L'equazione di Lagrange

La configurazione di un sistema di 3N elementi materiali

in un riferimento fisso (OXYZ) è data dalle 3N coordinate dei singoli elementi:

x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, ... mentre i moti delle 3N funzioni x₁(t), y₁(t), z₁(t), x₂(t), y₂(t), z₂(t) ...

La libertà di movimento del sistema è ridotta dalla presenza di vincoli che in limitazioni sono rappresentati dalle k eq:

• ϕ₁ (x₁, y₁, z₁, ...) = 0
• ...
• ϕk (x₁, y₁, z₁, ...) = 0

Se ϕ₁, ϕ₂, ...ϕk sono di classe C² i vincoli sono indipendenti se le k eq sono linearmente indipendenti; non ci sono configurazioni compatibili con i vincoli.

La matrice Jacobiana ha rango k. Se verificata questa ipotesi allora si dice che i vincoli sono regolari.

1. ∂ϕ₁/∂x₁, ... , ∂ϕ₁/∂zn
2. ...
3. ∂ϕk/∂x₁, ..., ∂ϕk/∂zn

Se un sistema è soggetto a vincoli regolari le k per n pos del DLM possono essere espresse in forma esplicita. Se il minore formato dalla prime k colonne della ** è non degenere (det ≠ 0) allora le prime k coordinate x₁, y₁, ... possono essere espresse in funzione delle restanti 3N - k. Il sistema ha μ = 3N - k gdl.

Si può generalizzare tale procedura scegliendo arbitrariamente delle lunghezze cinematiche esterne alle 3N_V coordinate esterne. Deve essere possibile porre l'insieme in maniera biunivoca le configurazioni del sistema compatibili con i vincoli con la N-pla (q₁, q₂, ..., q_n) che prendono il nome di coordinate lagrangiane del sistema. Tale corrispondenza biunivoca é espressa dalle:

O_Pi = O_Pi(q₁, q₂, ..., q_n)       i = 1, ..., n

• x_i = x_i (q₁, ..., q_n)
• y_i = y_i (q₁, ..., q_n)
• z_i = z_i (q₁, ..., q_n)

Tale rappresentazione deve essere regolare e non singolare di classe C¹ e la loro matrice Jacobiana deve avere rango n.

Il moto del sistema é individuato dalle O_Pi(t) = O_Pi[q₁(t), q₂(t), ..., q_n(t)]       i = 1, ..., n

Lockta di moto del sistema é individuato col opi configurazione delle derivate delle coordinate lagrangiane (q₁ , q₂ , ... , q_n) che prendono il nome di componenti lagrangiane delle otto di moto. Infatti si ha:

u₁ = ∑_h (∂O_Pi / ∂q_h ) (dq_h / dt)       i = 1, ..., n

Attribuendo valori arbitrari alle componenti lagrangiane delle otto di moto si ottengono gli otto di moto virtuali del sistema mentre attribuendo dei valori arbitrari agli incremementi δq₁ otterremo gli spostamenti virtuali:

δO_Pi = ∑_h (∂O_Pi / ∂q_h) δq_h ∫ δO_Pi = ∫u_i dt

Se la sollecitazione alla quale è soggetto il sistema è conservativa

introducendo la funzione L = T(q₁,...,q_n,q₁,...,q_n) + U(q₁,...q_n)

nota come funzione lagrangiana, si ha che

NB U non dipende da q₁

d/dt (∂T/∂q̇_h) = ∂L/∂q_h

∂T/∂q̇_h = ∂L/∂q̇_h

∂U/∂q_h = ∂L/∂q_h - Q_h

da cui

d/dt (∂L/∂q̣̇_h) - ∂L/∂q_h + Q_h = Φ_h

=> d/dt (∂L/∂q̇_h) - ∂L/∂q_h = 0

Per determinare le configurazioni di equilibrio di un sistema

elastico è possibile usare il PLV del quale si ottiene che CNES

affinché C* sia di eq. si che le componenti lagrangiane della

sollecitazione attiva assumano valore nullo in corrispondenza a

C* e all’atto di moto nulla esal’

es di legami

sul statica

Q_h( q₁^*,q₂^* ... q_n; o...o;t ) = 0

esal’

∂L = Σ_h Q_h ∂q_h =0 ∀ {∂q₁, ... ∂q_n}

NB Se la sollecitazione agente sul sistema è conservativa

Q_h = ∂U/∂q_h= δQ/q_h