Algebra e geometria - sottogruppi (parte 2)

Sottogruppi se (G,*) è un gruppo

Se x, y ∈ H → x * y H ≤ G è un sottoinsieme di G tale che ∈ H^-1 se x ∈ H → x H ∈ 1 G ∈ H, allora (∅, {0}, *) è un gruppo.

Esempio

ℚ = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 0, -1, -1/2 | n ∈ ℚ } ⊆ ℚ, {0} H = { ℤ} 2 22( , 0 ,*)? Sì! H è un sottogruppo di ℚ.

1 ∈ H⁴, m n m m) (n + 2 2 2 ∈ H * 2 = 2 ∈ Hⁿ n -1 -n² H → H ∈ (2 ) = 2 ∈ 1 | n ∈ ℕ } ⊆ ℚ sottogruppo \ {0} ? k = { ℚ n 31 1 1 * ( ) = ∈ Kn m m) (n+3 3 3 - 11 n ( ) =3 ∉ Kn³

Definizione

Se H ≤ G si definisce la relazione R_H su G^-1 x R_H y <=> x * y H ∈

Proprietà di R_H

R_H è una relazione d'equivalenza:

• Riflessiva: x R_H x poiché x * x = 1 ∈ H^-1
• Simmetrica: se x R_H y allora x * y H → x * y ∈ ( ) ∈ H^-1 → ( x * y ) = y * x → y R_H x ∈ H^-1
• Transitiva: x R_H y e y R_H z → x * y H e y * z → ( x * y y * z ) ∈ H ∈ ∈ H )*(−1 −1=> (x )*( y * z )∈H → * y^-1 x * z → x R_H z ∈ Hⁿ

Esempio

H = {2 | n ∈ ℤ } ⊆ ℚ \{0} = {n n −1 x R_H y <=> x * y^-1 H <=> x * y <=> x = 2 ∈ = 2 * yⁿ}

Quindi 2 R_H 3? 2=3*2 No! 3 R_H 12 12 = 3 * 4 12 = 3 * 2² Y = x * 2² 3 = 12 * 2^-2|V3 = 12 * ¼ = 3!

Gruppo

(ℤ, +) gruppo. Esempio:

ℤ H = 6 H = {[0]6, [2]6, [4]6} ⊆6 ⊆ℤ6 {[0]6,[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6} ℤ

x - y x R_H y → ∈ H H → 1] R_H [0 [1] R_H [0] ? [0] – [1] = [-1] = [5] ∉ [ ] H [2] R_H [4] ? [2] – [4] = [-2] = -[2] = [4] Sì ∈ H [5] R_H [3] ? [5] – [3] = [2] Sì ∈ H [2] R_H [1] ? [2] – [1] = [1] NO ∈

Teorema di Lagrange

Sia (G, *) un gruppo finito e H ≤ G. Allora |H| divide |G| (cioè |G| è un multiplo di |H|).

(6, +) Esempio è un gruppo. ℤ₆ può avere un sottogruppo di 5 elementi? No per il teorema di Lagrange.

ℤ₆ | | = 6 ℤ₆ {[0]6, [2]6, [3]6, [5]6} è un sottogruppo di? NO ℤ x h ∈ H }

Proprietà

Se [x] R_H = {hx | ∈ G^-1 Dim Infatti se y x R_H → y R_H x →