Materiale unità di apprendimento lezione simulata matematica a26 concorso scuola secondaria.

TEMPI E ARTICOLAZIONE

FASI TEMPI CONTENUTI METODOLOG

IA

Fase 1 ½ h Lezione frontale e Brain storming

svolgimento di – Cooperative

esercizi learning-

esemplificativi Lezione

partecipata

Fase 2 ½ h Leggere esempi di Attività

esercizio svolti guidata +

peer tutoring

Fase 3 1 h Gli allievi Laboratorio

propongono

Percorso dei contenuti disciplinari

Il percorso di questa presentazione prevede la

definizione successiva di vari termini e concetti, dai

preliminari ai conclusivi, e si snoda secondo le

seguenti tappe principali:

1. vengono fornite le definizioni preliminari

provenienti dalla teoria degli insiemi,

2. si passa alle definizioni di base dell’algebra

astratta,

3. si conclude con l’argomento obiettivo.

Definizioni Preliminari

Concetti fondamentali: oggetti e insiemi

Con il termine oggetto si indica qualsiasi elemento,

mentre il termine insieme indica ogni

raggruppamento, collezione, aggregato di elementi,

indipendentemente dalla loro natura. [3]

Definizioni Preliminari

Insieme prodotto cartesiano

Definizione. Dati due insiemi non vuoti A e B,

una coppia ordinata è composta da due

componenti a ∈ A e b ∈ B, presi in questo ordine

preciso, e si indica con (a, b). [4]

Definizione. L’insieme di tutte le coppie ordinate che

possono essere formate con gli elementi di A e B è

detto insieme prodotto cartesiano di A e B e viene

indicato come A × B. [4]

Quindi si può scrivere: A × B = { ( a, b ) : a ∈ A,

b ∈ B }

Definizioni Preliminari

Legge di composizione interna

Dato l’insieme A e il prodotto cartesiano A × A, si

può individuare una funzione f che, considerata la

coppia ( a, a′ ) ∈ A × A, associa ad essa

un elemento f (a, a′) ∈ A [6]

Strutture Algebriche

Definizione di struttura algebrica

Definizione. Si consideri un insieme A, dotato di

alcune operazioni interne, indicate con i

simboli ∗, Δ , ⊥.

Tali operazioni interne sono delle leggi di

composizione degli elementi di A, tali che ad ogni

coppia di A, fanno corrispondere un altro elemento

di A.

Tale insieme, con le sue operazioni interne è

chiamato

struttura algebrica ed è indicato nel modo seguente

(A, ∗, Δ, ⊥)

L’insieme A è detto sostegno della struttura

algebrica. [1]

Strutture Algebriche

Operazioni Interne Associative e Semigruppi

Dato un insieme A dotato di una singola operazione

interna ∗, si può indicare la struttura

algebrica (A, ∗)

Per l’operazione interna ∗ possiamo scrivere:

(a ∈ A, a′ ∈ A)→ a′′ ∈ A

Definizione. L’operazione

interna ∗ è associativa quando

(a ∗ a′) ∗ a′′ = a ∗ (a′ ∗ a′′), ∀ a, a′, a′′ ∈ A

dove le parentesi tonde indicano la precedenza

dell’operazione[5]

Definizione. Una struttura algebrica (A, ∗) dove ∗ è

associativa si dice semigruppo. [5]

Strutture Algebriche

Esempio. La struttura algebrica (N, +) è un

semigruppo.

Strutture Algebriche

Operazioni Interne con Elemento Neutro

Definizione. L’elemento neutro e ∈ A rispetto

all’operazione ∗ è quell’elemento tale che [5]

a ∗ e = e ∗ a = a, ∀ a ∈ A

Strutture Algebriche

Definizione di Monoide

Un monoide è una struttura algebrica (A, ∗) tale

che [5]

1. ∗ è associativa

2.∗ ha l’elemento neutro

Strutture Algebriche

Esempio. La struttura algebrica (N, +) è un monoide.

Strutture Algebriche

Esistenza dell’inverso rispetto all’operazione interna

Definizione. Dato un monoide (A, ∗) ed un generico

elemento a ∈ A l’elemento inverso (o opposto, o

simmetrico) di a rispetto a ∗ è quell’elemento a

′ ∈ A tale che [10] [5]

a ∗ a′ = a′ ∗ a = e

Definizione di Gruppo

Un gruppo è una struttura algebrica (A,∗),

costituita da un insieme A e un’operazione

interna ∗ tale che: [1]

1. ∗ è associativa

2. ∗ ha l’elemento neutro

3. ∀ a ∈ A, ∃ a′ ∈ A inverso di a rispetto

all’operazione ∗ A.L.Mendicino 25

Gruppi e Sottogruppi

Le mosse del cubo di Rubik formano un gruppo, chiamato il

gruppo del cubo di Rubik. [21]

A.L.Mendicino Gruppi e Sottogruppi 2

Proprietà commutativa e gruppo abeliano

Definizione. Un gruppo abeliano o gruppo

commutativo è un insieme G dotato di una

operazione • : G × G → G

che soddisfa le seguenti proprietà [11]

G1 per ogni g1, g2, g3 ∈ G si ha g1 • (g2 • g3)

= (g1 • g2) • g3 (proprietà associativa)

G2 esiste e ∈ G tale che g • e = e • g = g per

ogni g ∈ G (esistenza dell’elemento neutro)

G3 per ogni g ∈ G esistė g' ∈ G tale

che g • g' = g' • g = e (esistenza dell’inverso),

G4 per ogni g1, g2 ∈ G si

ha g1 • g2 = g2 • g1 (proprietà commutativa).

A.L.Mendicino Gruppi e Sottogruppi 2

Sfruttando la definizione di gruppo,

più brevemente possiamo dire che un gruppo

abeliano è un gruppo per cui vale anche la

proprietà commutativa.

Definizione. Un semigruppo che gode della

proprietà commutativa si dice semigruppo

abeliano.

Esempio. La struttura

algebrica (N,+) è un

semigruppo abeliano.

Esempio. La struttura

algebrica (Z,+) è un gruppo

abeliano.

Gruppi finiti, infiniti, finitamente generati,

insiemi di generatori

Definizione. Gruppi basati su insiemi sostegno (o

sostegni) che hanno un numero infinito di

elementi, si dicono gruppi infiniti. [5]

Definizione. Gruppi basati su insiemi sostegno (o

sostegni) che hanno un numero finito di elementi,

si dicono gruppi finiti. [5] In tal caso il numero di

elementi si dice ordine.

Definizione. Dato un qualsiasi gruppo (A, *) si

può considerare un insieme S sotttoinsieme del

sostegno A. Svolgendo ∗ un numero arbitrario di

volte tra elementi di S e/o loro inversi rispetto

ad ∗ si può generare una parte degli elementi

di A. In particolare, scritto:

S = {a1, a2, . . . , an}, 1≤n∈N

possiamo indicare con 〈 S 〈 l’insieme di elementi

del tipo {a1^k1∗a2^k2∗···∗an^kn}

Con k1, k2, . . . , kn∈Z, cioè l’insieme delle

combinazioni degli elementi di S mediante∗.

〈 S 〈 è un gruppo rispetto a ∗, infatti l’operazione

è interna a 〈 S 〈 e le proprietà della struttura(A,

*) vengono ereditate.