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SEE
A SOLO
una è non e .
(88) r)
M(2
Se A =
= ,
"(â)
acces as-be ( - â)
A . =
=
Trasposizione IRS
(nxm
(ais)
A M
Sia = - , + (95) colonne
la A=
trasposia leighe diventano
=D viceversa
e
sua sca
Matrice inversa 1)
(n
Daia (n 1)
M BeM
si
A matrice
un'altra
dice
matrice INVERMBILE esine
una = Se :
,
,
AB Se INVERSA
Besiste
In tale dalle A
BA si Oli
= =
Determinante
E' M(n 1)
funzione det IR
una :
- -
,
(28) determinante
A (2 (A)
Data ad-bc
det
ie
ie
M 1) reale
numero
e =
:
= = , d)
(0 c)
(a (a
0)
P b
oli
l'area del parallelogramma vertici
Geometricamente c
rappresenta +
+
, ,
, ,
,
d)
(b e acb
d>0
b
supponendo a c
, ,
, , ,
N R d)
b
a c (Tc)
/T
(a) )
Area/Rl
+ Area
+ -2
I Area
-2
, Area
· Area
2 . .
- . ,
=
T
Q 2(2) 2()
T 2(b)
b)(c
=(a d)
(a )
. =
-
-
+
. + -
I
0
I
, Q bc bd 2bc bd
T1 ad
Ge ac bc
ac
= - =
+ -
+ -
+ -
7
⑧
0
Matrice complementare di oroline
(n denotianw
A M (n-1)
Data R) la la
ottenuta cancellando
Ais saitomanice A
di
= con
, ,
i -esima la I-esima
riga colonna
e
Complemento algebrico "
(-17 COFATTORE)
Aig
R)
(n It CO
det si
M
A dice COMPLEMENTO ALGEBRICO
(ais)
Sia E numero
, .
= (-1)" (O
COMPLEMENT
La MATRICE DEI
Ais)
coefficiente
del marnice ALGEBRI
det si chiche DE
Gij -
.
20FATTORIS .
Matrice singolare
)
A M (n (A)
det
Sia Se SINGOLARE
allore manice si dice
0 la
=
, .
Per Teorema invertibile
il ) singolare
( manice SE
SEE
A SOLO
una è non è .
Proprietà del determinante
(A) diagonale
sulla
det
A Triangolare prodotto elementi
=>
· =
(In)
Det 1
· = (
(A) A)
det =
Det
· =
Dimostrazione (80)
(28)
2 A
n A
+
= det A)
b
= d d b
= detAl
= a a
+
c c
- - = -
-
.
= =
.
riga/colonna
A (A)
det
nulla
· 0
con = =
Dimostrazione
La
Sviluppo la riga/colonna
lungo
place
oli nulla
nigal (A) (A)
A
· moltiplicando colonna det
de
oltenuta A 1 det
di per
una D =
= -
Dimostrazione X
La moltiplicata
Sviluppo la riga/colonna
lungo
place
di per faccio
righe/colonne
ADDIVITA' la
riga/colonna determinanti
alle
Rispetto dei
e
: scompongo
· una comme
Dimostrazione
La
Sviluppo la riga/colonna
lungo
place
di scomposta
Esempio det(2-23) set(2 e I
( 3)
( ) aet
det = = +
--
Caplace As
Az Laplace
na
Si :
20et(3') (2) 3
det() (2
!
i) (-4 )
)
!
(=
det -2det
-2det 0
20e+ 10 10-10 10
1 =
- - +
= +
- +
+ cambia
det
il
riga/colonna A
Sommando il
ad un'altra
multiplo riga
di di non
una
· ,
righe/colonne (A)
A uguali det
· due 0
con = =
cambia
righe/colonne il
scambiando det
due tra loro segno
· =det(A)
linece A
/colonne
riga/colonna di
righe
di altre
A
Se combinazione
di 0
· una e =
Minore {n my
) 1
AeM
Data (nxm K
A di sonomarnice
dato = h < e
MINORE Ordine
min Oli
e un una
, ,
,
, K
A A
colonne
K
intersecando
quadrata di oi
righe
ottenuta e .
Rango R)
Ac A l'ordine
(nxm Il di
Sia del
UKA
RANGO rgA mino
denotato pie graude
e
o
, . ,
, _
di A 0
det rKA K
ovvero
re con Se :
; =
I A det
minore di Fo
almeno ordine
ol
un con
·
Orlati R) minoni A
di
(nxm M i
A
Sia Ae Gli di di
ordine ordine
ORLAT
di
sia poli
minore sono
e un .
, M
1 che contengono
p + .
Matrice a scala ) gradini)
lo
Ac
Una orice
(nxm scala
mainice si se
a
a
,
ci
riga righe
colo nucle
· nulla
sono una cono ; lo
ogni
il gli
niga
elemento
primo im de precedono
e
nullo son sei
non
sono
· La
solo
a zeni
sono PIVOT
il
prende di
nome
Sistema lineare omogeneo Zo A X
Zo colonna
la
linecuze 0
la
in termini
sistema si
un cui colonna noti
dei nuva
è : . = ,
,
dice OMOGENEO
LINEARE
Sistema Capelli)
soluzione
(Ha Rouche
sempre per -
Spazio vettoriale dicati
imsieme
Uno elementi ci
i VENORI
reale V
SPAZIO VETORIALE somo su
di
un
e ,
, RXV
moltiplicazione V
la V
definite VxV la scalare
soMtA wo
+ e
sono :
per
-> ->
: , ,
proprietà
soddisfano seguenti
le
che :
In
~con rivev
us ,
UreU Or
Over v
V
NULLO +
: =
· MATRIC
delE
Stesse
Le
HANIO proprietà
5-veV
(unico) +C-v)
freV Ov
Opposto :
· ,
=
(b-r)
(m v)
X wer Ed
ASSOCIATA MER
V e
. =
· - . ,
,
(x u) x freU FX meR
V v
M
v e
.
. .
· + +
= , ,
veVe
fu FER
v)
(V bv
b u
+
· =
. + ,
,
veV
1 v v
· . = ,
Sottospazio vettoriale sotoinsieme
venoniale V
Un
V W olice SOSPAZIO
reale oli UETORIALE
su
Sia spazio
uno .
sei il
Ove contiene
W nullo
verture
· W commati
XW elementi rimanian
W due
presu dentro
e
e e
w caso
wi a
w
· a
+
, ,
, , : rimanian
FweW FER b moltiplicato
WeW De al
e sociospazio dentro
· e
preso un c
. ,
.
,
Combinazione lineare UreV
V x t
rectoriale
spazio Ve
= .
; ...,
,
...,
,
; Xxvr
Il xv
v
generico
ventore =
: +
, +
...
combinazione coefficienti
dice di de
lineare
si e un a n
...,
,
...,
,
L'insieme le line
combinazioni
tutte
di denota
si
ci :
un ne RY
Spande, Ed dien de
+
: = + :
+ .... ...,
,
...,
,
Sistema di generatori !
V Vn]
V Se V=
retoriale Spau diremo
spazio che
Un e V
= e
; .
..., ,,
, ..., ,
S Un} V spazio vemoriale
lo
che
GENERATORI
SISTEMA e
e DI
V un e
pen
, ,
...,
.
GENERATO DA VK
Vi ..., -
,
Spazio vettoriale finitamente generato
dice di
vañoniale
Uno sistema
spazio FINITAMENTE GENERATO aulette
se nu
su
finito
genencato si
Vettori linearmente dipendenti e indipendenti
neV
spazio I
Sia venoniale reale dicono
venoni
V uno v su :
. , ..., X
coefficienti tali
tuui nulli che
Linearmente Dipendent non
esistone
· se k
., ...,
XaVi
1 Or
V + =
+ ;
, , ... l'unica lineare
combinazione luguale
LIneArmente INDIPENDEN di Un
V
se
· , ...,
uguali
trii
al coefficienti
quelle con
null owero
venore i a zero se :
,
Or xx
X
buV 0
X ED
V +
+ ... =
= =
,
, , =
...
Base
V retoriale
spazio
= ; { Un}
V V
venori
insieme
un BASE di
di
di V e una se
., ...,
Un]
↳V
1) ver
generatori V
di di
sistema
e un ovvero
., ..., ,
I neRiv n Un
V
x
d ..., + +
, = ,
, ...
2) linecumente indipendenti
vi Un sono overo
,
, ..., Or
V 0
ann
a 0 D &
+ an
= =
,
, + =
, = =
... ...
Coordinate SV Un} ver
base V
B Ogni
sia
V di
retoriale una
spazio e
= = , ..., .
in evico V
scrive modo
si V Un
&
come : an
+
= +
,
, .
... [V]B
Bie
Chiameremo COORDINATE denotato
di Tispeño
V venore
a , ,
coefficienti
dei An (äl
. ..., us : =
Dimensione
V vetoriale
spazio
= (CARDINALITA)
(olimV) base
il qualunque
La V
dimensione di di V
wenori di
di e una
numero
Applicazione lineare
V W venoriali
Spazi
=
, funzione
Mma T additiva
lineare
V W si applicazione
olice ed owero
omogenea se
e
-> se
: :
,
(v)
ShaT(v (M)
Fr +4)
zU T
T
,,,
· +
, =
u) T(u)
sit T(b
FreVe de b
R
· = (il
. ·
In componenti lineai
le
Lineale ad immagine
R Mm comb
appe dell al x
da
ave sono ...., n
, , .
Isomorfismo
e (ad
Applicazione del insieme sole
graudezza
BIUNIVOCA corrisponde
einece ed grandezza
primo una
ogni una
viceversal isomorfismo
insieme
del chiama
si
secondo e tra Ve
T questi
W isomorfi
V si olicono
isomorfisms W
: un
se
- , ,
Sono applicazioni
isomorfismi le seguenti :
10
colentità V -> V
· : : V v IR"
V
Fi
coordinate BBase Ve dim
di n :
· ->
= :
, FB(u)
v
Codimensione olim V
sottospazio veñoriale
spazio
V
di
venoiale
W =n
com
=
codimensione
sicuicula
n-climw W
oli
Sottospazio affine
venorale
& V
di
sonospatro V
( del
un tipo
insieme
di
affine V//w
spazio <
sono un sono
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