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Algebra e geometria - sottogruppi (parte 2)

Appunti di Algebra e geometria per l’esame della professoressa Gerla. Gli argomenti trattati sono i seguenti: sottogruppi, sottoinsiemi, insiemi, proprietà come relazione di equivalenza, relazione RH su G, sottogruppo di 5 elementi, teorema di Lagrange.

Esame di Algebra e Geometria docente Prof. B. Gerla

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SOTTOGRUPPI se (G,*) è un gruppo se x , y∈H -> x∗y

H<=G è un sottoinsiemi di G tale che ∈H

−1

se x∈ H -> x H

1G∈ H

( , {0} ,∗) è un gruppo

Es. ℚ 1 1

n 2 3 4 0 −1 −2

2 | n∈ = 2 , 2 , 2 , 2 , 2 = 1, 2 = , 2 = }⊆ℚ , {0}

H = { ℤ} 2 2

2

( , 0 ,∗) ? si!

H è un sottogruppo di ℚ

1∈ H

4, m n m m)

(n+

2 2 2

∈H ∗2 =2 ∈H

n n −1 −n

2 H -> H

∈ (2 ) =2 ∈

1 | n∈ℕ}⊆ℚ sottogruppo \ {0} ?

k = { ℚ

n

3

1 1 1

∗( )= ∈K

n m m)

(n+

3 3 3

−1

1 n

( ) =3 ∉K

n

3

Def. Se H <= G si definisce la relazione RH su G

−1

x Rh Y <=> x∗ y H

Proprietà RH è una rel. D'equivalenza

Dim −1

Riflessiva x Rh x poiché x∗x =1∈H

−1 −1 −1

Simmetrica se x Rh y allora x∗ y H -> x∗y

∈ ( ) ∈H

−1 −1 −1

=> ( x∗y ) = y∗x -> y Rh x

∈H

−1 −1 −1 −1

Transitiva x Rh y e y Rh z => x∗ y H e y∗z =>( x∗y y∗z )∈H

∈ ∈H )∗(

−1 −1

=> (x )∗( y∗z )∈H =>

∗y

−1

x∗z => x Rh z

∈H

n

Es. H 2 | n∈ℤ }⊆ℚ \{0}

={ n n

−1

x Rh y <=> x * y^-1 H <=> x∗y <=> x=2

∈ =2 ∗y

n

Quindi 2 Rh 3? 2=3∗2 No!

3 Rh 12 12 = 3 * 4

12 = 3 * 2^2

Y = x * 2^2

3 = 12 * 2^-2

|

V

3 = 12 * ¼ = 3!

6 , +) gruppo

Es.( ℤ H 6

H {[0]6, [2]6, [4]6} ⊆6 ⊆ℤ

6 {[0]6,[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6}

ℤ x− y

x Rh y => ∈H H => 1] Rh[0

[1] Rh [0] ? [0] – [1] = [-1] = [5] ∉ [ ]

H

[2] Rh [4] ? [2] – [4] = [-2] =-[2] = [4] Si

H

[5] Rh [3] ? [5] – [3] = [2] Si

∈ H

[2] Rh [1] ? [2] – [1] = [1] NO

Teorema di Lagrange

Sia (G,*) un gruppo finito e H <= G

Allora |H| divide |G| (cioè |G| è un multiplo di |H|)

( 6, +)

Esempio è un gruppo

6 può avere un sottogruppo di 5 elementi? No per il t.di Lagrange

ℤ 6

| | = 6

ℤ 6

{[0]6.[2]6,[3]6,[5]6} è un sottogruppo di ? NO

x h∈H }

Proprietà Se [x]Rh = {hx |

∈G −1

Dim Infatti se y x Rh => y Rh x => y∗x

∈[ ] ∈H

−1

=> esiste h∈ H tale che y∗x => y

=h =hx

x , y

Il proprietà se ∈G


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AUTORE

koganzjo

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher koganzjo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Insubria Como Varese - Uninsubria o del prof Gerla Brunella.

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