Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Se f(a) = f(b), esiste un punto x₀ ∈ (a,b) per cui f'(x₀) = 0

Dim

Indichiamo con x₁ e x₂ due punti, rispettivamente di minimo e di massimo assoluto per f nell'intervallo [a,b]: cioè

f(x₁) = f(a) = f(x₂) = f(b)

Tali punti di massimo e di minimo esistono per f estremo in base al teorema di Weierstrass.

Se almeno uno dei due punti è interno all'intervallo [a,b] in corrispondenza la derivata si annulla (per il teorema di Fermat).

Prima di esaminare il caso in cui i punti x₁, x₂ non sono interni, diciamo x₁ = e e x₂ = b la disequazione f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) diventa f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) per ogni x nell'intervallo [a,b]. Dato che per ipotesi f(a) = f(b), risulta f(x) = f(a) per ogni x ∈ [a,b], quindi f' costante e la sua derivata è comunque 0.

Geometricamente il teorema di Rolle afferma che per una funzione f(x) continua in [a,b], derivabile in (a,b), con f(a)=f(b) esiste in (a,b) un punto x₀ in cui la retta tangente è orizzontale

Per il teorema di Lagrange si considera una situazione più generale, in cui non necessariamente f(a)=f(b). Il teorema di Lagrange geometricamente afferma che, per una funzione f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b), esiste un punto x₀ ∈ (a,b) in cui la retta tangente è parallela alla corda congiungente gli estremi del