Lezioni per Analisi matematica 1

A B.

delle colonne di è uguale al numero delle righe di

Attraverso il prossimo esempio, che servirà anche per rivedere quanto

studiato fino ad ora sulle matrici, andiamo anche a scoprire una

particolarità che spesso trae in inganno l'inesperto studente alle prime armi

con il calcolo matriciale.

Esempio:

Siano date le matrici Copyright©Unimarconi 16

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Si vede benissimo da questo esempio che , questo fatto rimane

valido in generale per tutte le matrici.

Dunque possiamo affermare che a differenza del prodotto tra numeri, il

prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa.

Tuttavia rimangono ancora valide molte altre proprietà viste per i numeri.

IL DETERMINANTE DI UNA MATRICE

Una definizione rigorosa di determinante esula un po' da quelli che sono i

reali obiettivi del nostro corso, per cui senza passare per complicate

evoluzioni matematiche, cerchiamo di definire tramite una serie di esempi,

un metodo operativo per arrivare al determinante e per stabilirne la sua

collocazione nel panorama del calcolo matriciale.

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Passiamo ora al calcolo del determinante di una matrice di terzo grado

ponendo però molta attenzione allo sviluppo del calcolo che, a prima vista

a qualcuno potrà sembrare complicato, ma in realtà non lo è affatto.

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Tutto quello che abbiamo fatto non è altro che ricondurre il calcolo del

determinante di una matrice quadrata di ordine 3 al calcolo del

determinante di matrici quadrate di ordine 2.

Sottolineiamo subito il fatto che condizione assolutamente necessaria per il

calcolo del determinante di una matrice è che tale matrice sia quadrata.

Faremo ora chiarezza sul procedimento con il seguente esempio.

Esempio:

Salta subito all'occhio che il calcolo del determinante della matrice di ordine

2 in cui era coinvolto l'elemento 0 della prima riga, non è stato sviluppato

per niente; questo perché rifacendosi alle proprietà del prodotto di uno

scalare per una matrice, il risultato in quanto 0 non avrebbe influito sul

computo finale.

Il calcolo del determinante così eseguito si definisce come sviluppo del

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A A.

determinante di secondo la prima riga di

Se proviamo a sviluppare tale metodo secondo un'altra riga piuttosto che la

prima, scopriremo che il determinante non cambia, tale possibilità di scelta

ci da modo di poter sfruttare caratteristiche della matrice a noi favorevoli

come per esempio prendere in considerazione la riga che contiene più zeri

in modo da diminuire il calcolo in maniera avvolte considerevole.

Il calcolo del determinante di una matrice oltre ad essere uno strumento

indispensabile per numerose applicazioni scientifiche, costituisce anche un

eccellente esercizio di ginnastica mentale se limitato a matrici di ordine non

superiore al quarto, per matrici più grandi diventa quasi indispensabile

passare all'uso del calcolatore elettronico in quanto pensate che, per il

calcolo del determinante di una matrice del quinto ordine, bisogna

calcolare il determinante di sessanta matrici del secondo ordine.

Qui di seguito saranno enunciate senza dimostrarle alcune proprietà del

determinante.

A A

1) Sia una matrice e la sua trasposta, e per trasposta di intendiamo

A

le cui colonne sono ordinatamente le righe di , si avrà che:

la matrice

A ) = det ( );

det ( A

2) Se una matrice ha una colonna nulla, allora il determinante è pari a

zero;

3) Scambiando due colonne un una stessa matrice il suo determinante

cambia di segno;

A e B

4) Siano due matrici quadrate, allora det (AB)= det(A) det(B)

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6. Le successioni

Nella prossima lezione ci proponiamo di introdurre la nozione fondamentale

di limite, strumento cardine della matematica.

Prima di passare a tale concetto andiamo a descrivere, senza troppi

formalismi, quelle che in matematica vengono chiamate successioni.

Il termine successione già di suo richiama alla mente una vaga idea di

oggetti che possono essere elencati uno dopo l'altro con un ordine

prestabilito e ben preciso.

Quindi elencare oggetti di un insieme, vuol dire assegnare ad ogni singolo

elemento dell'insieme un posto ben preciso, di solito contraddistinto da un

numero naturale.

Un elenco di 4 oggetti potrebbe essere

Così facendo, si ottiene una corrispondenza tra i numeri naturali e gli

oggetti dell'insieme...

Un qualunque insieme di elementi elencabile, viene chiamato successione.

Il formalismo che viene usato più spesso per indicare una successione è

o anche si può usare il formalismo di derivazione insiemistica

n

come termine generale della successione, ed l'indice della

Definiamo

successione stessa.

Nella stragrande maggioranza dei casi, una successione può essere

descritta mediante una formula esplicita (detta anche formula chiusa) del

tipo Copyright©Unimarconi 21

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n

La successione precedente assegnando a i valori ammissibili, si sviluppa

nel seguente modo:

Una successione, oltre che attraverso una formula chiusa, può essere

ricorrenza.

definita per

Tale procedimento per i casi più semplici, può essere ricondotto a due fasi

successive: di partenza;

- si assegna il valore ci permette di conoscere

,

- e si formalizza una legge che, noto

ricorsivamente .

Quanto detto sopra è sufficiente per ora a dare un'idea del concetto di

successione, qui di seguito andremo ad analizzare le caratteristiche (o

proprietà ) di una successione, mediante tale analisi rafforzeremo

ulteriormente tale concetto.

Proprietà delle successioni

Successioni monotòne. crescente in senso stretto

Una successione si dice se all'aumentare

n aumenta il valore di .

di

Questa proprietà è facilmente descrivibile attraverso la disuguaglianza

ossia ogni termine della successione è maggiore al suo

precedente.

In alcuni casi, è possibile osservare delle successioni nelle quali, passando

da un termine al successivo, il valore oltre che aumentare può anche

rimanere invariato Copyright©Unimarconi 22

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crescente in senso debole

in questi casi la successione, viene detta ( o

non decrescente

anche ). decrescenti in senso

Allo stesso modo possiamo definire le successioni

stretto non crescenti

e decrescenti in senso debole (o anche )

def.: monotona

Una successione di dice se è crescente o decrescente, sia

in senso stretto che debole.

Successioni limitate

Può verificarsi che, data una successione generica , i termini di

K:

tale successione, non superino mai un numero

limitata superiormente.

in questo caso la successione si dirà

L'interpretazione geometrica di tale proprietà è immediata: tutti i punti

del grafico della successione si trovano sotto la retta orizzontale

y=K.

K maggiorante

in questo caso viene anche detto per la successione. H

Allo stesso modo è facilmente intuibile che possa esistere un numero al

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disotto del quale nessun termine della successione potrà mai scendere, in

limitata inferiormente:

tal caso la serie si dirà

H minorante

ed sarà un di tale successione.

Quanto detto fino ad ora, non vieta, anzi ci legittima a pensare che

possano esistere successioni che sono soggette a limitazioni sia

inferiormente che superiormente, e che quindi tali successioni abbiano

maggiorante K minorante H.

contemporaneamente sia un che un

Una successione limitata in questo modo, sta in una zona del piano

y=K y=H

cartesiano delimitata dalle rette e

Proprietà asintotiche delle successioni

Tranne che per casi rari e particolari, di una successione , non si

vanno a studiare proprietà di singoli elementi, piuttosto si vanno ad

n

a condizione che sia

analizzare le proprietà di cui gode

sufficientemente grande.

def.: proprietà asintotiche

si chiamano di una successione quelle proprietà

che sono possedute dai suoi termini da un certo valore dell'indice in poi,

n.

ovvero per valori alti dell'indice

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In pratica per una successione, una proprietà è asintotica se è posseduta

da tutti i suoi elementi fuor che un numero finito degli stessi.

Successioni convergenti

def.: A

una successione si dice convergente al numero reale se,

A

, la distanza di da è definitivamente minore di . Tale

affermazione, è facilmente sintetizzabile tramite la seguente notazione:

Attenzione, è importantissimo notare che, da nessuna parte si afferma che

A,

debba per forza raggiungere il valore ma soltanto che vi si avvicina

indefinitamente. Naturalmente potrà capitarci di trovare una successione

n

che da un certo in poi verifichi la condizione

Anche in questo caso per rendere più chiaro il concetto, andiamo a

rappresentare geometricamente quanto detto sopra.

Dire che , significa che, comunque presa una striscia

, almeno da un certo

orizzontale che abbia come mediana A e ampiezza

termine in poi, tutti i punti del nostro grafico, cascano all'interno della

striscia.

Nel prossimo paragrafo, andremo ad analizzare una particolare proprietà

che caratterizza le successioni convergenti, e che riguarda proprio la loro

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criterio di

stabilità in convergenza, tale proprietà, è conosciuta come

convergenza di Cauchy.

Criterio di convergenza di Cauchy

I termini di successioni convergenti, sono normalmente

caratterizzati dalla proprietà di stabilizzazione detta anche proprietà di

Cauchy, in sostanza tale proprietà sottolinea il fatto che, se si vanno a

considerare i termini abbastanza avanti nella successione, la differenza in

modulo tra i termini è piccola.

Teotema: condizione necessaria e sufficiente affinché la successione

sia convergente è che risulta definitivamente ,

m,n

ovviamente presi sufficientemente grandi.

Successioni divergenti def.: una successione si dice divergente

M

se, per ogni numero reale si ha definitivamente

a

Anche in questo caso possiamo scrivere:

Velocemente citiamo anche un particolare tipo di successioni.

Successioni irregolari

def.: una successione si dice irregolare se non converge e ne diverge, in

tal