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MATRICE DI INCIDENZA:
La matrice di incidenza associa i movimenti relativi ai nodi di estremità di ogni asta con i movimenti di tutta la struttura. Noi quindi scriviamo: "Questa è la matrice di incidenza."
Ora voglio passare dai agli . Per i-esima asta abbiamo detto che la relazione per il passaggio da sistema locale a globale è:
Ora vogliamo togliere i .
Adesso dobbiamo scrivere delle equazioni di equilibrio su tutta la struttura. Noi abbiamo ragionato sulla singola asta. Ma se abbiamo un nodo tutte le aste attaccate a quel nodo risentono di un movimento per cui tutte queste aste produrranno delle reazioni che possiamo valutare tramite la matrice delle rigidità per cui dobbiamo fare in modo che la struttura sia complessivamente in equilibrio. Quindi nei diversi nodi dobbiamo andare a sommare le reazioni che ci danno le diverse aste a seguito dei movimenti e fare in modo che siano in equilibrio con le forze esterne:
Se abbiamo ad esempio il movimento noi possiamo definire una
forza correlativa. Noi dobbiamo fare in modo che tutte le reazioni delle aste che concorrono in quel nodo in direzione di, sommandole, siano in equilibrio con la forza applicata in quel nodo esternamente. Se in quel nodo non è applicato nulla vuol dire che quando sommo le reazioni in direzione 4 di tutte le aste attaccate a quel nodo devo avere come somma 0. Quindi riassumendo, in ogni nodo in ogni direzione di movimento deve succedere che la somma delle reazioni delle aste deve essere in equilibrio con le forze applicate. Dobbiamo quindi scrivere ora questo equilibrio: Questo passaggio tra S e F segue la stessa logica del passaggio tra e. Quindi se prima abbiamo scritto: Ora posso scrivere: Anche se a me interessa la relazione opposta e quindi posso scrivere: Ci dice come una generica asta contribuisce al vettore delle forze. Se però in un nodo abbiamo più aste che concorrono, se voglio calcolare la reazione totale delle aste nel nodo dovrò sommare i contributi delle aste per.calcolare la forza totale applicata al nodo che deve equilibrare la reazione delle aste:
Andiamo a sostituire quello trovato prima:
Possiamo trovare delle similitudini con quanto ricavato:
Quindi la matrice di rigidezza la calcoliamo come una sommatoria. Il significato di ogni simbolo della sommatoria ci dicea quali termini della matrice di Rigidezza della struttura ogni asta va a dare il suo contributo.
In sostanza questi termini della matrice di Rigidezza danno delle relazioni in termini di forze che si generano tra i gradi di libertà.
Quindi la matrice di Rigidezza complessiva sarà:
Poi si sommono i vari contributi nella singole caselle e si ottieni la matrice con i valori complessivi
Quindi non abbiamo ottenuto questo sistema
E il numero di equazioni sono tanti quanti sono i gradi di libertà della struttura. Alla fine abbiamo questo sistema di equazioni:
Quali sono le incognite di questo problema?
Se abbiamo questa struttura N=18:
Questi però non sono incognite
perché il movimento li vale zero però sono vincolati. Quindi in questi nodi le incognite sono le reazioni vincolari. Ma conosco le forze ai nodi.
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