Metodi per la risoluzione di testi d'esame - parte 2

ELEMENTI A CURVATURA VARIABILE: CLOTOIDI MULTIPARAMETRO

VARIAZIONE DI CURVATURA CONTINUA

Nel passaggio tra due elementi caratterizzati da una curvatura costante ma diversa tra loro occorre

introdurre un elemento a curvatura variabile per garantire un andamento continuo della

traiettoria.

Infatti una traiettoria veicolare costituita da elementi a curvatura costante ha carattere puramente

teorico e comporterebbe situazioni critiche relativamente a:

1) Sterzatura di alcuni veicoli

2) Variazione di accelerazione e contraccolpo troppo elevate

1) Per problemi relativi alla sterzatura dei veicoli distinguiamo tra sistemi a guida vincolata e

sistemi a guida libera:

a) Nei sistemi a guida vincolata variazioni discontinue di curvatura indurrebbero il

concentrarsi nei punti di discontinuità di azioni dinamiche tali da indurre problematiche di

usura dei binari e del veicolo (i veicoli ferroviari sono vincolati alle rotaie attraverso il

brodino della ruota e la loro inscrizione in curva avviene attraverso una serie di urti contro

la rotaia esterna)

b) Relativamente ai sistemi a guida libera la variazione dell’angolo di sterzo in un veicolo

automobile necessita di tempi non trascurabile a causa del modo in cui gli utenti agiscono

sui comandi e delle caratteristiche meccaniche degli organi di sterzo. Dunque la variazione

di direzione , cioè la sterzatura, deve avvenire in maniera progressiva

2) Le problematiche che una variazione discontinua della curvatura indurrebbe dal punto di vista

cinematico e dinamico sono legate all’accelerazione ed in particolare alla sua componente

normale. Infatti l’accelerazione può essere decomposta in una componente tangente ( o

longitudinale )responsabile della variazione del modulo della velocità ed una componente

normale alla tangente (o centripeta) legata alla variazione del versore tangenziale t, e cioè alla

variazione della variazione della direzione della velocità.

Quest’ ultima è dunque diretta in ogni punto verso il centro della circonferenza osculatrice ed è

esprimibile come = =

occorre limitarne i valori assunti per il benessere ed il comfort degli utenti e per la sua diretta

relazione con la forza centrifuga : =

Per il comfort degli utenti e per la stabilità dinamica del veicolo deve essere limitata anche la

variazione di accelerazione trasversale nel tempo e cioè il contraccolpo:

= =

La variazione di queste grandezze sarà quindi legata alla variazione della curvatura che

rappresenta la caratteristica geometrica puntuale in grado di esprimere la forma della curva

nell’intorno del punto considerato e corrisponde all’inverso del raggio della circonferenza

osculatrice in quel punto 1 ( )

= ≈ ( )

/ [

1 + ( )] 20

Valutiamo quindi la variazione dell’accelerazione trasversale e del contraccolpo nei due casi di

variazione di curvatura discontinua e continua:

a) Nell’ipotesi di variazione discontinua della curvatura, in corrispondenza dei punti del salto

della curvatura otterremmo un salto dell’accelerazione che avrebbe quindi un coefficiente

angolare infinito corrispondente ad un contraccolpo infinito

L’accelerazione presenta infatti lo stesso andamento della curvatura a meno del fattore

2

V =cost

b) Se ipotizziamo che la variazione di curvatura tra due elementi a curvatura costante avvenga

linearmente e che la velocità si mantenga costante otterremmo una variazione lineare

dell’accelerazione trasversale e dunque un valore finito del contraccolpo. 21

CLOTOIDI MULTIPARAMETRO

Stabilita quindi la necessità che la variazione di curvatura si realizzi in maniera continua per approfondire la

forma della traiettoria nel tratto a curvatura variabile si possono formulare diverse ipotesi sul moto

1) Ipotizziamo che lungo il tratto di variazione della curvatura siano

- Velocità del veicolo costante: v= cost ∆

= = =

∆

̇

- Velocità di sterzatura costante: =cost ∆

̇ = = =

∆

Se eliminiamo il tempo dalle due espressioni otteniamo:

=

̇

E cioè ̇

=

Se indichiamo con R il raggio ( distanza tra il baricentro ed il centro di istantanea rotazione) e con P

il passo del veicolo (distanza tra l’asse delle ruote anteriori e l’asse di quelle posteriori) abbiamo:

=

Essendo gli angoli molto piccoli possiamo riscrivere l’espressione come:

≅

Sostituendo : ̇

=

E cioè = ̇

Osserviamo che il prodotto tra il raggio e l’ascissa curvilinea è pari ad una costante essendo il passo

̇

del veicolo costante e v e costanti per ipotesi.

Questa costante ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato:

∙ ∙ =[ ]

=

̇ ∙

Se definiamo la costante A il parametro di strada sempre positivo con le dimensioni fisiche di una

lunghezza otteniamo: =

Si tratta dell’espressione intrinseca di una curva definita clotoide unitaria.

Per essa otteniamo quindi:

- Curvatura varia linearmente al variare dell’ascissa curvilinea

1 = 22

- Accelerazione trasversale ha lo stesso andamento lineare della curvatura al variare dell’ascissa

2

curvilinea a meno del termine V costante = =

- Contraccolpo costante rispetto all’ascissa curvilinea coincidendo con la derivata della curvatura

rispetto all’ascissa curvilinea: 1 1 1

= = = =

2) Ipotizziamo che lungo il tratto di variazione della curvatura siano

- Velocità del veicolo variabile linearmente: v= var ∆

= = = =

∆

1

= 2

̇

- Velocità di sterzatura costante: =cost ∆

̇ = = = =

∆

Se ricaviamo il tempo dall’ espressione otteniamo: =

̇

E cioè 1

= ̇

2

Se indichiamo con R il raggio ( distanza tra il baricentro ed il centro di istantanea rotazione) e con P

il passo del veicolo (distanza tra l’asse delle ruote anteriori e l’asse di quelle posteriori) abbiamo:

=

Essendo gli angoli molto piccoli possiamo riscrivere l’espressione come:

≅

Sostituendo : 1

= ̇

2

E cioè 1

= ̇

2 23

Osserviamo che il prodotto tra il raggio al quadrato e l’ascissa curvilinea è pari ad una costante

̇

essendo il passo del veicolo costante e a e costanti per ipotesi.

Questa costante ha le dimensioni di una lunghezza al cubo:

∙ ∙ =[ ]

=

̇ ∙

Se definiamo la costante A il parametro di strada sempre positivo con le dimensioni fisiche di una

lunghezza otteniamo: =

Se facciamo la radice quadrata di tale espressione otteniamo poi

. .

=

Si tratta dell’espressione intrinseca di una curva che è ancora una clotoide multiparametro ma

presenta un indice di forma <1 e viene dunque detta ipoclotoide.

Per essa otteniamo quindi:

- Curvatura non varia più linearmente al variare dell’ascissa curvilinea ma ha andamento

quadratico(?) .

1 = .

- Per l’accelerazione trasversale otteniamo un andamento in figura

- Contraccolpo varia linearmente rispetto all’ascissa curvilinea

3) Ipotizziamo che lungo il tratto di variazione della curvatura siano

- Velocità del veicolo costante: v= cost ∆

= = = =

∆

̇

- Velocità di sterzatura variabile linearmente: =var

̇ ̇ ̇

∆

̈ = = = =

∆

1 ̈

= 2

E cioè 2

= ̈

Se eliminiamo il tempo dalle due espressioni otteniamo: 24

2

= ∙ = ̈

E cioè 2

= ̈

Se indichiamo con R il raggio ( distanza tra il baricentro ed il centro di istantanea rotazione) e con P

il passo del veicolo (distanza tra l’asse delle ruote anteriori e l’asse di quelle posteriori) abbiamo:

=

Essendo gli angoli molto piccoli possiamo riscrivere l’espressione come:

≅

Sostituendo : 2

= ̈

E cioè 2

= ̈

Osserviamo che il prodotto tra il raggio e l’ascissa curvilinea è pari ad una costante essendo il passo

̈

del veicolo costante e v e costanti per ipotesi.

Questa costante ha le dimensioni di una lunghezza al cubo:

∙ ∙ =[ ]

=

̈ ∙

Se definiamo la costante A il parametro di strada sempre positivo con le dimensioni fisiche di una

lunghezza otteniamo: =

Si tratta dell’espressione intrinseca di una curva che è ancora una clotoide multiparametro ma

presenta un indice di forma >1 e viene dunque detta iperclotoide.

Per essa otteniamo quindi:

- Curvatura varia quadraticament al variare dell’ascissa curvilinea

1 =

- Accelerazione trasversale ha lo stesso andamento quadratico della curvatura al variare dell’ascissa

2

curvilinea a meno del termine V costante = =

- Contraccolpo lineare rispetto all’ascissa curvilinea coincidendo con la derivata della curvatura

rispetto all’ascissa curvilinea: 1 1 1

= = = = 25

4) Ipotizziamo che lungo il tratto di variazione della curvatura siano

- Velocità del veicolo variabile linearmente: v= var ∆

= = = =

∆

1

= 2

̇

- Velocità di sterzatura variabile linearmente: =var

̇ ̇ ̇

∆

̈ = = = =

∆

1 ̈

= 2

E cioè 2

= ̈

E cioè 1 2

= ̈

2

Se indichiamo con R il raggio ( distanza tra il baricentro ed il centro di istantanea rotazione) e con P

il passo del veicolo (distanza tra l’asse delle ruote anteriori e l’asse di quelle posteriori) abbiamo:

=

Essendo gli angoli molto piccoli possiamo riscrivere l’espressione come:

≅

Sostituendo : 1 2

= ̈

2

E cioè = ̈

Osserviamo che il prodotto tra il raggio al quadrato e l’ascissa curvilinea è pari ad una costante

̈

essendo il passo del veicolo costante e a e costanti per ipotesi.

Questa costante ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato:

∙ ∙ =[ ]

=

̈ ∙

Se definiamo la costante A il parametro di strada sempre positivo con le dimensioni fisiche di una

lunghezza otteniamo: = 26

Si tratta ancora dell’espressione intrinseca di una clotoide unitaria ma le ipotesi cinematiche alla

base sono completamente differenti.

Per essa otteniamo quindi:

- Curvatura varia linearmente al variare dell’ascissa curvilinea

1 =

- Per l’accelerazione trasversale otteniamo un andamento in figura

- Contraccolpo varia rispetto all’ascissa curvilinea in figura

Da questi primi esempi possiamo osservare che le clotoiti multiparametro si suddividono sulla base del

valore assunto dall’indice di forma: =

- Per n=0 otteniamo R=A e dunque un cerchio

- Per 0<n<1 otteniamo una curva della famiglia delle ipoclotoidi

- Per n=1 otteniamo la clotide unitaria

- Per1<n<∞ otteniamo una curva della famiglia delle iperclotoidi

- Per n=∞ la curva degenera in una retta in quanto l’infinito a secondo membro risulta di ordine

superiore rispetto a quello a primo