Appunti ed Esercizi Matematica per la formazione di base (II): Trasformazioni geometriche (isometrie), Simmetrie delle figure piane

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

LE ISOMETRIE

CONCETTO DI !UGUAGLIANZA = Due misure si dicono UGUALI quando hanno esattamente gli stessi elementi

CONCETTO DI CONGRUENZA = Due figure si dicono CONGRUENTI se sovrapponendosi coincidono perfettamente

CRITERI DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI

Due TRIANGOLI sono CONGRUENTI se e solo se vale almeno una delle seguenti condizioni:

1. LLL → i lati devono essere a 2 a 2 congruenti, ossia devono avere a 2 a 2 la stessa lunghezza

2. LaL → i triangoli hanno 2 lati e l'angolo tra essi compreso a 2 a 2 congruenti

3. ALA → i triangoli hanno 2 angoli e il lato fra essi compreso a 2 a 2 congruenti

CRITERIO DI CONGRUENZA TRA SEGMENTI

Due SEGMENTI sono congruenti se e solo se hanno la STESSA MISURA (avere la stessa infinita' dimensione comune)

CRITERIO DI CONGRUENZA TRA ANGOLI

Due ANGOLI si dicono congruenti se e solo se hanno la STESSA MISURA (si giudica in gradi °)

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

LE ISOMETRIE

CONCETTO DI UGUAGLIANZA = Due misure si dicono UGUALI se applichiamo sulla misura (m) gli stessi elementi

CONCETTO DI CONGRUENZA = Due figure si dicono CONGRUENTI se sovrapposte coincidono perfettamente

CRITERI DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI

Due TRIANGOLI sono CONGRUENTI se e solo se vale almeno una delle seguenti condizioni:

1. LLL ➔ i lati devono essere a 2 a 2 congruenti, devono avere a z a z la stessa lunghezza
2. LAL ➔ i triangoli hanno 2 lati e l'angolo tra essi compreso a z a z congruenti
3. ALA ➔ i triangoli hanno 2 angoli e il lato fra essi compreso a z a z congruenti

CRITERIO DI CONGRUENZA TRA SEGMENTI

Due SEGMENTI sono congruenti se e solo se hanno la STESSA MISURA (avvicinati e fatti combaciare hanno la stessa lunghezza (mimura con la misura in cm/mm))

CRITERIO DI CONGRUENZA TRA ANGOLI

Due ANGOLI si dicono congruenti se e solo se hanno la STESSA MISURA (misurati con goniometro e misurati in gradi (º)).

Isometria

Definizione: è una corrispondenza biunivoca che conserva le distanze.

Essendo corrispondenza biunivoca, le figure euclidee sono isome (dello stesso tipo)

Per ogni punto P del piano ∀ ha uno ed un solo corrispondente nel (CP) che è la sua immagine tramite l'isometria ∀

Supponete visto che l'isometria sia una corrispondenza biunivoca

Per ogni punto P esiste un unico punto tale che ∀(p)=Q tale

Q e viceversa per ogni qui unico le corrispondenze di un unico e solo punto P

L'isometria è l'unica ulteriore che conserva le distanze pertanto

Tra esse ci sono dei punti (R,Q) la cui pausa (S) isobel differisce

Che i segmenti residuai edici edici del (P,Q) ed (Q,P) ed (S,Q1)

Tipi di isometrie

1. Riflessione o simmetria
2. Identità
3. Rotazione
4. Traslazione
5. Glissocerre elision

Riflessione e simmetria

Rispetto ad una retta indicata

• Se per le allena f(p)=p i punti della retta hanno come corrispondenza se stessi
• Se per le allena per trovare (CP) sia nuovo intervesso nuovo passaggi

f:

p

Trecare una retta e paserete per P e Perpendico di colore col

Rispetto col punto f(p) e per "è ol unico punto dul". e che soddisfa b/a col colonna

d(_lf(p)) = d(^lf(p)) = tale che

p sica cliano pollete opposte col

Risepolto col li

H è il punto di intersezione fra la retta ↔ qr e la retta ↔ p'q'.

Per verificare che la riflessione o simmetria è un'isometria devo dimostrare che:

1. È una corrispondenza biunivoca
2. Conserva le distanze

1. Sia z un qualunque punto del piano
   • se z' ∈ ↔ p'q' allora z' è il corrispondente ad z se stesso il caso di se stesso
   • se z' ∈ ↔ qr allora z' è il corrispondente ad z'
   • z' = β(z')
   • e di conseguenza z' = β(z') quindi

d(β(z')) = z' tcrcm1 sr 1β

poi β(β(z')) = z' coefficiente

_p

1. Siano P ∈ Q punti del piano devo dimostrare che d(P_a) = d(P_b)._a

d(H) = E ds finite per d

1. trovo le immagini di P e Q riflette alla retta ↔ per fare, tracciato, una retta parallela con le per, assunte P ed E P e Q, Qn stesso t traccio etto per etto per etto e t passque per pense qua

dopo e proiettivamente traccio due rette perpendicolari alla retta retta lasse per i nel scin recu

T^raco H a K coincidono su ambo il e d(H, K) = d(forma) e djoint (Q(K short d(d andres K