Esercizi Metodi

Autovalutazione 2

Esercizio 4

Esercizio 4

Si consideri la seguente funzione di due variabili realif(x,y) = x⁴ + xy + (1+y)².

1. Ricordando che, condizione necessaria perché il punto P = (x̄, ȳ) sia un punto di estremo relativo per f è che P sia soluzione del seguente sistema di equazioni
   • f_x(x,y) = 0
   • f_y(x,y) = 0
   stabilire se f(x,y) può ammettere estremi relativi e, in caso di risposta affermativa, separarli opportunamente.
2. Ricordando che P è un punto di minimo se, oltre a verificare la condizione necessaria sopra riportata, accade che il determinante della matrice Hessiana valutato in P risulta maggiore di 0, stabilire se il metodo di Newton-Raphson ad una dimensione è adatto a dare una stima dell'ascissa del punto di minimo della funzione f(x,y). (Suggerimento: applicare il metodo di sostituzione per ridurre il sistema di due equazioni ad un'equazione dipendente dalla sola variabile x.)
3. In caso di risposta affermativa:
   • caratterizzare la convergenza del procedimento iterativo associato, con particolare riferimento alla scelta del punto iniziale, all'ordine di convergenza e alla monotonia della successione generata;
   • stabilire se e in che modo è possibile dare una maggiorazione del numero di iterazioni necessarie per dare una stima di x con almeno 10 decimali esatti (Suggerimento: ricordare che il metodo di Newton-Raphson è un particolare metodo del punto unito).

1. Devo risolvere
   • 9x³ + 4y = 0
   • x + 2(1+y) = 0

Si ha

• y_s = -4x³
• y_s = -x/2 - 1

Estremo relativo

Esercizio 6

Si consideri il sistema lineare AX = B con X ∈ Rⁿ, B ∈ Rⁿ e A ∈ Rⁿˣⁿ n ∈ N e tale che

A = ^{-1 -1 -1 -1 -1} 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ^...1...)

Studiare il condizionamento rispetto alla norma infinito in funzione di n.Suggerimento: Mostrare che ║A║∞ = n e che ║A⁻¹║∞ = 2ⁿ⁻¹. Utilizzare il metodo di sostituzione all'indietro per il calcolo di A⁻¹.

Utilizzando la sostituzione all'indietro per il calcolo di A⁻¹ ho:

x_m = ^b_m/_{u_mm} = ¹₁ = 1

U_mm: elemento i matrice A

{ x_m-1 = (0 - (-1)·x_m)·1 = 0 + x_m = 1

... e così via. In questo modo ho calcolato tutti gli elementi della colonna m-esima di A⁻¹, cioè X.Per come è fatta A ultima colonna A⁻¹ = 1ª riga A⁻¹

Così facendo mi viene che

X = ^{2ⁿ⁻² 2ⁿ⁻²} 2⁰ 1 ^2⁰

ESERCIZIO 8

Si consideri il seguente procedimento iterativo

X^(k+1) = P^-1N X^(k) + P^-1B,

riferito ad un generico sistema lineare AX = B, con P = D + ωL, N = -βL - U, D matrice diagonale con diagonali pari a quelli di A, U e L matrici triangolari rispettivamente superiore e inferiore corrispondenti alla parte triangolare superiore e inferiore di A esclusa la diagonale principale, ω e β due parametri reali.

1. Stabilire se per la scelta delle seguenti coppie di parametri (ω, β) = (0, 1) e (ω, β) = (1, 0) il procedimento iterativo sopra descritto genera una successione convergente alla soluzione dei sistemi lineari aventi come matrice dei coefficienti rispettivamente

   A₁ = 00-121000000-10002,A₂ = 002-110000-3000423, A₃ = 5210-21103

2. Nei casi di convergenza al punto precedente, stabilire se la velocità di convergenza dei procedimenti iterativi è maggiore di quella del metodo di Jacobi.
3. Se possibile, calcolare la velocità di convergenza del metodo di Jacobi costruito per dare una stima della soluzione del sistema lineare avente A₂ come matrice dei coefficienti.

Mi riconduco ai metodi GS e J => verifico se ho convergenza studiando le matrici: A_m, m = 1, ..., 3.

ESERCIZIO 1

1. Illustrare il problema della soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie, con particolare riferimento alla tipologia di errori dei metodi one step espliciti.
2. Sapendo che l’errore di arrotondamento massimo è pari a 0.5 · 10^-8, stabilire per quale scelta del passo h è possibile dare la soluzione con errore minimo dei seguenti problemi di Cauchy usando il metodo di Eulero. Motivare la risposta.
   • y' = 1/y, x ∈ [-0.1, 0.1] y(-0.1) = 0
   • y' = -y, x ∈ [0, 1] y(0) = 1
   • y' = 3y³ x ∈ [-0.5, 0.5] y(0) = 0

h_max 0.5 · 10⁸

⇒ Calcolando h_ott ottengo il livello di precisione massimo

1. La funzione non è lipschitziana! Infatti:

f(x, y) = 1/y ⇒ f_y = -1/y²

e visto che y(-0.1) = 0 e -0.1 ∈ I⇒ La funzione non è lipschitziana.

ESAME MARZO 2013

ESERCIZIO 1

1. Illustrare il problema della quadratura numerica, con particolare riferimento al grado di precisione di una formula di quadratura.
2. Si consideri la funzione f(x) = x² − 5. Stabilire quali delle seguenti formule di quadratura producono il valore esatto di I(f) = ∫_-1¹ f(x) dx. Motivare la risposta dopo aver determinato il grado di precisione di tutte le formule elencate
   • S₁(f) = 1/2 f(-1) + Af(1/2) + Bf(1/2) + f(1), A, B ∈ R
   • S₂(f) = 5/6 (f(-1) + 4/6 f(1)), A, B ∈ R
   • S₃(f) = 16/81 f(-1) + 4/7 f(0) + 4f(1) + 7/21 f(1)), A, B ∈ R

1.2

Il valore esatto dell'integrale è

I(f) = ∫ x² dx = 0

Uso il metodo dei coefficienti indeterminati, tale che la formula sia esatta per f(x) = x^k, 0 ≤ k ≤ 1

- k=0 ,

De cui:

A=-B

A/2 + B/8 = 0

A/2 + A/3 = 0

- k=1 ,

A + B = 0

128 + 32A + B = 128/3

Non ha soluzione

mi aspetto che S_x(f) sia di grado 1

Esame Giugno 2015

1.2 Stabilire quale tra i procedimenti iterativi noti è adatto ad approssimare la soluzione del seguente sistema lineare

_{( - cos(π/6) 0 0 0 0 0 ) = S}

_{( 0 cos(π/3) 0 0 0 0 ) = U}

_{( 0 -sen(π/6) -cos(π/6) 0 0 0 ) = L}

f'' = -72t²(2 + t³) + 120t⁴

---------------

(2 + t²)³

f''' = -144t² - 72t⁴ + 120t⁴

--------------- = 120t⁴ - 144t²

(2 + t²)³ (2 + t²)³

t²(120t² - 144)

---------------

(2 + t²)³

Utilizzando Geogebra mi accorgo che questa è monotona decrescente.

Quindi le maggiori e per la formula delle parabole ho

f'''' = 0.028

- h³ f''''(x) < 0.8 ⋅ 10²

-----

30

h = ³√ 30.0.8 ⋅ 10² = 1.743

------

0.028