Matematica per la formazione di base (B029553) - Geometria piana, solida e isometrie | SFP Notes Vol.29

ASSIOMI DI EUCLIDE

1. Tra due punti passa una sola retta

2. Il segmento si può prolungare da entrambe le parti

3. Si può tracciare una circonferenza dato un centro e un raggio

4. Tutti gli angoli retti sono uguali

5. Se una retta taglia altre due rette formando dallo stesso lato angoli interni,

la cui somma è minore di due angoli retti, allora prolungando le due rette

queste si incontrano dalla parte in cui la somma degli angoli interni è minore di

due angoli retti

LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO QUALSIASI Ѐ UN ANGOLO PIATTO (180°)

Traccio la retta r passante per il punto C e parallela al

segmento AB.

AC è equivalente al quinto assioma, per cui taglia le due

rette formando angoli interni.

Considerando il segmento AC, l’angolo α è alterno

interno all’angolo α’, quindi α = α’.

Considerando il segmento BC l’angolo β è alterno

interno all’angolo β’, quindi β = β’.

Se sommo α’ + y + β’ = 180° come volevamo dimostrare.

Angoli alterni interni: si trovano nella parte di

piano compresa tra la retta r e la retta s,

parte interna

Angoli alterni esterni: si trovano nelle parti

esterne alla zona compresa tra le due rette

CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

Triangoli: sono poligoni convessi (=se presi due suoi punti il segmento che li unisce è tutto

contenuto all’interno)

Disuguaglianza triangolare: ogni lato è minore della somma degli altri due

Altezza: segmento che parte da un vertice e arriva perpendicolare al lato opposto

Bisettrice: divide l’angolo a metà

Mediana: segmento che unisce un vertice al punto medio del lato opposto

Congruenza: significa che due triangoli sono esattamente sovrapponibili attraverso delle isometrie

- tutti gli angoli sono acuti

- 1 angolo è retto

- 1 angolo è ottuso (>90°); gli altri due angoli sono per

forza acuti, considerando che la somma degli angoli

interni di un triangolo è sempre 180°

• 1°: LATO – ANGOLO – LATO (LAL)

Due triangoli, aventi due lati e l’angolo tra essi compreso, sono

congruenti.

• 2°: ANGOLO – LATO – ANGOLO (ALA)

Due triangoli, aventi un lato e due angoli ad esso adiacenti (=hanno

in comune 1 lato e il vertice), sono congruenti.

• 3°: LATO – LATO – LATO (LLL)

Due triangoli, aventi tutti e tre i lati congruenti (=hanno stessa

misura), sono congruenti.

IN UN TRIANGOLO ISOSCELE ANCHE I DUE ANGOLI ALLA BASE SONO CONGRUENTI

Traccio la bisettrice CK dell’angolo in C, che forma due triangoli ACK e BCK.

In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo opposto alla base è anche,

rispetto alla base stessa:

- mediana, perché K è il punto di mezzo del lato AB, infatti il lato AK è

congruente al lato KB

- altezza, perché forma angoli retti (dato che AKC forma un angolo piatto e

AKC è congruente ad AKB, allora entrambi sono un angolo retto, quindi CK è anche l’altezza)

I due triangoli ACK e BCK verificano l’ipotesi del 1° criterio di congruenza (LAL), per cui i triangoli

sono congruenti, e di conseguenza anche gli angoli alla base, in A e in B, sono congruenti.

LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO CONVESSO n LATI = (n-2) ANGOLI PIATTI

(“n” numero naturale ≥ 3 perché è un poligono)

Angoli interni: formati da due lati consecutivi aventi un vertice in comune

Prendo un punto P al centro del poligono e lo congiungo con tutti i vertici:

si ottiene tanti triangoli quanti sono i lati.

La somma degli angoli interni di ogni triangolo equivale ad un angolo

piatto (180°), quindi abbiamo tanti angoli piatti quanti sono i lati del

poligono. Però così abbiamo considerato anche tutti gli angoli con vertice

in P che formano un angolo giro (360°, due angoli piatti), ma non è un

angolo interno.

Quindi la somma degli angoli interni del solo poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i

suoi lati meno 2 (=angoli piatti che formano l’angolo giro): = (n-2) angoli piatti

LA SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO CONVESSO n LATI = 2 ANGOLI PIATTI

Dato un poligono convesso, prolunghiamo uno qualsiasi dei suoi lati, così si

forma un angolo esterno (=formato da un lato e dal prolungamento di uno

dei lati ad esso consecutivi).

Ogni angolo esterno è adiacente e quindi supplementare dell’angolo interno

avente lo stesso vertice; supplementare perché la loro somma misura 180°.

Dunque la somma degli angoli esterni e degli angoli interni del poligono mi

dà tanti angoli piatti quanti sono i lati.

Dato che la somma degli angoli interni è di (n-2) angoli piatti, la somma degli angoli esterni è ciò

che manca alla somma degli angoli interni per arrivare al valore complessivo di n angoli piatti, e

quindi è sempre uguale a 2 angoli piatti, cioè 360° angolo giro.

Adiacente: sono consecutivi, hanno il vertice e un lato in comune, e i due lati non in comune

appartengono alla stessa retta

Forma debole: in un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli ad esso

non adiacenti

Forma forte: in un triangolo ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli ad esso non

adiacenti

AREA QUADRATO: lato x lato

AREA RETTANGOLO: b x h

AREA TRIANGOLO: b x h /2

Formula di Erone: permette di trovare l’area senza avere l’altezza

- dato un triangolo di lati a, b, c e il suo semiperimetro P/2, allora l’area del triangolo è

√ P (P-a) (P- b) (P-c)

AREA POLIGONO REGOLARE: Perimetro x Apotema (altezza) /2

AREA TRAPEZIO: I DUE TRIANGOLI CHE SI FORMANO DCE e FBE SONO CONGRUENTI

Prolunghiamo la base maggiore con il segmento BF, BF=DC, e uniamo il

punto D al punto F, così abbiamo due figure, il trapezio e il triangolo,

ma anche DCE che appartiene al trapezio e FBE che appartiene al

triangolo.

Si vuole dimostrare che DCE e FBE sono congruenti, e abbiamo che:

- DC=BF quindi sono congruenti per costruzione

- l’angolo in D e in F sono alterni interni, quindi congruenti (DC-AF tagliate da DF)

- l’angolo in C e in B sono alterni interni