Analisi modale. Linee guida per la risoluzione

Fourier dei segnali di ingresso e di risposta con le trasformate discrete

di Fourier, un procedimento numerico classico che viene indicato con FFT

( Fast Fourier Transform): questo procedimento richiede che il segnale

venga forzatamente trattato come un segnale periodico.

Ingresso random: in questo caso, molto importante per le possibilità che

offre alla sperimentazione, il segnale di ingresso ed il segnale di

risposta sono di tipo random. Non viene rispettata la condizione di

Dirichlet (il segnale non è limitato nel tempo) non sono quindi

definibili le trasformate di Fourier sia per l’ingresso che per la

risposta.

Un segnale di tipo random viene descritto con un approccio statistico in

quanto il singolo segnale non è rappresentativo. Il carattere random

indica che in una serie di misure, apparentemente condotte in uguali

circostanze, si ottengono dati diversi. Questo significa che una singola

misura non è indicativa, ma si richiede una descrizione statistica. Si

devono impiegare metodi diversi per la descrizione di segnali random: nel

dominio del tempo con la definizione della funzione di correlazione e nel

dominio della frequenza con la definizione della funzione di densità

spettrale di potenza ( PSD, Power Spectral Density )che si ottiene dalla

trasformata di Fourier della funzione di correlazione.

Un segnale random si definisce stazionario se le sue proprietà

statistiche, in particolare la media, non cambiano nel tempo. La media di

un segnale random stazionario ed ergodico, cioè con medie nel tempo

uguali alle medie di insieme,e quindi tale che le sue proprietà

statistiche si possono valutare con una sola registrazione di durata

sufficientemente grande, si definisce con la :

x = lim (1/T)∫ x(t) dt (6)

il valore quadratico medio del segnale random si definisce con la:

2 2

x = lim (1/T)∫ x (t) dt (7)

la (7) da una indicazione della entità della variazione del segnale. Una

grandezza a questa collegata è la radice quadrata del valore quadratico

medio indicata con x (root mean square). Una funzione importante è la

rms

funzione di autocorrelazione, che misura la variazione nel tempo del

segnale e quindi valuta l’entità del campione statistico. La funzione di

autocorrelazione indicata con R (τ) è definita dalla:

xx 3

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sperimentale

R (τ)=lim (1/T)∫x(t)x(t+τ)dt (8)

xx

Questa funzione rappresenta la velocità di variazione del segnale e

risulta funzione di τ , che indica la differenza temporale tra il segnale

x(t) e lo stesso segnale traslato nel tempo, per τ = 0 la funzione di

autocorrelazione assume il valore quadratico medio del segnale infatti in

questo caso la (8) viene a coincidere con la (7). La funzione di

autocorrelazione ( o di correlazione incrociata se riferita a due segnali

diversi) ha il significato del valor medio del prodotto di un segnale per

lo stesso segnale traslato nel tempo. Si tratta ancora di una funzione

del tempo, come la funzione da cui deriva, ma è limitata nel tempo e

risponde alle condizioni che sono richieste per definire la sua

trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier della funzione di

autocorrelazione (8) definisce una funzione di densità spettrale di

potenza indicata con: -jωτ

S (ω)=∫ R (τ)e dτ (9)

xx xx

Con questa funzione definita dalla (9) si ottiene una descrizione nel

dominio della frequenza della funzione random x(t). Naturalmente le

definizioni (8),(9) si applicano anche al caso di due funzioni diverse

x(t), y(t). Si nota che le funzioni di autocorrelazione sono funzioni

reali ed anche le funzioni di autodensità spettrale di potenza sono reali

(mentre le funzioni di cross densità spettrale sono complesse coniugate).

In questo modo si sono definite, attraverso le operazioni di correlazione

e di trasformazione secondo Fourier sulle funzioni di correlazione, le

funzioni che permettono di trattare i segnali random in maniera analoga a

quanto avviene per i segnali deterministici.

In analogia con la (4) si ha poi una relazione che lega le funzioni di

densità spettrali dei segnali di ingresso ed uscita con la FRF della

struttura : 2

S (ω) = │H(ω)│ S (ω) (10)

xx ff

La (10) non è sufficiente per la valutazione della FRF della struttura in

quanto fornisce informazioni soltanto sul modulo della H(ω) ; si devono

impiegare delle ulteriori relazioni che fanno intervenire anche delle

funzioni di crossdensità spettrale; le funzioni di cross densità

spettrale sono complesse e consentono quindi di ricavare la H(ω) in forma

complessa dalle relazioni:

S (ω) = H(ω)S (ω) (11)

fx ff

S (ω) = H(ω)S (ω) (12)

xx xf

Le (11),(12) permettono di ricavare la matrice delle FRF, H(ω), della

struttura a partire da misure sperimentali condotte con un segnale di

ingresso di tipo random, le (11),(12) offrono due stime possibili per la

H(ω) e dal confronto di queste due stime diverse si può valutare anche la

qualità dei dati ottenuti. L’apparato di misura base dell’analisi modale,

analizzatore multicanale, è in grado di calcolare le (10),(11),(12) con

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sperimentale

diversi procedimenti numerici. Naturalmente la valutazione delle densità

spettrali è sempre approssimata visto che si dispone nella

sperimentazione di un blocco di dati di durata temporale finita. Le (11),

(12) offrono due stime diverse della FRF se si indica con H (ω) la stima

1

ottenuta dalla (11) e con H (ω) la stima ottenuta dalla (12) per valutare

2

l’affidabilità della misura si definisce una funzione di coerenza

2

indicata con γ definita dalla :

2

γ = H (ω)/H (ω)= (S (ω)S (ω))/(S (ω)S (ω)) (13)

1 2 fx xf ff xx

Questa funzione deve avere sempre valori uguali od inferiori ad uno

2

e la condizione limite γ = 1 indica condizioni ideali di misura in cui

le funzioni definite dalle (11),(12) sono uguali. Naturalmente la

presenza del rumore in ingresso ed uscita danneggia la misura in maniera

diversa sulle H (ω), H (ω). Valori molto bassi della funzione di

1 2

coerenza, che rendono la misura non accettabile, possono dipendere da un

comportamento non lineare della struttura o da una risoluzione in

frequenza insufficiente. Le relazioni (11),(12) definite per ingresso

random vengono anche impiegate nel caso di eccitazione impulsiva, in

genere ottenuta con l’impiego di un martello con cella di carico.

3. Il sistema di eccitazione

Può avere caratteristiche diverse ma in genere si tratta di uno shaker o

di un martello con cella di carico. Nel caso dello shaker il segnale di

eccitazione può essere random, sinusoidale o di altro tipo; il sistema di

eccitazione deve essere collegato alla struttura e si ha quindi un

effetto di inserzione che altera la misura. Il collegamento dello shaker

con la struttura avviene con uno stinger una asta sottile che isola lo

shaker dalla struttura riducendo l’effetto di inserzione. Nel caso del

martello con cella di carico la sperimentazione è più semplice e rapida

con minimi effetti di alterazione della misura. Tuttavia nel caso di

strutture di grandi dimensioni, come un velivolo completo, può non essere

possibile dare l’energia sufficiente per l’eccitazione di tutta la

struttura e vi sono anche delle incertezze sulla direzione di

applicazione della sollecitazione.

4. Determinazione dei parametri modali

La determinazione dei parametri modali,frequenze naturali, coefficienti

di smorzamento modale e deformate modali,a partire dai dati sperimentali

che sono le FRF richiede una scelta tra un approccio semplice, basato

sulla idea che sia possibile isolare il singolo modo intorno ad ogni

frequenza di risonanza ed utilizzare una ricostruzione modale fondata su

di un modello SDOF, ed un approccio più generale basata su di una

ricostruzione modale con un modello MDOF. In sintesi se si considera un

termine generico della matrice della FRF in funzione dei parametri modali

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sperimentale

e nell’ipotesi di smorzamento viscoso con caratteristiche di smorzamento

di tipo proporzionale si ha:

ir jr 2 r2

H (ω) = ( ∑ *Φ *Φ )/( -ω + ω + j2ωω ζ ) (14)

ij r r r

Si può considerare, nell’intorno di una frequenza naturale r-sima, che

partecipi di fatto nella definizione della H (ω) la sola frazione

ij

corrispondente alla pulsazione r-sima (modello SDOF). Più in generale si

deve considerare l’influenza di altri modi, oltre al modo r-simo(al

limite di tutti i modi) si tratta del modello MDOF. L’ipotesi di poter

lavorare su di un modello SDOF richiede che i modi presenti nel campo di

frequenza di interesse siano ben separati in frequenza e non siano

fortemente smorzati, perché nel caso di smorzamento elevato si crea un

accoppiamento anche tra modi relativamente separati in frequenza. Al

contrario il caso di modi molto debolmente smorzati presenta dei problemi

legati alla risoluzione in frequenza molto elevata richiesta da una

sperimentazione attendibile. Comunque l’approccio SDOF è utile almeno per

una prima valutazione dei parametri modali: in questo caso si seguono i

passi seguenti.

Si valuta la frequenza propria di vibrazione in corrispondenza del punto

di massimo locale del diagramma del modulo della FRF in funzione della

frequenza. Si ricorda che la frequenza propria si ritrova per ogni

funzione della FRF e si può valutare anche attraverso il diagramma della

parte reale o della parte immaginaria della funzione. Il coefficiente di

smorzamento si valuta dalla :

ζ = (ω – ω )/(2ω ) (15)

2 1 n

dove ω indica la pulsazione naturale del modo ed ω ,ω indicano i punti

n 1 2

di massimo e di minimo relativo della parte reale della FRF (o i punti a

mezza potenza intorno al massimo locale del modulo della FRF). Anche il

coefficiente di smorzamento si ritrova modo per modo per ogni funzione

della FRF. Per quanto riguarda la stima della deformata modale questa si

può ricavare da una riga delle FRF e richiede quindi un numero di punti

di misura corrispondenti al numero delle componenti modali che si

vogliono determinare. La misura delle pulsazioni naturali e dei

coefficienti di smorzamento è una misura globale che si ottiene anche da

un solo punto di misura mentre la valutazione delle deformate modali

richiede un numero di misure corrispondente al numero di componenti che

si devono acquisire.

5. Deformate modali compl