Microeconomia

Microeconomia progredita

Scelte in condizione di incertezza

I soggetti razionali decideranno con riguardo a un’alternativa rischiosa in base a una probabilità oggettiva che un dato evento accada. Un’alternativa rischiosa può essere definita come una decisione che ha un esito incerto tale per cui vi è una determinata probabilità di successo e una complementare probabilità di insuccesso.

• A = successo / A(p) dove p è la probabilità dell’evento A
• B = insuccesso / B(1-p)

Un’alternativa rischiosa è rappresentabile mediante una lotteria, ovvero una lista di vincite definite dalle rispettive probabilità di successo. Per descrivere un’alternativa rischiosa mediante una lotteria è necessario specificare:

• Stati: che sono tutti i possibili eventi. L’insieme degli stati è una partizione dell’insieme “eventi” e deve necessariamente avere due caratteristiche:
  • Esaustività: deve descrivere tutti gli eventi che possono verificarsi.
  • Non vi devono essere sovrapposizioni: il verificarsi di un evento deve necessariamente escludere il verificarsi degli altri.
• Probabilità associata a ogni stato: la probabilità di uno stato è la misura di verosimiglianza che questo accada:
  • Evento impossibile/ p(A)=0
  • Evento certo/ p(B)=1
  • Evento possibile/ 0<p(C)<1
  La probabilità di tutti gli stati somma a 1.
• Esiti associati a ogni stato: Gli esiti che verranno considerati apparterranno solo alle lotterie monetarie e saranno chiamati pay-off, vincite o premi.

Una lotteria con n stati del mondo si rappresenta formalmente con una lista di payoff associati alle relative probabilità con il seguente modo: X=(x₁; x₂; … ; x_n; π₁, π₂; … ; π_n).

• [x_i]: vincita o premio nello stato i.
• [π_i]: probabilità che si verifichi lo stato i.

Definiamo a questo punto una lotteria certa come una lotteria che garantisce una stessa vincita ad ogni stato, questa viene indicata con X=x, dove x è la vincita certa. Es: investimento di 30. Lotteria formata da 2 stati, X₁=20 con probabilità p=π, X₂=40 con probabilità p=(1-π). X=(X₁;X₂; π).

Quantificazione del rischio

Gli individui valutano le scelte rischiose sulla base delle vincite che si attendono di ricevere. Per trovare la vincita attesa serve quindi un valore derivante da una media ponderata che definisca in relazione ai diversi stati del mondo e alle rispettive probabilità una vincita potenziale attesa.

Definiamo valore atteso di una lotteria X il valore di X che si realizza “in media”, dato da: E(X) = π₁x₁ + π₂x₂ + … + π_nx_n. Il valore atteso di una lotteria X si indica anche con il simbolo x soprassegnato.

Questa misura tiene parzialmente in considerazione la variabilità del rischio, fattore di valutazione delle scelte rischiose da parte degli operatori economici. Tuttavia a parità di valore atteso, la variabilità del rischio può essere meglio individuata attraverso la misurazione della varianza.

Definiamo varianza di una lotteria X: (σ²) = π₁[x₁ – E(X)]² + … + π_n[x_n – E(X)]². Una misura della variabilità espressa nelle unità di misura dei payoff è data dalla deviazione standard che può essere definita come la radice quadrata della varianza, ovvero:

Preferenze

Introduciamo ora le preferenze di un soggetto. Supponiamo che ci siano solo due stati del mondo tali per cui: π è la probabilità dello stato 1 ed ha un valore fisso. Una lotteria in tal caso è descritta da una coppia di payoff come se fosse un paniere di beni. Definiamo ora la retta della certezza come la retta a 45° ove sono situate tutte le lotterie certe.

Sia B = (b₁; b₂) una lotteria e il suo valore atteso. Tutte le lotterie X = (x₁; x₂) che hanno lo stesso valore atteso di B soddisfano l’equazione. La retta del valore atteso costante di B pertanto è: dove rappresenta la pendenza della retta del valore atteso costante.

Le preferenze sulle lotterie possono essere suddivise in 3 grandi gruppi a seconda dell’avversione al rischio dell’individuo studiato. Questo permetterà di studiare comportamenti di scelta in situazioni di incertezza. Le preferenze esprimono un giudizio sulla desiderabilità di una lotteria rispetto l’altra, e, per esprimere la preferenza, abbiamo 2 principali modi a seconda che ci sia una preferenza stretta o meno:

• Indifferenza.
• Preferenza stretta.

Affinché siano tali, si richiede che queste rispondano a delle assunzioni ovvero devono essere soddisfatte 3 determinate proprietà:

• Completezza: l’individuo è sempre capace di ordinare qualsiasi coppia di lotteria X;Y.
• Transitività: nell’ordinamento delle lotterie, la preferenza deve risultare transitiva.
• Non sazietà: il consumatore preferisce sempre una vincita garantita maggiore ad una minore, pertanto sia X una lotteria che da un determinato pay-off tale che X=x e sia X una lotteria tale che Y=y, inoltre x>y allora l’individuo preferirà sicuramente la lotteria X.

Le preferenze che finora abbiamo ipotizzato le possiamo rappresentare attraverso le curve di indifferenza le quali associano ad ogni alternativa un valore numerico. La curva di indifferenza della lotteria B è l’insieme delle lotterie indifferenti a B, cioè l’insieme. Similmente a come visto per le curve di indifferenza dei consumatori, le proprietà delle curve di indifferenza sulle preferenze rispondono a proprietà simili:

• Le curve sono negativamente inclinate.
• Le curve non si intersecano.
• Le curve più esterne contengono lotterie maggiormente preferite.

Avversione al rischio

A differenza del caso del consumatore, nell’ambito delle scelte in condizione di incertezza, siamo in grado di classificare le tipologie di preferenze in 3 grandi categorie a seconda dell’avversione al rischio.

Data la lotteria X e la lotteria certa C=k [tale che k=E(X)] che garantisce una vincita certa pari al valore atteso di X, un individuo è:

• Avverso al rischio se preferisce la vincita certa alla lotteria rischiosa.

Un individuo è avverso al rischio se preferisce avere una somma certa piuttosto che partecipare a una lotteria che ha un valore atteso pari alla somma certa. La forma delle curve di indifferenza dell’avversione al rischio di un individuo attraverso un’analisi grafica si individuano innanzitutto tracciando una retta passante per B (tale che tutte le lotterie stanti sulla retta hanno lo stesso valore atteso della lotteria B) e per individuare il valore atteso individuiamo l’intersezione tra la retta costante e la retta della certezza (bisettrice del 1° quadrante) tale che il punto individuato ha le due coordinate equivalenti corrispondenti al valore atteso.

Gli individui che sono avversi al rischio sono individui che hanno curve di indifferenza con concavità verso l’alto e queste curve di indifferenza hanno tutte la stessa pendenza. Per un individuo avverso, sostenere il rischio comporta un costo. Tale costo può essere compensato a patto che la lotteria incerta sia adeguatamente conveniente in proporzione al rischio.

Per ricavare il costo del rischio introduciamo il concetto di equivalente certo di una lotteria X, ovvero una lotteria certa, indifferente a X tale che . L’equivalente certo può altresì essere definito come il valore monetario che l’individuo attribuisce alla lotteria. Affinché questo sia vero, la grandezza indica la vincita certa equivalente a X. L’equivalente certo di una lotteria sarà sempre minore del valore atteso della lotteria stessa e proprio questo discostamento rappresenta il costo derivante dal sostenere il rischio.

Questa misura (individuale) viene chiamata premio per il rischio e rappresenta la massima disponibilità a pagare per evitare il rischio.

• Propenso al rischio se preferisce la lotteria rischiosa (X) piuttosto che la lotteria certa.

Come visto per i soggetti avversi al rischio, anche per i soggetti propensi al rischio è possibile individuare la forma delle curve di indifferenza per la propensione al rischio di tali soggetti. Le curve di indifferenza di tali soggetti hanno una forma concava rivolta verso il basso e risultano essere tangenti alla retta del valore atteso nel suo punto di intersezione con la retta della certezza.

• Neutrali al rischio se per ogni lotteria rischiosa X le sue preferenze soddisfano la condizione.

Un individuo neutrale al rischio ordina le lotterie in base al loro valore atteso, affinché l’individuo sia indifferente tra due lotterie, una certa e una rischiosa, le due lotterie devono avere lo stesso valore atteso. Sappiamo che il premio per il rischio è dato dal valore atteso della lotteria rischiosa e l’equivalente certo della lotteria; nel caso di un individuo neutrale al rischio, l’equivalente certo dev’essere esattamente uguale al valore atteso di tale lotteria.

Le curve di indifferenza di tale soggetto corrispondono alla retta del valore atteso costante in quanto sono tutte le lotterie che rendono tale soggetto indifferente tra le altre lotterie sulla retta e quella in questione perché hanno tutte lo stesso valore atteso.

Assicurazione

Ci sono innumerevoli situazioni che espongono il soggetto a una possibile perdita finanziaria; in molte di queste situazioni è possibile coprirsi da tali rischi attraverso la stipula di un contratto con una compagnia assicuratrice che risarcisce qualora avvenga l’evento associato alla perdita finanziaria. Il contratto citato è chiamato assicurazione o polizza e i soggetti che rilasciano tale tipologie di contratto sono le compagnie assicurative.

Vedremo prevalentemente il comportamento di un individuo avverso al rischio in condizione di incertezza. Definiremo la situazione attraverso uno schema ad albero con dei fattori quali:

• Situazione rischiosa: il sinistro che provoca la perdita di ricchezza.
• Ricchezza iniziale [w]
• Perdita [d] derivante dal sinistro
• Probabilità dell’evento favorevole [π] ovvero che non si verifichi la perdita.

Poiché la probabilità è costante, possiamo tradurre la situazione rischiosa con una lotteria costituita dai due stati tali che X=(x₁;x₂) con x₁=w e x₂=w-d.

Il valore atteso della lotteria lo possiamo vedere come. Possiamo inoltre visualizzare la lotteria su un grafico cartesiano tale per cui la lotteria è sempre posizionata nella parte inferiore della retta a 45° in quanto la prima coordinata (w) è sempre maggiore dell’altra coordinata (w-d). possiamo quindi individuare la retta dove giacciono tutti i valori attesi pari a quello della lotteria iniziale quindi individuare il punto di intersezione con la retta a 45°.

Il contratto assicurativo

Il contratto assicurativo è essenzialmente costituito da 2 fattori:

• Una copertura [q] ovvero il massimo risarcimento pagato dalla compagnia assicurativa all’assicurato nel caso si verifichi la perdita d.
• Un premio assicurativo [p] ovvero la somma pagata dall’assicurato alla compagnia affinché questa si assuma il rischio.

Dal punto di vista dell’assicurato, la polizza assicurativa comporta una variazione della ricchezza netta di questo rappresentabile da una lotteria Z=(z₁;z₂)=(-p; q-p) tale per cui se il sinistro non si verifica, l’assicurato ha una variazione netta della propria ricchezza pari al premio stesso, mentre nel caso avvenisse il sinistro, l’assicurato vedrebbe una variazione della propria ricchezza per un valore pari a (q-p) in quanto questo paga in qualsiasi caso il premio assicurativo.

Nel caso di acquisto della polizza, la lotteria finale della polizza che chiameremo Y sarà tale che Y=Z+X quindi Y= (x₁;x₂) + (z₁;z₂).

Valutando le polizze assicurative mediante la copertura assicurativa le potremo distinguere in:

• Polizza completa: prevede un risarcimento esattamente pari al danno (q=d); la lotteria corrispondente a questa polizza sarà quindi Z=(-p; d-p) e di conseguenza il soggetto avrà a disposizione la lotteria Y=X+Z quindi Y=(w-p; w-d+d-p). Facendo le opportune riduzioni avremo Y=(w-p; w-p) quindi in entrambi i casi la vincita sarà sempre questo e di conseguenza la polizza completa offrirà all’individuo una lotteria certa. A seconda del premio pagato avremo che la lotteria Y traslerà lungo la retta della certezza.
• Contratto a copertura parziale: la polizza prevede una copertura inferiore alla perdita (q<d). In tal caso, sapendo che Z=(-p; q-p) allora Y=(w-p; w-p-(d-q)) dove (d-q)>0 è la perdita non assicurata. Con questa tipologia di polizza l’assicurato sostiene parte del rischio e di conseguenza la lotteria Y sarà sicuramente posizionata al di sotto della retta a 45°.

Valutando le polizze sotto l’aspetto del premio, potremo distinguere i contratti in:

• Contratto equo: un contratto sarà equo da un punto di vista attuariale, se il valore atteso della polizza è pari a 0, ovvero se E(Z)=0. Di conseguenza il contratto è equo se p=(1-π)q ovvero se il premio assicurativo è pari al risarcimento atteso.
• Contratto sfavorevole: nel momento in cui E(Z)<0 quindi p=(1-π)q allora il contratto viene definito sfavorevole; ciò accade quando la compagnia assicurativa pone un premio maggiore della copertura assicurativa.

Vi sono contratti in cui l’assicurato può scegliere il livello di copertura che vuole avere e la compagnia assicurativa decide il premio assicurativo che deve ricevere in proporzione alla copertura scelta dall’assicurato secondo la regola P=γq dove [0<γ<1] è il premio unitario ovvero il prezzo di un euro di copertura.

La compagnia di conseguenza fissa il valore γ mentre l’individuo sceglie la copertura [q] che intende assicurare. L’individuo potrà scegliere una copertura compresa tra 0 e la perdita d, tale che .

Per ogni data scelta che il soggetto può fare sulla copertura, la lotteria Z(q) in funzione di q diverrà: . L’individuo disporrà di una lotteria Y(q)= X + Z(q)= (w- γq; w-d+ (1- γ)q).

Com’è possibile mostrare, le lotterie Y(q) giacciono su una retta tra cui spicca la “lotteria iniziale” X tale per cui q=0 pertanto Y(0)=X=(w; w-d) ovvero il caso in cui il soggetto non si assicura. Un ulteriore punto di interesse è quello dove il grado di copertura scelto dal soggetto è pari al danno ovvero q=d pertanto . Questa lotteria corrisponde a un contratto a copertura completa, di conseguenza questa lotteria si troverà sulla retta della certezza. Per tutti i valori 0<q<d le lotterie giacciono su la retta collegante le lotterie Y(0) e Y(d).

L’equazione della retta si ricava attraverso le coordinate dei punti X e Y(d) ed è data dalla formula: dove la pendenza della retta è pari a . In particolare al variare di γ varia la pendenza e, se γ’>γ allora la retta sarà più piatta e viceversa se γ’<γ.

Il valore del premio unitario γ è un valore importante in quanto al suo valore dipende anche la tipologia di contratto: il contratto è equo se il premio è pari all’indennizzo atteso ovvero p=(1-π)q dove però p=γq, pertanto avremo che: γq=(1-π)q quindi γ=(1-π). Di conseguenza nel momento in cui γ>(1-π) il contratto sarà sfavorevole.

La scelta assicurativa

In quali condizioni un soggetto avverso al rischio deciderà di stipulare un contratto completo e in quali casi deciderà di stipulare un contratto a copertura parziale? Per vedere le scelte di tale soggetto, studieremo la scelta assicurativa dal punto di vista grafico considerando prima il contratto equo poi il contratto sfavorevole.

Contratto equo γ=(1-π)

Nel caso di contratto equo avremo che la compagnia fisserà γ=(1-π) pertanto il soggetto disporrà delle lotterie Y(q)= (w-(1- π)q ; w-d+ πq). Da questa poi il soggetto potrà scegliere:

• Contratto a copertura completa per q=d. In tal caso Y(d)= (w-(1- π)d ; w-(1- π)d) =A pertanto il punto si troverà sulla retta del valore atteso costante in quanto w-(1- π)q è pari al valore atteso costante, parallelamente si troverà anche sulla retta a 45°.
• Contratto a copertura parziale per q<d che si troverà sulla retta del valore atteso costante per le motivazioni per cui abbiamo visto prima.

Sapendo che tali soggetti hanno curve di indifferenza con concavità rivolta verso l’alto, possiamo supporre che questo, avendo la possibilità di acquistare una polizza completa e equa dal punto di vista attuariale, sceglierà quella tipologia di polizza rispetto a qualsiasi altra tipologia di polizza a copertura parziale.

Contratto sfavorevole γ>(1-π)

Se il contratto è sfavorevole, l’individuo disporrà di una lotteria Y(q)= (w- γq ; q-d + (1- γ)q). Tracciando la retta di bilancio passante per X / Y(0) e C=Y(d)= (w- γd ; w- γd) ed il punto C sarà sottostante al punto A.

Poiché la curva di indifferenza dev’essere tangente alla retta del valore atteso succede di conseguenza che, poiché il segmento XC non è parallelo/sovrapposizionato a una retta del valore atteso costante, tracciando la CdI passante per C avremo che questa intersecherà la congiungente XC in un altro punto, inoltre vedremo che ci sono dei punti ovvero delle lotterie.