Algebra e geometria - sottogruppi (parte 2)

3 Rh 12 12 = 3 * 4

12 = 3 * 2^2

Y = x * 2^2

3 = 12 * 2^-2

|

V

3 = 12 * ¼ = 3!

6 , +) gruppo

Es.( ℤ H 6

H {[0]6, [2]6, [4]6} ⊆6 ⊆ℤ

6 {[0]6,[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6}

ℤ x− y

x Rh y => ∈H H => 1] Rh[0

[1] Rh [0] ? [0] – [1] = [-1] = [5] ∉ [ ]

H

[2] Rh [4] ? [2] – [4] = [-2] =-[2] = [4] Si

∈

H

[5] Rh [3] ? [5] – [3] = [2] Si

∈ H

[2] Rh [1] ? [2] – [1] = [1] NO

∈

Teorema di Lagrange

Sia (G,*) un gruppo finito e H <= G

Allora |H| divide |G| (cioè |G| è un multiplo di |H|)

( 6, +)

Esempio è un gruppo

ℤ

6 può avere un sottogruppo di 5 elementi? No per il t.di Lagrange

ℤ 6

| | = 6

ℤ 6

{[0]6.[2]6,[3]6,[5]6} è un sottogruppo di ? NO

ℤ

x h∈H }

Proprietà Se [x]Rh = {hx |

∈G −1

Dim Infatti se y x Rh => y Rh x => y∗x

∈[ ] ∈H

−1

=> esiste h∈ H tale che y∗x => y

=h =hx

x , y

Il proprietà se ∈G

allora |Hx| = |Hy| = |H| cioè le classi d'equivalenza risp. Rh di due elementi di G hanno la stessa

cardinalità che coincide quella di H.

Dim consideriamo la funzione

f : h∈H -> h∗x ∈Hx

Si può verificare che f è biettiva e quindi |H| = |Hx|

Teorema di Lagrange

G finito, H G => |X| divide |G|

⊆

Dim. Le classi d'equivalenza formano una partiz. di G

Siano [X1]RH, …., [Xs]RH tutte le classi d'equivalenza rispetto ad RH

G = [X1]RH U …. U[Xs]RH |G| = |[X1]RH + … +|[Xs]RH|

|[X1]RH| = |Hx1| = |H| |[X1]RH| |[Xs]RH|

|G| = |H| + ….. + |H| = s * |H|

|[Xs]RH| = |Hxs| = |H| s volte OK

Def. se (S, .) e (T,*) sono strutture algebriche

f: S → T è un OMOMORFISMO tra S e T se

ogni x , y si ha f f f y

∈S (x∗y)= (x )∗ ( )

,+) ( , .) ?

Es. ( ℤ ℝ

m) n m

(n+

f(n-m) = 2 = 2 f f

∗2 = (n)∗ (m)

Def. Un omomorfismo biettivo si chiama ISOMORFISMO

Def. Se (G1, .) e (G2, .) sono due gruppi

f: G1 → G2 È un omomorfismo di gruppi se:

−1 −1

f(x * y) = f(x) * f(y) - f x f

– ( )=(( ))

f(1G1) = 1G2

– ,+) ,{0} , . ) sono gruppi

Es. ( (

ℤ ℝ

n f(n-m) = f(n) * f(m)

f : n∈ℤ -> 2 ∈ℝ ,+)

0 è l'elemento neutro di ( f(0) = 2^0 = 1

ℤ ,{0} , . )

1 è l'elemento neutro di ( ℝ

1 n

−n −1 −1

f f n)) → f omomorfismo di gruppi

(−n)=2 = =(2 ) =( (

n

2

NON è .ISO perchè non è suriettiva }

Esempio M = { (a b) | ad – bc != 0, a,b,c,d (M,*) gruppo

∈ℝ

(c d)

a∈ℝ }≤M (H,.) è un gruppo

H = { (1 a) |

(0 1) dimostrare che f è un ISO di (

f : a∈R -> a)∈ H ,+ ) in , .) di gruppi

(1 ℝ (M

(0 1)

f è biettiva infatti è su poiché ogni elemento di H è del tipo (1 a)

(0 1)

e quindi è immagine di a

inoltre è iniettiva perchè se a!=b allora (1 a) != (1 b)

(0 1) (0 1)

f(a + b) = (1 a+b)

(0 1 )

(1 a) * (1 b) = (1 b+a) f(a+b) = (1 a)(1 b) = f(a) * f(b)

(0 1) (0 1) (0 1) (0 1)(0 1)