Meccanica completo

LA MECCANICA È IL NATURALE PROSEGUO DEL PERCORSO DELLA STATICA.

È UNO STUDIO COMPARATO TRA LE MATEMATICHE E LA FISICA PER SCOPRIRE COSA SUCCEDE AI CORPI RIGIDI INTORNO A NOI E ANCHE ALL’INTERNO DELLE FIBRE DELLA MATERIA.

NELLA STATICA SI DEVONO CONOSCERE:

• CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI (le RV sono dei vettori che tengono equilibrato una struttura rigida sottoposta alla azione di forze esterne) Ci si immagina un flusso di forze esterne chiamato carichi che impattano contro la struttura (i corpi). Affinché il corpo non ceda sotto le forze ci si immaginano delle controforze che vadano ad annullare le forze esterne.
• I VINCOLI quei dispositivi applicati alle strutture che hanno il compito di impedire alcuni movimenti alle parti della struttura.

LE REAZIONI VINCOLARI SI CALCOLANO CON IL SISTEMA DI RIFERIMENTO (il verso positivo nel sistema antiorario è antiorario)

DIAGRAMMI DELLA FIGURA sono dei disegni che rappresentano l’andamento dei sforzi dentro le infinite sezioni di un corpo rigido. Sono chiamati numericamente dell’analisi degli sforzi: normale, taglio e momento, che prendono il nome di caratteristiche della sollecitazione. Per fare questo allievo si utilizza un altro sistema di riferimento chiamato concio elementare. È un cubetto avente montazione con un battipiede qui ruocco per noi le fibre tese, con le sezioni sulle quali sono applicate i versi delle positività dei nostri sforzi:

• S. NORMALE = trazione se entrambe le direzioni.
• S. TAGLIO = quando imprimere rispetto al fulcro, una rotazione oraria.
• MOMENTO FLETTENTE = quando tende le fibre inferiori.

In statica ci siamo limitati a dire che le forze esterne sono bilanciate da quelle interne, cioè la presenza di uno sforzo nel punto in cui si incontrano ma qual sforzo non essendo fermi si propagano quindi la meccanica si chiede: cosa succede nelle infinite sezioni della materia? È la propagazione di una sollecitazione, dove la materia oppone una resistenza che è la risposta della materia alla sollecitazione che può generare delle deformazioni; quindi, dobbiamo conoscere oltre variabili di parola DEFORMAZIONE non che volanza di una parte della deformazione vera e propria della materia (visivamente), ma è anche intesa come spostamento infinitesimo di una struttura rigida.

Noi imporiamo a conoscere i parametri di spostamento che sono:

Ψ(ϕ) δ η

δ = allungamento o accorciamento legato allo sforzo normale di trazione o compressione

ὴ = abbassamento o imbazamento

• Ψ(ϕ) è la rotazione elastica del nodo (dove per nodo si intende il punto che unisce l'asta con il vincolo, l'asta o comunque dove una fine si è applicato su una struttura) Ψ% rotazione dell'asta su se stessa

C'è anche la Ψ(ψ)

LINEA ELASTICA rappresenta l'equazione delle curve deformate di un'entemente.

Elastica perché si suppone che quando ci rimuovo il carico il materiale sia in grado di tornare nella posizione precedente. La variabile fondamentale in matematica è x per così otteniamo una funzione in x trovando in questa scopriamo molte tane dato c'è il massimo affondimento (dove deve peggiorare maggiormente il solco).

Fondamentale nella linea elastica è ὴ (abbossamento). È elastic si appiace in tanti passi.

Calcolo della linea elastica

(passaggio di confine tra statica e meccanica) mi dice che la derivata seconda di N^e è:

η'' = - M(x) / EI

Cose sono E ed I? E ed I moltiplicati tra loro rappresentano la rigidità flessionale cioè la capacita che ha una trave o un'asta in base al materiale da cui è composta di flettersi.

E = si chiama modulo di Young ed è il modulo di elasticità lineare e rappresenta la capacità che ha ogni materiale di essere elastico rispetto alle sollecitazioni esterne (rimane sempre generalmente E, non lo specifichiamo).

I = momento di inerzia della sezione (la ricaviamo dalla geometria delle cose di statica). Questo valore che si esprime in potenza alla quarta dipende dalla forma della sezione.

Moltiplicati mi dicono quanto si può flettere rigidità flessionale.

Ritroviamo della linea elastica che per me è semplicemente N^e e integriamo.

η'' = [qx²/2 - qlx + ql²/2] / EI

η^ne = ∫η'' dx = (1/EI) ∫(qx²/2 - qlx + ql²/2) dx = (1/EI) [qx³/6 - qlx²/2 + ql²x/2]

η = ∫η' = (1/EI) [qx⁴/24 - qlx³/6 + ql²x²/2] + C₁x + C₂ equazione generale dell'abbassamento η

In questo metodo posso calcolare solo le Φ e le η, questo sono equazizioni generale non è ancora finita perché dobbiamo trovare delle soluzioni per capire dove questa struttura è maggiormente sollecitata.

Linea Elastica per Iperstatiche

La parola iperstatico significa che ho una struttura che ha vincoli con troppa molteplicità cioè ho più vincoli di quello necessario.

Quando le strutture è iperstatico dobbiamo risolverle in maniere differente. Le linee elastico iperstatiche vanno risolte con i contatti matematici di derivate e integrali, utilizzando la equazioni differenziali per permettere di trovare un legame tra gli spostamenti (parametri cinematici) e le reazioni vincolari (parametri statici). Questo legame è dato dell'equazione differenziale del IV ordine cioè se ho un vincolo con n=g, iperstatico è volto l'equazione di 4 ordine, si chiama η^IV.

η^IV = ^q/_EI

È sufficiente svolgere 4 integrali per arrivare ad η impostando una piramide di integrali che saranno la stessa per tutti gli iperstati.

Di solito questa linee elastico si fa per tavolo piano con carico distribuito (la terza dei prof, con C0 + carichi concentrati, o solo CC: le formo in seguito).

FORMULE INVERSE

η^III = ^qx/_EI + C₁ ➡️ Tparametri staticiT = M' / EI

η^II = ^qx²/_2EI + C₁x + C₂ ➡️ MH = - η'' EI

η' = ^qx³/_6EI + ^C₁x²/₂ + C₂x + C₃ ➡️ φparametri cinematici

η = ^qx4/_24EI + ^C₁x³/₆ + ^C₂x²/₂ + C₃x + C₄ ➡️ ψ

Riferiamo di questo nella struttura iperstatiche a cui si chiede la soluzione per linee elastiche. Ho 4 incognite di constante d'integrazione φ e η ed in più M e T (momento e taglio). Saltiamo i primi 3 passaggi dell'isostatico ed arriviamo al:

C₁L³/6 - qL²/6EI

C₁L³/2 - qL⁴/24EI

C₁L³/6 - 3C₁L³/6 =

-qL⁴/24EI

-C₁ = 5qL⁴/24EI

C₁ = -5qL/8EI

C₂ = -qL²/2EI + 5qL²/8EI

C₂ = -qL²/2EI =

C₃ = C₄ = 0

qL³/6EI + L²/2 - qL²/_8EI

= qL³/6EI - 5qL³/16EI

qL³/8EI = 8 - 15 + 6/48EI

qL³

5/8 qL

M_A =

qL²_8EI

= -5/8 qL

-qL²

qL²/8

LVI = ¹/_EI ∫ (9Lx² - 9L²x - 9Lx²/2 + 9L³/2 - qLx²/2 + qLx²) dx

LVI = ¹/_EI [9Lx³/3 - 9L²x²/2 - qLx³/3 + qL³x/2 - qLx³/6]

LVI = ¹/_EI [9L⁴/3 - 9L⁴/4 - qL⁴/8 + qL⁴/6^]] from 0 to L

η_B = ^{8 - 6 - 3 + 4}/_{24 EI} qL⁴

η_B = ^3qL4/_24EI

η_B = ^qL4/_8EI