Didattica, epistemologia e storia della matematica (B024376) - Kit completo, teoria orale e esercitazioni, pratica scritto e orale | SFP Notes Vol. 13

TEORIA ORALE

SISTEMA INDO-ARABICO: è un sistema di numerazione posizionale a base decimale

(cifre da 0-9), che si diffuse nell’Occidente Latino nel XIII secolo grazie a Liber Abbaci

LIBER ABBACI: è un opera scritta nel 1202 dal matematico Leonardo Pisano (detto Fibonacci dal

nome che gli attribuì uno storico basandosi sull’espressione latina riferita alla casata) in seguito ai

suoi viaggi nel Mediterraneo dove apprese la matematica araba; l’opera raccoglie il sistema

numerico indo-arabico, gli algoritmi di calcolo delle operazioni, l’algebra, e i problemi ricreativi, e

oltre a permettere la diffusione del sistema indo-arabico nell’Occidente Latino, l’opera ebbe anche

grande influenza nelle scuole d’abaco in Toscana

SCUOLE D’ABACO: nacquero nel XIII secolo in Toscana, erano scuole di matematica pratica utile

al commercio e alla vita quotidiana, rivolte a mercanti e artigiani, il cui insegnamento si basava

sulla pratica, la memoria e la ripetizione, piuttosto che sulla teoria, infatti i contenuti riguardavano

pesi, misure, monete locali, calcoli commerciali, lettura e scrittura dei numeri, tabelline, e il

programma era suddiviso in mute, cioè moduli, per cui si accedeva al successivo solo dopo aver

appreso il precedente

TRATTATO D’ABACO: è il primo testo di matematica stampato, che raccoglie i problemi risolti descritti

in modo operativo, senza formule o regole generali

CONTRATTO DIDATTICO: agisce all’interno del sistema didattico, formato da insegnante-alunno-

sapere, il cui obiettivo è quello di portare l’alunno a sviluppare una relazione autonoma con il

sapere; è un concetto sviluppato da Guy Brousseau nella Teoria delle Situazioni Didattiche, che

interpreta i comportamenti di insegnante e alunno in base alle aspettative reciproche non

esplicite che si costruiscono nel tempo che, se da un lato favorisce le interazioni, dall’altro porta gli

alunni a cercare di soddisfare le aspettative dell’insegnante piuttosto che concentrarsi sul

ragionamento autonomo

PROBLEMA DELL’ETA DEL CAPITANO: è un esempio di problema insensato, che per effetto del

contratto didattico porta gli alunni a fornire comunque una risposta meccanica

(usando i dati forniti e ignorando i dati mancanti, seguendo schemi predefiniti, credendo che ogni

problema abbia sempre una soluzione)

Dunque il contratto didattico influenza negativamente l’immagine della matematica come attività

meccanica piuttosto che di ragionamento e scoperta, di conseguenza l’insegnante deve rompere il

contratto didattico proponendo situazioni a-didattiche che portano l’alunno a sviluppare una

relazione autonoma con il sapere senza dipendere dall’insegnante

SITUAZIONE A-DIDATTICA: l’obiettivo è portare l’alunno a sviluppare una relazione autonoma con

il sapere e a costruire conoscenze

- apprendimento: è autonomo, basato sull’interazione alunno-sapere l’insegnante non

→

interviene direttamente e l’alunno stimola il pensiero critico

SITUAZIONE DIDATTICA: l’obiettivo è trasmettere conoscenze

- apprendimento: è guidato, basato sull’interazione alunno-insegnante l’insegnante interviene

→

fornendo indicazioni, strumenti e metodi e l’alunno cerca di soddisfare le aspettative

dell’insegnante piuttosto che concentrarsi sul ragionamento autonomo

Es. spiegare come fare l’addizione con riporto scrivendo i passaggi, guidando gli alunni e controllando

che applichino la procedura

FASE DI DEVOLUZIONE: l’insegnante affida una situazione-problema (Es. chiedere di trovare una

strategia per scoprire qual è il banco più lungo senza fornire strumenti) e lascia gli alunni

confrontarsi con il compito l’alunno cerca la soluzione come sfida personale e non per

→

soddisfare l’insegnante, sperimentando strategie e interagendo con i feedback forniti dall’ambiente e

dal compito stesso per validare/invalidare le soluzioni

FASE DI ISTITUZIONALIZZAZIONE: l’insegnante “rientra in scena” e trasforma le soluzioni in sapere

matematico, affinché questo sia de-contestualizzato, de-personalizzato e generalizzato

EFFETTI DEL CONTRATTO DIDATTICO: non portano a costruire nuova conoscenza perché

- EFFETTO JOURDAIN: produce un falso apprendimento

l’insegnante vuole favorire la scoperta, ma li indirizza verso la risposta tramite troppi suggerimenti e

→

troppa guida gli alunni riproducono schemi già noti piuttosto che ragionare

→

Es. per spiegare il concetto di triangolo isoscele, se gli dico “non vi sembra che hanno due lati della

stessa lunghezza” e solo dopo gli chiedo “come si può riconoscere un triangolo isoscele?”, loro

rispondono che ha due lati uguali, creando l’illusione del successo didattico per evitare l’effetto

→

e favorire la scoperta è necessario proporre un attività di confronto (raggruppare le figure) e fare delle

domande aperte (“in che modo li avete raggruppati, notate delle somiglianze”) in cui siano i bambini a

fare delle osservazioni

- EFFETTO TOPAZE: produce un apprendimento superficiale

l’insegnante vuole raggiungere un obiettivo e li indirizza verso la risposta tramite domande chiuse e

→

con una sola risposta corretta gli alunni danno risposte basate sulle domande piuttosto che

→

ragionare

Es. per spiegare il concetto di multipli di un numero, se gli dico “12 è un multiplo di 3 perché è 3 x …?”,

loro rispondono 4, e poi gli dico “esatto, allora anche 15 è un multiplo di …”, loro rispondono 3,

ripetendo ciò che l’insegnante si aspetta per evitare l’effetto e restituire agli alunni la

→

responsabilità di costruire la risposta è necessario fare delle domande aperte (“trovate dei modi per

controllare se 15 è multiplo di 3”)

MEDIAZIONE SEMIOTICA: è il processo in cui l’insegnante crea le condizioni affinché gli alunni

possano costruire conoscenza, attraverso l’interazione sociale e l’uso di artefatti, cioè oggetti

materiali o simbolici con significati culturali (es. disegni, gesti, linguaggio), che diventano cognitivi

quando l’insegnante li usa in modo intenzionale come strumenti per mediare un contenuto

LINGUAGGIO: è l’artefatto più potente perché media lo sviluppo cognitivo permettendo di

interiorizzare significati sociali e culturali e di trasformarli in strumenti del pensiero

INSEGNANTE: è un mediatore fondamentale nel processo di apprendimento

- seleziona e progetta l’uso didattico degli artefatti per un apprendimento significativo

- organizza il percorso didattico

attività in coppia/gruppo (in cui gli alunni producono segni legati all’esperienza)

→ attività individuali (in cui traducono l’esperienza in disegni/testi)

→ riflessione (in cui i segni diventano significati matematici condivisi)

→

- guida la discussione collettiva l’esperienza concreta si trasforma in costruzione di significati

→

SEGNI SITUATI: parole e gesti legati al contesto e inventati dagli alunni durante l’attività per dare

senso a ciò che fanno con gli artefatti

SEGNI PIVOT: segni “ponte” con doppio significato concreto e astratto, che permettono il

passaggio dai segni situati ai segni matematici

SEGNI MATEMATICI: termini e simboli condivisi e formalizzati nella comunità scolastica, che

rappresentano il traguardo dell’apprendimento

LEZIONE FRONTALE: passiva e astratta, limita partecipazione, trasmette contenuti, usa segni

matematici già formalizzati

LEZIONE CON ARTEFATTI: attiva e concreta, stimola discussione, apprendimento significativo,

costruisce significati, da segni situati a segni matematici

ESEMPI DI ATTIVITA DI L’insegnante propone I bambini producono SEGNI PIVOT L’insegnante guida L’insegnante guida la discussione

MEDIAZIONE SITUAZIONE SEGNI SITUATI: cioè l’evoluzione in collettiva intorno ai

SEMIOTICA CONCRETA inventano strategie SEGNI MATEMATICI: SIGNIFICATI COSTRUITI

cioè termini condivisi

CANNUCCE E contare cannucce chiamano “mazzetti” i fascetto di 10 “decina”, simbolo “+” - valore posizionale (decine/unità)

FASCETTE sparse sul tavolo fascetti di cannucce cannucce: è sia - decina come unità composta

oggetto concreto che - cardinalità (conteggio)

concetto di decina - composizione e scomposizione

(prestito nella sottrazione)

PAGINA DI TARTAGLIA interpretare la formulano ipotesi e diagonali del “unità”, “decina”, - posizionalità del sistema numerico

moltiplicazione per scrivono lettere con quadrilatero: sono logica dell’algoritmo, - pluralità di algoritmi moltiplicativi:

gelosia spiegazioni e disegni oggetto concreto che confronto con differenze nei riporti tra metodi

rappresentazione metodo tradizionale

del posizionamento

(unità/decine)

BASTONCINI DI esplorare i regoli costruiscono i propri bastoncino: è sia logica dell’algoritmo, - posizionalità del sistema numerico

NEPERO bastoncini, e oggetto concreto che confronto con - pluralità di algoritmi moltiplicativi

scoprono che il rappresentazione metodo tradizionale

calcolo si realizza delle tabelline

sommando lungo le

linee oblique

TOVAGLIETTA E dividere un foglio A4 in creano parti di forme foglio: è sia oggetto “unità frazionaria”, - parte/tutto (frazione come

FRAZIONI parti uguali (piegatura) diverse con la stessa concreto che “equivalenza”, divisione dell’unità)

estensione, colorano concetto di unità “somma di frazioni”, - equivalenza (frazioni diverse ma

(difficoltà di e inventano giochi frazionarie, “mezzo”, “terzo” con stesso valore)

apprendimento derivate (“prendi 2/3”, equivalenza, somma - somma di frazioni (ricomporre

da: pluralità di ricoprire il foglio con l’intero con pezzi diversi)

significati, pezzi diversi)

MISCONCEZIONI

INEVITABILI)

TEORIA DEI CONCETTI FIGURALI: Fischbein distingue 3 categorie di entità mentali riguardanti gli

oggetti geometrici:

- definizione, cioè la rappresentazione concettuale legata alle proprietà caratteristiche

- immagine, cioè la rappresentazione visiva legata alle caratteristiche sensoriali come il colore →

entità concreta e specifica

- concetto figurale, che fonde insieme l’aspetto concettuale e l’aspetto visivo entità astratta e

→

generale

Il problema didattico si verifica quando l’aspetto visivo prevale su quello concettuale, creando

misconcezioni

CHE STRUMENTO PUO ESSERE NELLE MANI DI UN INSEGNANTE: fornisce

- una chiave di lettura dei processi di apprendimento, perché sapere che gli oggetti geometrici non

sono né solo concetti né solo immagini, ma concetti figurali, significa riconoscere che gli alunni

apprendono attraverso due dimensioni

- una guida pratica per progettare attività didattiche per rinforzare il controllo concettuale sulle

immagini equilibrando l’aspetto visivo e l’aspetto concettuale attraverso l’uso di crisi percettive,

cioè situazioni in cui ciò che “si vede” non coincide con ciò che è concettualmente corretto

(es. gioco zukei puzzle: costringe a ragionare sulle definizioni concettuali piuttosto che affidarsi alla

percezione visiva)

MISCONCEZIONE: sono concetti errati ma logici, che nascono quando l’aspetto visivo prevale su

quello concettuale, e ciò si verifica nelle fasi di costruzione del concetto che è graduale: per cui

l’alunno si crea un immagine intuitiva, debole e instabile, che integra con nuove conoscenze, ma se

il modello si forma troppo presto diventa forte e stabile, difficile da correggere e ostacolo

all’apprendimento

MISCONCEZIONI EVITABILI: nascono dalle scelte didattiche dell’insegnante quando l’insegnante

usa un linguaggio impreciso, non varia le rappresentazioni e non chiarisce che in matematica un

concetto non corrisponde mai ad una sola rappresentazione

Es. sottrazione: “si sottrae sempre il più piccolo dal più grande”

MISCONCEZIONI INEVITABILI: nascono dalla trasposizione didattica quando l’insegnante non

riprende e supera le rappresentazioni precedenti prima di introdurre quelle più complesse

Es. altezza prevale l’immagine iniziale del triangolo equilatero e dunque dell’altezza come verticale

→

e interna, piuttosto che la comprensione dell’altezza come perpendicolare a un lato o un suo

prolungamento

Es. frazione prevale l’immagine iniziale del modello a torta e dunque della frazione come parte di

→

un intero, piuttosto che la comprensione della frazione come numero che può indicare rapporti,

quozienti

CURRICULUM NASCOSTO: è l’insieme delle interpretazioni personali che si costruisce ogni alunno

e che possono consolidare le MISCONCEZIONI INEVITABILI

SCARDINARE LE MISCONCEZIONI: l’insegnante deve

- farle emergere (es. chiedendo di spiegare come arrivano a una certa risposta su un dato argomento)

- riconoscerle e gestirle, riducendo quelle evitabili e riprendendo e superando le rappresentazioni

precedenti nel caso delle misconcezioni inevitabili

- rinforzare il controllo concettuale attraverso crisi percettive e strumenti quali feedback e

discussioni poiché è impossibile prevedere o eliminare ogni misconcezione

Skemp distingue due modi di intendere e insegnare la matematica:

- APPROCCIO RELAZIONALE/CONCETTUALE: è il sapere cosa si fa e perché, è centrato sul

processo, cioè comprendere problemi significativi attraverso il ragionamento l’apprendimento è

→

significativo, duraturo e generalizzabile

- APPROCCIO STRUMENTALE/PROCEDURALE: è il sapere cosa si fa ma non perché, è centrato sul

prodotto, cioè eseguire esercizi ripetitivi attraverso l’agire meccanico

Green individua tre dimensioni che influenzano l’apprendimento (convinzioni, valori e pratiche); infatti

sostiene che per innovare l’insegnamento della matematica è necessario lavorare sulle convinzioni

e sui valori che guidano la pratica educativa

CONVINZIONI: sono l’insieme di idee che gli alunni sviluppano nei confronti della matematica

attraverso le esperienze scolastiche che influenzano l’apprendimento e la motivazione

Green distingue quelle primarie, più profonde e radicate (es. “solo chi è intelligente è bravo in

matematica”) e quelle derivate, che dipendono dalle prime (es. “io non sono intelligente”)

Il problema nasce quando l’alunno attribuisce i propri insuccessi a cause percepite come stabili e

incontrollabili perché queste influenzano la motivazione (es. il pensiero di “non essere portati”

porterà ad arrendersi alle difficolta, il pensiero che “la matematica è solo memoria” porterà a non

usare il ragionamento)

SCARDINARE LE CONVINZIONI: l’insegnante deve

- far presente che gli insuccessi possono essere attribuiti a fattori modificabili, come il metodo di

studio, le strategie utilizzate e il tempo dedicato

- adottare un approccio relazionale piuttosto che strumentale, proponendo problemi significativi,

facendo vivere l’errore come parte del processo e occasione di crescita, sviluppando motivazione

SUBITIZING: è la capacità di riconoscere “a colpo d’occhio” la numerosità di un insieme e di

cogliere variazioni, su cui si innesta il processo del contare

IMPARARE A CONTARE è fondamentale per lo sviluppo del pensiero numerico e del senso del

numero e i gesti (es. indicare o toccare con il dito) supportano i processi cognitivi; infatti le dita sono

uno strumento naturale di supporto che prepara l’interiorizzazione del concetto di numero aiutando

la corrispondenza tra parola-numero e oggetto e i processi di ripartizione e etichettamento

PRINCIPI DEL CONTEGGIO: secondo Gelman e Gallistel un bambino sa davvero contare quando ha

interiorizzato i 5 principi fondamentali, attraverso cui il processo di contare si trasforma in

comprensione del numero

1. PRINCIPIO DI INIETTIVITA’ (o corrispondenza biunivoca): stabilisce che ogni oggetto deve

essere contato una sola volta e associato a una sola parola-numero (etichetta numerica);

sembra innato e presuppone il coordinamento dei processi di:

- ripartizione: distinguere quelli già contati da quelli da contare

- etichettamento: assegnare un etichetta numerica diversa ad ognuno

Es. bambino che conta gli oggetti toccandoli uno alla volta mentre pronuncia i numeri

- errori: saltare o contare due volte, ripetere un numero

- strategie: schieramento chiaro, spostare gli oggetti man mano che si contano, non affidandosi alla

memoria

2. PRINCIPIO DELL’ORDINE STABILE: stabilisce che le etichette numeriche devono seguire un

ordine fisso e ripetibile

Es. bambino che conta i cerchi su un tappeto saltando da uno all’altro mentre pronuncia i numeri

seguendo la sequenza numerica

- errori: saltare o cambiare l’ordine

- strategie: sequenza numerica memorizzabile

3. PRINCIPIO DI CARDINALITA’: stabilisce che l’ultimo numero pronunciato rappresenta la

quantità totale degli oggetti contati, cioè la loro cardinalità, che ha doppio valore: ordinale

e cardinale; presuppone la padronanza dei primi due

Es. bambino che conta 7 oggetti mentre pronuncia i numeri e poi dice “In tutto sono sette”,

affermando che è l’ultimo della sequenza e il totale dell’insieme

4. PRINCIPIO DI ASTRAZIONE: stabilisce che è possibile contare qualsiasi insieme di

elementi, indipendentemente dalla loro natura, perché l’importante è che siano unità

numerabili

Es. bambino che conta i colpi che fa mentre suona un tamburo

5. PRINCIPIO DI IRRILEVANZA DELL’ORDINE: stabilisce che l&rs