Guida alla risoluzione degli esercizi di Geometria/Algebra Lineare

Passaggio: Valutazione degli autovalori e delle molteplicità

Si valutano le molteplicità algebriche (quante volte un dato autovalore è soluzione) e le molteplicità geometriche (le dimensioni dei relativi autospazi). Se si ottengono autovalori distinti, allora si può concludere che l'endomorfismo è diagonalizzabile. In caso contrario, se un autovalore si ripete più volte e quindi ha molteplicità algebrica maggiore di 1, è necessario controllare che questa coincida con la sua molteplicità geometrica. Se ciò avviene, allora l'endomorfismo è diagonalizzabile, altrimenti non lo è.

4.8.1 Esempio di diagonalizzazione

Sia dato l'endomorfismo con matrice:

-1  4  0
 0  3  0
 1  0  2

Assegnando alternativamente alle tre coordinate il valore 1 e 0 alle coordinate rimanenti, otteniamo la matrice:

-1  4  0
 0  3  0
 1  0  2

Cerchiamo il suo polinomio caratteristico...

caratteristico:  − −14 λ 0 3− ⇒ ⇒ {3}− = (3 λ) λ = 3 Sp(f ) =P (λ) = 0 3 λ 0  1,2,3 −1 0 2 λ

Notiamo che l’autovalore ha molteplicità algebrica uguale a 3, percui λ = 3 dobbiamo verificare la sua molteplicità geometrica:    −1− −1 1 04 3 0− =V (3) = 0 0 00 3 3 0       −1− 1 01 0 2 3

Notiamo che la riga di mezzo è composta da soli 0 e che le altre due sono uguali, quindi in sostanza: 3{(x, ∈ |x ⇒V (3) = y, z) = z} dim V (3) = 2R R

La è diversa dalla sua molteplicità algebrica (che era pari a 3), ne dim V (3) R traiamo quindi la conclusione che non sia diagonalizzabile.

4.9 Descrivere un autospazio

Per descrivere un autospazio se ne possono trovare le equazioni cartesiane. Il processo è in tutto e per tutto simile a quello usato per trovare un vettore generico,

l'unica differenza è che le coordinate del vettore cercato (quelle a destra dell'uguale quindi) devono essere moltiplicate per l'autovalore (trattandosi di un autovettore).

Esempio

Riprendendo l'esercizio del paragrafo precedente studiamo il suo autospazio. È sufficiente prendere la matrice associata ad e calcolarne il vettore V (3) generico, stando attenti a moltiplicare le sue coordinate per λ.

Sia quindi Sia endomorfismo con 3x3 → -f: f(x, y, z) = (4x - z, 3y, x + 2z)

Rappresentazione matriciale:

-14 0
0 3
1 0 2

Noi cerchiamo il vettore generico di V(3) che ha il seguente comportamento:

-1x
4x - z
0 = 3y
y
0 = 3z
z

In altre parole:

- x = z
4x - z = 3x
y = y
3y = 3y
x + 2z = 3z

w >=< w, v > Simmetria del prodotto scalare

3. 2∀v ∈ ⇐⇒< v, v >≥ 0 V (E ) inoltre < v, v >= 0 v = 0 2V (E )

4. ⊥ ⊥⊕ ⇐⇒ ∩ {0 }V = U U U U = V

5. ||v − ≤ ||v − ∀v ∈ ∀u ∈π (v)|| u|| V UU

6. B ⇐⇒ϕ è prodotto scalare det(A ) > 0 Adove è una sottomatrice(p) (p)A× ≤ ≤p p A 1 p nottenuta da con

7. La matrice associata ad un prodotto scalare (Matrice di Gram) ha sempredet(A) > 0

8. isomorfiDue spazi euclidei con associato un prodotto scalare sono se dipari dimensione e pari indice di inerzia

9. f GSe è isomorfismo, la matrice di Gram rispetto alla base considerataTA f G = A GAe la matrice associata ad rispetto alla stessa base, allora

10. ∀v, ∈< v, f (w) >=< f (v), w > w V f è un endomorf ismo simmetricoSe alloraDefinizione di endomorfismo simmetrico

5.2 Identità degli spazi vettoriali euclidei

1. 12 2 2−

1. ||v|| - ∥w||(||v + w|| )< v, w >=2.
2. 1 2 2- ||v -< v, w >= (||v + w|| w|| ) Identità di polarizzazione43.
3. 2 2 2≤ ||v|| · ||w||< v, w > Teorema di Cauchy-Schwarts4.
4. ||v ≤ ||v|| ||w||+ w|| + <Disuguaglianza triangolare (valida sev, w >≥ 0)5.
5. <v,w> Coseno dell’angolo compreso tra due vettori||v||·||w||6.
6. ̸ ⇒ ⊥v, w = 0 < v, w >= 0 v w Condizione di ortogonalità2V (E )7.
7. ⊥ ||v|| ||w||v w = = 1 vettori ortonormaliSe e allora si dicono30m8.
8. P→π : V U π (v) = < v, u > u Espressione della proiezioneU U j jj=1ortogonale5.3.
9. Come trovare una base ortogonale a partire da una base qualsiasi (Gram-Schmidt)Sia la nostra base di partenza, la nostra base d’arrivo{v } {w }, ..., v , ..., w1 n 1 ne una forma bilineare simmetrica definita positiva (infatti vale anche per ilϕprodotto scalare euclideo).Scegliamo un vettore (in questo caso ) e procediamo nel seguente modo:v

1w := v1 1ϕ(v , w )2 1−w := v w2 2 1ϕ(w , w )1 1ϕ(v , w )ϕ(v , w ) 3 13 2 −− w ww := v 2 13 3 ϕ(w , w ) ϕ(w , w )2 2 1 1...

In generale: j−1 ϕ(v , w )j iX−w := v wj j iϕ(w , w )i ii=1

Se la forma rispetto cui calcoliamo la base èATTENZIONE: simmetricaallora ma se non dovesse essere il caso, ad esempio seϕ(v , w ) = ϕ(w , v ),j i i jinvece la forma dovesse essere allora bisogna attenersi strettamentehermitianaalla formula, mettendo prima il vettore e poiv wj i

5.4 Isometrie di spazi vettorialiUna lineare è detta se:→f : V W isometria< v, w > =< f (v), f (w) >V WViene inoltre definita se è edfisomorfismo di spazi vettoriali biettivaè−1f isometria. 31Quindi f conserva:I) La distanzaII) La norma

5.5 Come trovare la base per il complemento ortogonaledi un sottospazioPer trovare la base cercata si prende innanzitutto la base del nostro sottospazioe si impone che il prodotto scalare tra questi vettori e

ilB := (v , ..., v )1 ngenerico vettore sia 0. Si ottiene quindi un sistema omogeneo, che una voltarisolto fornisce la base cercata.

5.5.1 Esempio (con vettori della base fissati)

Sia un sottospazio di , per trovare una base per3−1,V :=< (1, 1, 1), (1, 1) > Ril suo complemento ortogonale imponiamo il sistema:

⊥V





< v, (1, 1, 1) >= 0

< (x, y, z), (1, 1, 1) >= 0

x + y + z = 0





⇒

⇒

−1, −1, −< v, (1, 1) >= 0

< (x, y, z), (1, 1) >= 0

x y + z = 0







Otteniamo quindi che:

 −zx =

y = 0



Concludiamo quindi che l’equazione parametrica di sia:

⊥V⊥ {(α, −α) | ∈V = 0, α R}

Percui una sua base sarà: ⊥ −1)V =< (1, 0, >3

5.5.2 Esempio (con vettori della base generici e matrice associata)

Sia un prodotto scalare e sia la sua matrice associata rispetto alla baseϕ A{v }:B := , v , v1 2 3  −10 1A = 1 1 0  −1

-10La matrice è una matrice con entrate del tipo:

A =

Quindi nella n-esima riga contiene il prodotto scalare tra l'ennesimo vettore e i 3 vettori della base. Noi cerchiamo un vettore il cui prodotto scalare con i tre vettori della base sia 0. Quindi un vettore:

Vv = αv + βv + γv tale che ϕ(v , v) = ϕ(v , v) = ϕ(v , v) = 0

Se trasponiamo notiamo che nella prima riga si troveranno i prodotti tra i 3 vettori della base e il primo vettore, nella seconda tra i vettori della base e il secondo vettore e così via. Quindi se:

αTA = 0

βTA = 0

γTA = 0

Allora otterremo il nostro vettore espresso come combinazione lineare dei vettori della base (in questo caso inoltre TA = A)

α = -β = γ

Il testo fornito può essere formattato utilizzando i seguenti tag HTML:

−γ−α − α =γ = 0

Quindi: ⊥ {v − − }B = v v1 2 3335.6

Verificare che due spazi vettoriali euclidei con prodotto scalare siano isomorfi isomorfi