Lagrange

Teorema di Lagrange

(o del valor medio)

ENUNCIATO: Sia \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) continua in \([a,b]\) e derivabile in \((a,b)\)

Allora \(\exists c \in (a,b): \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)

2. IPOTESI NECESSARIE

\(f(b)-f(a)\) - Incremento della funzione quando passa dall'estremo a quello b.

\(b-a\) - Incremento della variabile dipendente

Ampiezza dell'intervallo \((a,b)\)

GEOMETRICAMENTE rappresenta il coefficiente angolare di una retta secante

\(\exists c \in (a,b): S \Rightarrow t\)

DIMOSTRAZIONE: CONSIDERIAMO LA FUNZIO

\(g(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]\)

É l'equazione della retta

Risultano 3 ipotesi:

1. \(g\) è continua in \([a,b]\)
2. \(g\) è derivabile in \([a,b]\) e \(g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
3. \(g(a) = g(b) = 0\)

Per la (1) dal Teorema di Weierstrass esistono \(x_1, x_2 \in [a,b]\) che sono punti di max/min assoluti di \(g\)

Poniamo: \(m = g(x_1)\) \(M = g(x_2)\)

Teorema di Lagrange

(o del valor medio)

Enunciato: Sia f : [a,b] → ℝ continua in [a,b]

e derivabile in (a,b)

allora ∃ c ∈ (a,b) : f(b) - f(a) / b-a = f'(c)

2. Ipotesi Necessarie

b-a

Geometricamente rappresenta il coefficiente angolare di una retta secante

DIMOSTRAZIONE: Consideriamo la funzione

g(x) = f(x) - [f(a) + (f(b)-f(a) / b-a)(x-a)]

Risultano 3 ipotesi:

• g è continua in [a,b]
• g è derivabile in [a,b] e g'(x) = f'(x) - f(b)-f(a) / b-a
• g(a) = g(b) = 0

Per la (1) dal teorema di Weierstrass esistono x₁, x₂ ∈ [a,b]

che sono punti di max/min assoluti di g.

Poniamo: m = g(x₁)   M = g(x₂)

SE m = M ALLORA g(x) = COSTANTE IN (a,b) ALLORA g'(x) = 0 ∀x ∈ (a,b)

SE m < M (PER LA(3)) x₁ ∈ (a,b) o x₂ ∈ (a,b) ⇒ ∃ c ∈ (a,b) : g'(c) = 0

ALMENO UNO TRA x₁, x₂ NON SI TROVA AGLI ESTREMI DELL'INTERVALLO

DI CONSEGUENZA PER LA (2):

g'(c) = f'(c) - (f(b) - f(a)) / (b-a) = 0 ⇒ g'(c) = (f(b) - f(a)) / (b-a)

QUINDI NEL PUNTO DI MAX/MIN CHE RISULTA INTERNO LA DERIVATA DI g SI ANNULLA QUINDI IL TEOREMA È DIMOSTRATO

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

1. TEST DI MONOTONIA: SIA f : I → R DERIVABILE, I ≤ R ALLORA:
2. f CRESCENTE (⇔) f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ I
3. f DECRESCENTE (⇔) f'(x) ≤ 0

DIMOSTRAZIONE: PER IPOTESI, f CRESCENTE IN I, CIOÈ ∀x₁, x₂ ∈ I x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) RISULTA:

(f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁) ⇒ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁) ≥ 0

PASSANDO AL LIMITE PER x₂ → x₁ E USANDO IL COROLLARIO DEL TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

f'(x) = lim (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁) ≥ 0

SIANO x₁ E x₂ ∈ I CON x₁ < x₂ DAL TEOREMA DI LAGRANGE SEGUE CHE:

∃ c ∈ (x₁, x₂) : f(x₂) - f(x₁) = f'(c) (x₂ - x₁) ≥ 0

ALLORA f(x₂) - f(x₁) ≥ 0 ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Teorema di Lagrange o del valor medio

Se una funzione ϝ(x) è

• Continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b],
• Derivabile in ogni punto interno ad esso,

allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo per cui vale la relazione:

^{ϝ(b) - ϝ(a)}/_{b - a} = ϝ'(c)

Dimostrazione

Consideriamo la funzione:

F(x) = ϝ(x) - K_x, con K ∈ ℝ

• F(x) è continua in [a, b], perché somma di funzioni continue in [a, b]
• F(x) è derivabile in (a, b), perché somma di funzioni derivabili in (a, b)

Determiniamo K in modo che F(x) = ϝ(x) - K_x soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle, e cioè si abbia ϝ(a) = ϝ(b)

Deve essere:

ϝ(a) - K_a = ϝ(b) - K_b ⟹ K_b - K_a = ϝ(b) - ϝ(a) ⟹ K(b - a) = ϝ(b) - ϝ(a)

K = ^{ϝ(b) - ϝ(a)}/_{b - a}

Sostituiamo nella funzione F(x) il valore di K:

F(x) = ϝ(x) - ^{ϝ(b) - ϝ(a)}/_{b - a} ⋅ x

Poiché F(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, ∃ c ∈ (a, b) tale che F'(c) = 0

CALCOLIAMO LA DERIVATA

F(x) = g(x) - g(b) - g(a) x,

F'(x) = g'(x) - g(b) - g(a),

F'(c) = g'(c) - g(b) - g(a) = 0

ESPLICITANDO SI OTTIENE LA TESI g'(c) = g(b) - g(a)

ORA VEDIAMOLO GEOMETRICAMENTE

ESSENDO y = g(x) DERIVABILE NEL INTERVALLO APERTO (a, b), IL CORRISPONDENTE GRAFICO

IN TUTTI I SUOI PUNTI È DOTATO DI RETTA TANGENTE.

IL TEOREMA AFFERMA CHE DEVE ESSERCI ALMENO UN PUNTO C PER IL QUALE QUESTA

RETTA TANGENTE È PARALLELA ALLA RETTA PASSANTE PER A E B RISPETTIVAMENTE

DISSESSE a E b

LA TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE NEL PUNTO DI ASCISSA C HA COEFFICIENTE

ANGOLARE g'(c),

DETERMINIAMO IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA AB

NEL TRIANGOLO ABH è: tan d = ^HB⁄_AH, CON HB = ȳ(b) - ȳ(a) E AH = b-a

IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI AB è: tan d = ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a

SE LA TANGENTE IN C ALLA CURVA È PARALLELA AD AB, HA LO STESSO COEFFICIENTE

ANGOLARE E QUINDI ā'(c) = ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a

LAGRANGE

SIA ȳ: [a,b] → ℝ CONTINUA E DERIVABILE IN (a,b) ALLORA ∃ c ∈ [a,b]

PER LA QUALE VALGA QUESTA RELAZIONE: ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a = ȳ'(c)

DIM.

F(x) = ȳ(x) - Kx, K ∈ ℝ

ORA DETERMINIAMO K IN MODO DA RISPETTARE LA 3^a IPOTESI DEL TEOR. ROLLE OVVERO

ȳ(a) = ȳ(a)

ȳ(a) - Ka = ȳ(b) - Kb → Kb - Ka = ȳ(b) - ȳ(a) → K(b-a) = ȳ(b) - ȳ(a)

K = ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a

SOSTITUIAMO K NELLA FUNZIONE F(x) RISULTA TUTTE E 3 LE IPOTESI DI ROLLE

∃ c ∈ (a,b) t.c. F'(c) = 0

F(x) = ȳ(x) - ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a x

F'(x) = ȳ'(x) - ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a DA CUI F'(c) = ȳ'(c) - ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a = 0

ȳ'(c) = ^{ȳ(b) - ȳ(a)}⁄_b-a