Meccanica del contatto - Profili coniugati - Camme a disco

M M

corpo 1 e l’altro al corpo 2), possiamo considerare ed

1 2

assegno un pro lo

come i due corpi stessi. A questo punto, al

corpo 1; ho scelto una curva generica, che in questo caso

rappresento con una poligonale per semplicità di

rappresentazione. I segmenti della poligonale sono uguali tra

loro, ma questo non è strettamente necessario. Ciò che ci

interessa sono le posizioni dei vertici, poiché stiamo lavorando

M

con una poligonale. Questa poligonale è solidale a , ossia

1 P

rappresenta il pro lo del corpo 1, che indicheremo come .

1

Le polari (qui rappresentate tramite poligonali) hanno una

proprietà: poiché non c’è scivolamento nel punto di contatto, la

M

lunghezza del primo segmento sulla polare deve essere

1 M

uguale alla lunghezza del primo segmento sulla polare , e

2

così via per ogni segmento successivo. Questo è confermato

dai calcoli: per esempio, se la lunghezza del primo segmento è

M M

100 su , sarà 100 anche su .

1 1

P

Ora, per determinare il pro lo associato al corpo 2, iniziamo

2

P P

posizionando il primo punto di coincidente con il primo punto di . Notiamo che, sebbene il

2 1

P

pro lo sia scelto in modo arbitrario, deve comunque rispettare una proprietà speci ca: la

1 P passare per il centro di rotazione istantanea

normale al pro lo nel punto di contatto deve

1

del moto relativo.

In altre parole, se P è il punto di contatto tra i due pro li, la normale al

P intersecare il centro di rotazione

pro lo nel punto P deve

1

istantanea relativo alla posizione 1, che è un punto sso nel sistema. Di

centro di rotazione istantanea

conseguenza, la retta che unisce P e il

deve essere perpendicolare al segmento tangente in P .

P

Usando una poligonale per rappresentare , possiamo approssimare

1

questa condizione selezionando segmenti in nitesimali. Tracciamo quindi

P

la normale a nel punto di contatto e veri chiamo che passi

1

e ettivamente per il centro di rotazione istantanea.

P punto iniziale

Per costruire il pro lo , possiamo procedere così: il di

2

P P P

coincide.

e Disegniamo quindi i punti del pro lo in modo che

2 2 2 P

rispettino la condizione di rotolamento senza strisciamento con .

2

Aggiungo questo primo punto con una colorazione rossa per distinguerlo

e facilitare la visualizzazione del contatto.

ff fi

fi fi fi

fi fi fi fi fi fi fi fi

fi fi fi fi

A questo punto, consideriamo il punto iniziale, o punto

zero, che è in comune tra il pro lo 1 e il pro lo 2, poiché

si trovano a contatto. Ciò signi ca che vi sarà un punto

del pro lo 2 coincidente con il punto iniziale del pro lo 1.

Ora, prendiamo la polare 2 e facciamola rotolare sulla

polare 1. A ogni posizione raggiunta, individuiamo il

punto 1 del pro lo e veri chiamo dove si colloca nella

nuova posizione. Tale posizione corrisponderà al punto

successivo del pro lo 2, poiché in quel punto il pro lo 2

avrà anche la normale comune a quella del pro lo 1.

Quindi, per costruire il pro lo 2, dobbiamo ruotare

l’intero sistema attorno al centro di rotazione istantanea

del moto relativo no a posizionare il punto della polare

2 in corrispondenza del punto della polare 1. Questo è il

primo movimento. Una volta che il primo punto del

pro lo 2 è posizionato correttamente, possiamo

procedere.

Per ssare il secondo punto del pro lo 2, ruotiamo

nuovamente l’intero blocco attorno al nuovo centro di

rotazione istantanea. Questo processo viene ripetuto

portando il segmento successivo del pro lo 2 in

corrispondenza del pro lo 1. Continuando, il secondo

punto del pro lo 2 si posizionerà nel punto stabilito e

così via. A ogni rotazione attorno al nuovo centro di

rotazione istantanea, il pro lo 2 si costruisce

progressivamente seguendo la direzione del rotolamento

relativo.

Procedendo con un’altra iterazione, ruotiamo attorno al

centro di rotazione istantanea per posizionare il punto 3

del pro lo 2 nel suo nuovo punto di contatto. Eliminando

le sovrapposizioni temporanee, possiamo vedere

chiaramente come il pro lo 2 stia prendendo forma,

punto per punto: questo è il punto zero, questo è il

punto 1, e questo è il punto 2 del pro lo 2.

Osserviamo ora una caratteristica fondamentale: mentre

polari rotolano

le senza strisciamento (quindi segmenti

corrispondenti hanno la stessa lunghezza), nei pro li

segmenti di contatto hanno lunghezze

coniugati, i

diverse. Ciò indica che vi è uno strisciamento del pro lo

1 sul pro lo 2, pari alla di erenza di lunghezza tra i

segmenti di contatto. Ad esempio, nel passaggio da 0 a 1, il segmento sulla polare misura 160,

mentre il segmento corrispondente sul pro lo è 298,56. Questo strisciamento ri ette la di erenza

nelle lunghezze dei segmenti in ogni fase.

fi fi fi

fi fi fi fi fi fi fi fi

fi ff fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fl ff

Ora, se volessimo costruire questo sistema geometricamente, come dovremmo procedere?

Utilizzando uno strumento CAD (come AutoCAD), possiamo e ettuare uno spostamento rigido

dell’intero sistema (polare 1 e pro lo 1) per ottenere il contatto continuo tra pro li coniugati. In

CAD, la funzione “gruppo” consente di trattare l’intero sistema come corpo rigido, facilitando il

rotolamento di una polare sull’altra.

Tuttavia, se volessimo costruire i pro li coniugati senza l’ausilio di strumenti digitali, sarebbe

necessario seguire una costruzione punto per punto. Per ogni istante, a ogni contatto tra le polari

si potrebbe determinare la posizione del pro lo coniugato del corpo 2 sul corpo 1. Sebbene

sembri un processo complicato, è fattibile e garantisce la creazione precisa dei pro li coniugati,

rispettando la condizione di rotolamento relativo senza scivolamento tra le polari.

t M M

All’istante iniziale , consideriamo due polari, ed , con

0 1 2

M M

che rotola su secondo il moto relativo assegnato.

2 1 M

pro lo

Disegniamo un arbitrario per il corpo associato a . Il

1

primo punto di questo pro lo dovrà avere una normale tale che sia

M centro

comune anche al pro lo associato a e che passi per il

2

di rotazione istantanea relativo alla posizione 1 del moto.

Quindi, poiché il centro di rotazione istantanea relativo in

posizione 1 è noto, la condizione è che la normale al pro lo in quel

punto di contatto passi per questo centro. Per costruire il pro lo, possiamo invertire la procedura:

assegniamo prima la direzione della normale e poi disegniamo il pro lo in modo che il punto di

contatto si trovi su questa normale.

Supponiamo che la normale iniziale abbia una certa direzione.

Questa normale si riferisce ai pro li, non alle polari. Poniamo che il

punto di contatto iniziale per il pro lo 1 (indicato in verde) sia in

una certa posizione, il che determina che la tangente sia

perpendicolare a questa normale. Il pro lo 1 dovrà quindi partire

in quella direzione e avere una forma coerente con quella tangente

iniziale.

Ora, il primo punto del pro lo 2 sarà anch’esso nel punto di

contatto stabilito per il pro lo 1, poiché i due pro li devono avere un contatto tangenziale, e quella

sarà anche la normale iniziale per il pro lo 2. M M

Per costruire il moto relativo, facciamo rotolare su . Invece di un piccolo rotolamento,

2 1 M

consideriamo un avanzamento maggiore: portiamo il punto di contatto su in una nuova

1

M

posizione, ad esempio in un punto successivo della curva . Il rotolamento delle polari richiede

1

M M

che l’arco percorso da sia uguale a quello percorso da , quindi se si procede con un

2 1

compasso o una misura precisa, si mantiene la distanza tra i punti di contatto.

Consideriamo ora una nuova posizione del punto di contatto tra le polari. Quando questo punto

nuovo centro di rotazione istantanea

diventa il del moto relativo, il punto di contatto sul pro lo

1, già stabilito, dovrà rispettare la proprietà dei pro li coniugati: la normale al pro lo nel punto di

contatto deve passare per questo centro di rotazione istantanea.

Il problema consiste nel determinare quale punto sul

pro lo 1 possiede una normale che passi per

questo nuovo centro. Supponiamo di procedere

matematicamente, calcolando la posizione e la

direzione delle normali per ciascun punto del pro lo.

Una volta conosciute le normali, possiamo

identi care quale di esse passa esattamente per il

centro di rotazione istantanea, garantendo la

coniugazione richiesta per il moto relativo.

fi fi fi fi fi

fi

fi fi fi fi

fi fi fi fi fi

fi fi fi fi ff fi fi fi fi fi

Abbiamo stabilito che, facendo rotolare la curva, il punto iniziale di contatto si porterà in una

nuova posizione. La normale al secondo pro lo è quindi quella che dobbiamo determinare,

secondo i principi che abbiamo discusso, e dovrà necessariamente passare per il centro di

M

rotazione istantanea situato sulla polare .

2

Quando il secondo pro lo rotolerà sul primo, le due

punto di

polari avranno una tangente comune in ogni

contatto. l’angolo

Questo implica che tra la normale e

la tangente per ciascun pro lo deve essere

conservato: l’angolo che la normale al pro lo 1 forma

M

con la tangente alla polare deve essere uguale

1

all’angolo che la normale al pro lo 2 forma con la

M

tangente alla polare .

2

Consideriamo quindi la normale al pro lo 1: questa

M

forma con la tangente alla polare un certo angolo

1

α , che non è necessariamente di 90 gradi rispetto alla

tangente della polare, ma rappresenta l’orientamento

della normale rispetto alla tangente della polare.

M M

Quando facciamo rotolare su , portando il

2 1

nuovo punto di contatto nella posizione successiva, la

M M

tangente a coincide con quella a , e la

2 1

normale al pro lo 2 deve quindi formare lo stesso

α M

angolo con la tangente a .

2

Per applicare questa condizione, tracciamo una retta

α

inclinata di rispetto alla tangente della polare nella

direzione della

nuova posizione, de nendo così la

normale comune. Su questa retta troveremo il punto

del pro lo 2 che si allineerà con il punto del pro lo 1 in

modo tale che entrambi i punti abbiano la stessa

distanza dal centro di rotazione istantanea.

Utilizzando un compasso, riportiamo la distanza tra il

punto di contatto iniziale e il centro di rotazione per

individuare la nuova posizione del punto di contatto sul

pro lo 2. Questo ci permette di individuare