la probabilità è costante, possiamo tradurre la situazione rischiosa con una lotteria costituita dai due stati tali che X=(x₁, x₂) con x₁=w e x₂=w-d.

Il valore atteso della lotteria lo possiamo vedere come:

E(X) = π * x₁ + (1 - π) * x₂

Possiamo inoltre visualizzare la lotteria su un grafico cartesiano, in cui la lotteria è sempre posizionata nella parte inferiore della retta a 45°, in quanto la prima coordinata (w) è sempre maggiore dell'altra.

coordinata (w-d). possiamo quindi individuare la retta dove giacciono tutti i valori attesi pari a quello della lotteria iniziale quindi individuare il punto di intersezione con la retta a 45°.

IL CONTRATTO ASSICURATIVO

Il contratto assicurativo è essenzialmente costituito da 2 fattori:

• una copertura [q] ovvero il massimo risarcimento pagato dalla compagnia assicurativa all'assicurato nel caso si verifichi la perdita d.
• un premio assicurativo [p] ovvero la somma pagata dall'assicurato alla compagnia affinché questa si assuma il rischio.

Dal punto di vista dell'assicurato, la polizza assicurativa comporta una variazione della ricchezza netta di questo rappresentabile da una lotteria Z=(z ;z )=(-p; q-p) tale per cui se il sinistro non si verifica, l'assicurato ha una variazione netta della propria ricchezza pari al premio stesso, mentre nel caso avvenisse il sinistro, l'assicurato vedrebbe una variazione della propria ricchezza per un valore pari a

(q-p) in quanto questopaga in qualsiasi caso il premio assicurativo.

Nel caso di acquisto della polizza la lotteria finale della polizza che chiameremo Y sarà tale che Y=Z+X quindi Y= (x ;x ) + (z ;z ).

1 2 1 2

Valutando le polizze assicurative mediante la copertura assicurativa le potremo distinguere in:

6 - polizza completaprevede un risarcimento esattamente pari al danno (q=d);la lotteria corrispondente a questa polizza sarà quindi Z=(-p; d-p) e di conseguenza il soggetto avrà a disposizione lalotteria Y=X+Z quindi Y=(w-p; w-d+d-p).facendo le opportune riduzioni avremo Y=(w-p; w-p) quindi in entrambi i casi la vincita sarà sempre questo e di conseguenza la polizza completa offrirà all'individuo unalotteria certa.

A seconda del premio pagato avremo che la lotteria Y traslerà lunga la retta della certezza.

- Contratto a copertura parzialela polizza prevede una copertura inferiore alla perdita(q<d).in tal caso, sapendo che Z=(-p; q-p)

alloraY=(w-p; w-p-(d-q)) dove (d-q)>0 è la perdita non assicurata. Con questa tipologia di polizza l'assicurato sostiene parte del rischio e di conseguenza la lotteria Y sarà sicuramente posizionata al di sotto della retta a 45°.

Valutando le polizze sotto l'aspetto del premio, potremo distinguere i contratto in:

• Contratto equo: un contratto sarà equo da un punto di vista attuariale, se il valore atteso dellapolizza è pari a 0, ovvero se E(Z)=0. Di conseguenza il contratto è equo se p=(1- π)q ovvero se il premio assicurativo è pari al risarcimento atteso.
• Contratto sfavorevole: nel momento in cui E(Z)<0 quindi p=(1- π)q allora il contratto viene definito sfavorevole; ciò accade quando la compagnia assicurativa pone un premio maggiore della copertura assicurativa.

Vi sono contratti in cui l'assicurato può scegliere il livello di copertura che vuole avere e la compagnia assicurativa decide il premio.

assicurativo che deve ricevere in proporzione alla copertura scelta dall'assicurato secondo la regola P=γq dove [0< γ<1] è il premio unitario ovvero il prezzo di un euro di copertura.

La compagnia di conseguenza fissa il valore γ mentre l'individuo sceglie la copertura [q] che intende assicurare. L'individuo potrà scegliere una copertura compresa tra 0 e la perdita d, tale che . Per ogni data scelta che il soggetto può fare sulla copertura, la lotteria Z(q) in funzione di q diverrà:

L'individuo disporrà di una lotteria Y(q)= X + Z(q)= (w- γq; w-d+ (1- γ)q).

Come è possibile mostrare, le lotterie Y(q) giacciono su una retta tra cui spicca la "lotteria iniziale" X tale per cui q=0 pertanto Y(0)=X=(w; w-d) ovvero il caso in cui il soggetto non si assicura.

Un ulteriore punto di interesse è quello dove il grado di copertura scelto dal soggetto è pari al danno.

ovvero q=dpertanto . Questa lotteriacorrisponde ad un contratto a copertura completa, diconseguenza questa lotteria si troverà sulla retta dellacertezza.

Per tutti i valori 0<q<d le lotterie giacciono su la rettacollegante le lotterie Y(0) e Y(d).

L’equazione della retta si ricava attraverso le coordinate deipunti X e Y(d) ed è data dalla formula:dove la pendenza della retta è pari a .in particolare al variare di γ varia la pendenza e, se γ’>γ allora la retta sarà più piatta e viceversa se γ’<γ.

Il valore del premio unitario γ è un valore importante in quanto al suo valore dipende anche la tipologia dicontratto:il contratto è equo se il premio è pari all’indennizzo atteso ovvero p=(1-π)q dove però p=γq, pertanto avremoche:γq=(1-π)q quindi γ=(1-π) .di conseguenza nel momento in cui γ>(1-π) il contratto sarà

sfavorevole.

LA SCELTA ASSICURATIVA

In quali condizioni un soggetto avvero al rischio deciderà di stipulare un contratto completo e in quali casi deciderà di stipulare un contratto a copertura parziale?

Per vedere le scelte di tale soggetto, studieremo la scelta assicurativa dal punto di vista grafico considerando prima il contratto equo poi il contratto sfavorevole.

- CONTRATTO EQUO γ=(1-π)

Nel caso di contratto equo avremo che la compagnia fisserà γ=(1-π) pertanto il soggetto disporrà delle lotterie Y(q)= (w-(1- π)q ; w-d+ πq). Da questa poi il soggetto potrà scegliere:

contratto a copertura completa per q=d. In tal caso Y(d)= (w-(1- π)d ; w-(1- π)d) =A pertanto il punto si troverà sulla retta del valore atteso costante in quanto w-(1- π)q è pari al valore atteso co