Matematica per la formazione di base (B024358) - Preparazione esame: teoria e esercizi | SFP Notes Vol. 24

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI (utilizzati per l’espressione formale)

Teoria ingenua degli insiemi: idea intuitiva di insieme come una collezione di oggetti raccolti in una

totalità, indipendentemente dalla loro natura

Es. Torre Eiffel, numero 5, albero

Teoria assiomatica degli insiemi: assiomi (principi evidenti che non hanno bisogno di essere

dimostrati) per determinare meglio cosa sono gli insiemi e come operare

Modi di assegnare un insieme

1) dare l’elenco completo degli elementi

{1,3,56}

Es. A=

2) definirlo tramite una proprietà P, per cui è costituito dagli elementi che hanno in comune tale

→ →

(): {|()}

proprietà P l’elemento x ha la proprietà P A=

{|

Es. B= è }: B è l’insieme degli x tali che x è un carciofo

- ∅ : insieme vuoto che non contiene elementi

- ∈ : l’elemento a appartiene all’insieme A

(∀, )

- ∈ , ∈ : l’insieme B è tale che ogni suo elemento appartiene anche all’insieme A

⊆ A : B è un sottoinsieme di A, o B è incluso in A

{|

Es. C= è }, allora A= ∅

{1,3,56} {1,3,4},

Es. se A= e B={1,3}, allora ⊆ , mentre se C= allora ⊆ A; inoltre per ogni insieme

A, si ha ⊆ →

! L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni altro insieme, quindi qualunque sia l’insieme A ∅ ⊆

{, {} {} {, {1}

! È giusto , } ⊆ e NON ∈ , } perché la scrittura indica un insieme che ha solo 1

{1,3,4}

come elemento perciò sarà un sottoinsieme e NON un elemento di

OPERAZIONI TRA INSIEMI →

(∩): {|

Intersezione l’insieme dato dagli elementi comuni ad A e B ∩ = ∈ ∈ }

{1,3}

Es. A={1,3,56} e B={1,3,8} allora ∩ =

Es. A={1,3,56} e B={5,7,10} allora ∩ = ∅ →

(∪):

Unione l’insieme dato dagli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi A o B ∪ =

{| ∈ ∈ } {2,4,5,7,8,9}

Es. A={2,4,8} e B={5,7,9} allora ∪ = →

(− \) {|

Sottrazione o differenza : tra due insiemi A e B − \ = ∈ ∉ B}

{3}

Es. A={3,6,9} e B={1,6,9} allora − =

Diagramma di Venn (o visualizzazione degli insiemi) per rappresentare in modo visivo le operazioni

tra insiemi (×)

Prodotto cartesiano : l’insieme dato da tutte le coppie ordinate di elementi, il primo dei quali sta in

→ )|

{(,

A e il secondo in B × = ∈ , ∈ }

1), (, 2), (, 3), (, 1), (, 2), (, 3), (, 1), (, 2), (, 3)}

{(,

Es. A={, , } e B={1,2,3} allora × =

I punti del piano cartesiano sono rappresentati dalle coppie di coordinate cartesiane tramite il metodo

→

degli assi coordinati, per cui il prodotto cartesiano è dato dall’insieme dei numeri reali per se stesso

)|, (1,3), (−2,7), (π, 4),

{(, {… }

ℝ × ℝ = ∈ ℝ} = , …

Il prodotto cartesiano non è commutativo: × × non sono uguali

Modo per ottenere un nuovo insieme da un insieme dato

Partizione di un insieme: suddivisione in sottoinsiemi, detti classi, in modo tale che l’unione dei

sottoinsieme copra tutto l’insieme, e che non ci siano elementi comuni a due o più classi

′

→

Insieme quoziente: nuovo insieme i cui elementi sono le classi della partizione =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Es.

G={ } }

G’={, , , , …

INSIEMI NUMERICI {0,1,2,3,4, }

Numeri Naturali: N = …

{… }

Numeri Interi: = , −3, −2, −1,0,1,2,3, … numeri naturali e interi negativi

3 1 1 1 4

Numeri Razionali: = {… , −2, … , − , … , −1, − , … ,0, , … , , … ,1, … , , … ,2, … } numeri interi e

2 2 3 2 3

frazioni positive e negative 3

Numeri Reali: = {… , … , −1, … ,0, … ,1, … , … ,2, … , , … ,4, … , , … ,2, … } numeri razionali e

√2, √2, √94

irrazionali (decimali infiniti e non periodici)

Numeri Complessi: C

FUNZIONI

Dati due insiemi A e B si dice funzione da A a B una legge f che ad ogni elemento dell’insieme A associa

→

uno ed un solo elemento dell’insieme B : →

()

Se : → ∈ per indicare l’elemento di B dove f porta l’elemento a → ()

Es. se : → è la funzione che ad ogni ∈ associa il numero 3 + 1, la f si definisce =

3 + 1

Ogni elemento di B è raggiunto da almeno un elemento di A

È possibile che una f porti più di un elemento di A nello stesso elemento di B

Ogni elemento di A punta ad un unico elemento di B

È possibile che non tutti gli elementi di B vengano raggiunti

Le leggi NON sono funzioni se:

- non associa niente ad almeno un elemento di A

- un elemento di A associa due elementi di B

La legge f che ad ogni numero pari intero e positivo associa la sua metà è una funzione dall’insieme P

→

dei numeri pari all’insieme N dei numeri naturali : →

NON è invece una funzione da N in N perché non sempre si può eseguire la metà di un elemento di N

Es. la legge che ad ogni elemento di A associa suo figlio o figlia in B è una funzione?

A= tutte le donne

B= tutte le persone

NO

- perché non tutte le donne hanno figli, quindi la legge non assegna ad ogni elemento di A un elemento

di B

- perché alcune donne hanno più figli, quindi ad esse la legge non assegna un unico elemento di B

Es.

A= tutte le madri (donne che hanno o hanno avuto figli)

B= tutti i figli

SI

- ad ogni elemento di A assegniamo qualcosa in B

- se assegniamo ad ogni madre il primogenito allora ogni elemento di A corrisponde ad un solo

elemento di B

Funzioni biunivoche (biezioni o biettive): ogni elemento di B proviene tramite f da un solo elemento di

A; dà una corrispondenza perfetta tra gli elementi degli insiemi A e B, per cui se sono finiti avranno lo

stesso numero di elementi

Es. ()

- la funzione : → definita da = + 1 è biunivoca ()

- la funzione : → NON è biunivoca perché per nessun ∈ può essere che =

OPERAZIONI E STRUTTURE ALGEBRICHE

Somma in N: legge che ad ogni coppia di numeri naturali ne associa un terzo, cioè somma dei primi due

→ : × →

Operazione su un insieme A una qualsiasi : × →

Struttura algebrica: insieme dotato di una o più operazioni, funzione denotata con " ∗ "

(,∗)

Es. la coppia (,∗)

La struttura algebrica cioè ∗: × → per due elementi , ∈ si scrive ∗ = e NON ∗

(, ) = (3,2)

Es. 3 + 2 = 5 e NON + = 5

(, +); (,×); (, +); (, −); (, +); (,×); (, +); (,×)

Strutture algebriche: (, −); (,÷); (,÷)

NON Strutture algebriche: infatti non è sempre possibile fare la sottrazione in N, la

divisione in Z e Q perché non si può dividere per 0

′ ′

( ,÷)

{0}

Se consideriamo = − cioè senza lo 0, allora è una struttura algebrica

NUMERI NATURALI, N

ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÁ → {, }

Insieme dei numeri naturali: comprende gli interi positivi tra cui lo 0 = , , , , …

→ ()

Successore del numero n

(3)

Es. = 4

Simboli logici

→ ()

“per ogni”: ∀ ∀ ∈ :

→ ()

“esiste”: ∃ ∃ ∈ : “esiste almeno un numero naturale n per cui vale la proprietà P”

Es. ∀ ∈ , ≥ 0 “ogni numero naturale è maggiore o uguale a 0” V

Es. ∃ ∈ , + 6 = 11 “esiste un numero naturale che sommato a 6 dà 11” V

Con gli assiomi di Peano si costruiscono le operazioni e se ne deduce le proprietà; ci mostrano che le

nozioni su cui è costruito N con tutte le sue proprietà sono quella di “primo elemento” e di

“successore” →

1) 0 è un numero naturale ∈ → ()

2) il successore di ogni numero naturale è un unico numero naturale ∀ ∈ , ∈

Nozione di successore come funzione : → → ()

3) 0 non è successore di alcun numero naturale ∀ ∈ , ≠

Implica che:

- 0 è il primo elemento ()

- 0 non è l’unico elemento in N perché ≠

- struttura di N non è infinita a destra e a sinistra, né ciclica perché lo 0 sarebbe successore

→ () ()

4) numeri diversi hanno successori diversi ∀, ∈ , ≠ , ≠

5) Principio d’induzione: se un insieme di numeri naturali contiene lo zero ed il successore di ogni

proprio elemento, allora esso coincide con l’intero insieme dei numeri naturali

→ ⊆ :

∈ ()

∈ , ∈

=

Es. = ∪ implica che:

- struttura di N non può essere sconnessa, cioè fatta di più pezzi, perché N è formato solo dalla

()

discendenza di 0 ( ∈ , è 0, ℎ )

- = perché A è formato dagli elementi che sono 0 o che si ottengono dallo 0 applicando

ripetutamente la funzione di successore

Il Principio d’induzione ci permette di dedurre che una proprietà vale per infiniti elementi con una

singola deduzione

→ à :

à

,

∈ (0) ((0)) (((0)))

Rappresentare i numeri naturali con gli assiomi: 0, = 1, = 2, = 3, …

Proprietà della relazione d’ordine maggiore e minore:

→

1) ∀, ∈ , ≠ , > > l’ordine è totale, dati due elementi essi sono sempre

confrontabili →

2) ∀, , ∈ , > > , > proprietà transitiva

→

3) ∀ ∈ , ≠ 0, > 0 0 è il primo elemento

((… (()) )),

Dati , ∈ , > , = … cioè se n si ottiene da m applicando un

numero finito di volte la funzione s

Operazione di somma (l’operazione su un insieme A è una funzione × → , in cui × è il

prodotto cartesiano di A per se stesso, cioè l’insieme di tutte le coppie ordinate di elementi in A)

È una funzione che ad una coppia di elementi di A associa un altro elemento di A

((… (()) )) ((… (()) ))

∀, ∈ , = … + = …

(((2)))

Es. 3 + 2 = = 5

(((7))))

Es. 4 + 7 = ( = 11

(())

Es. + 2 = ()

Es. + 1 =

Es. + 0 = ()

Fare il successore di un numero è l’analogo di sommare 1 al numero: ∀ ∈ , = + 1

OPERAZIONI SU N

Proprietà della somma: →

( ) ( )

1) ∀, , ∈ , + + = + + proprietà associativa

→

2) ∀ ∈ , + 0 = 0 è l’elemento neutro

→

3) ∀, ∈ , + = + proprietà commutativa

Operazione di moltiplicazione: funzione s simile al processo della somma

∀ ∈ , × = × =

∀, ∈, ≠ , × = + + ⋯ + ( )

Proprietà della moltiplicazione: →

( ) ( )

1) ∀, , ∈ , × × = × × proprietà associativa

→

2) ∀ ∈ , × 1 = 1 è l’elemento neutro

→

3) ∀, ∈ , × = × proprietà commutativa

Proprietà che lega somma e moltiplicazione →

( ) ( ) ( )

∀, , ∈ , × + = × + × proprietà distributiva del prodotto rispetto alla

somma

Operazione di elevazione a potenza: esclude lo 0 ( )

∀, ∈ , ≠ , = × × … ×

Proprietà della potenza: non sono analoghe alle precedenti

3 2

Es. 2 ≠ 3 ( )

1) ∀, , ∈ , × = ×

( )

2) ∀, , ∈ , + = ×

( ) ()

3) ∀, , ∈ , × =

11 (4+7) 4 7

Es. 5 = 5 = 5 × 5

(2×2) 2 2

(3 )2

Es. 3 = = 9 = 81

È definito così solo se ≠ 0

Operazioni inverse: sottrazione e divisione, che non definiscono tutte le coppie di numeri naturali, cioè

risultano parziali su N, per cui N non è chiuso rispetto ad esse

Operazione di sottrazione

∀, ∈ , − , ,

− = : = +

Il numero x esiste se e solo se ≥ , quindi la sottrazione è eseguibile solo sulle coppie

(, )

ℎ ≥ , e NON su tutto ×

Operazione di divisione

∀, ∈ , ÷ , è ,

÷ = : = ×

Il numero x esiste se e solo se è , cioè ∃ ∈ , ℎ = , quindi la divisione è

(, )

eseguibile solo sulle coppie ℎ =

! Nessun numero è divisibile per 0

Es. 8 ÷ 0 non ha senso perché non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia 8

Es. 0 ÷ 0 non ha senso perché risulterebbe indeterminata, poiché ogni numero moltiplicato per 0 fa 0,

cioè per ogni n si ha: 0 = 0 × , quindi il risultato non sarebbe unico e la definizione chiede che x esista

e sia unico

Proprietà della potenza: scaturite dalle operazioni inverse

( )

{0}:

4) ∀, , ∈ − ÷ = ÷

(−)

5) ∀, , ∈ , > , ÷ =

Problema: ÷ ha senso anche quando = (−)

0

÷ = ÷ = 1 ℎ ÷ = =

Prima abbiamo detto che 0 non era definito, ora per conservare la validità delle proprietà 1) e 5):

→ →

{}:

elevazione alla 0 ∀ ∈ − = non ha senso, ma è un artificio per avere l’elevazione a

potenza anche in questo caso

Elevare a potenza ennesima: moltiplicare per