Geometria e Algebra Lineare - Teoria

GEOMETRIA

TEORIA

COLOREASSORTITO

Funzione

Detti un insieme X detto dominio e un insieme Y detto codominio, una funzione è una relazione f : X→Y che per ogni elemento x ∈ X associa uno e un solo elemento dell'insieme Y. L'elemento associato y ∈ Y tramite la funzione è indicato con f(x).

Immagine

L'insieme di tutti e soli gli elementi del codominio delle funzioni è formato dagli elementi ottenuti applicando la funzione a tutti gli elementi del dominio. Immagine = Sottoinsieme di Y.

Controimmagine (Caratteristica Inversa, Fibrato, Antiimmagine)

L'insieme degli elementi del dominio che formano la controimmagine della funzione corrisponde alla totalità degli elementi del dominio.

F. Iniettiva

Una funzione è iniettiva quando ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

F. Suriettiva (Suriettivo)

Aut ad ogni elemento del codominio si può associare un almeno un elemento del dominio.

F. Biettiva (Biiettivo)

f : S→T è una legge tra due corpi e ammette e emette valori Y e T. ∀ y ∈ T ∃! x∈ S T.C. y = f(x)

F. Inversa

Funzione Inversa f⁻¹ : X→Y

La funzione è detta invertibile se e solo se ammette g : Y→X T.C.:

• g(f(x)) = x ∀ x ∈ X
• f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y

INSIEMI NUMERICI

• Naturali: N = {0, 1, 2, 3, ...}
• Interi: Z ∪ N ∪ {−1, −2, −3,...}
• Razionali: Q = ogni numero frazionario (1/2, -3/4)
• Reali: R = tutti i numeri razionali, unione con ogni insieme decimale
• Complessi: C a+ib

Principio di Induzione

Per provare un'enunciato per n, per ogni numero k, P(n)⇒P(n+1)

1. P(1) ⇒ enunciato vero per n=1, enunciato vero per 2^nd + 1 = k.

Il schermo minore m.e.a = f(n) = ───────── dopo inferiore massimo

P(n+1) ⇒ (n)(n+1)₂ P(n) ⇒ Pn(n+1) * (n+2) * (n+3) * (n+4) * (n+5) * (n+6) * (n+7)…

Eq. Parametric Piano

Un piano è un insieme...

Equazione parametrica: ...

x = x₀ + λv₁ + μw₁

y = y₀ + λv₂ + μw₂

z = z₀ + λv₃ + μw₃

Piano per tre punti non allineati

Se ABC sono tre punti...

PG = λ · (AB) + μ · (AC), λ, μ ∈ ℝ

Prodotto scalare in ℝ³

Definito come il ...

u · v = |u| |v| cosθ

• Commutativa: u · v = v · u
• Distrib. rispetto alla somma: ...
• Calcolo: ...

Distanza di due punti

Data una coppia di punti...

d(A, B) = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

Eq. Cartesiane rette e piani

Piano π passante per il punto...

π : ax + by + cz + d = 0

Condizione: ax₁ + by₁ + cz₁ + d = 0

Reggiamento cartesiano del piano in piedi chirurgico

ax + by + cz = 1

... calcolare il piano perpendicolare...

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀)

Eq. Cartesiana ed Eq. Parametrica

Per passare da una forma all'altra...

Perpendic. alle altre rette...

Formula di Grassmann

dim U + dim V = dim(U ∩ V) + dim(U + V)

Somma diretta di due sottospazi

Se U ∩ V = {0}, allora U e V sono in somma diretta.

Complementare di un sottospazio in uno spazio vettoriale

U complementare di V se dimU + dimV = dimW

Matrici

Ordine matrice

Ordine m x n: ha m righe e n colonne

Vettore riga

1 x m

Vettore colonna

k x 1

Matrice e vettore

Prodotto tra matrici

La somma tra due matrici A e B matrice m x n:

(AB)_ij = Σ a_ik b_kj

Proprietà

• Associativa con scalare: A(BC) = (AB)C

SISTEMI LINEARI VETTORIALI

A=XA_B

x₁A₁+x₂A₂+...+x_nA_n=B

FORME MATRICIALI:

AX=B

X=AX^-1

con min => codim massimi ed inversa

(x-2y+3z=0

2x+y+z=0

x+2z-5z=0

(2 1 3) (x) (0)

(-1 1) (y) (0)

(3 1 -3) (z) (0)

A= (2 1 -3) X= (x) B= (0)

(-1 1 2) (y) (0)

(3 1 -2) (z) (0)

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

A^= (A|B)

Un sistema lineare AX=B A e B

A {compr. R^n x m} - B {R^n x 1} è risolta se è e

g(A) = g(A^)

DIMOSTRAZIONE:

Vedi matrice (A|B) minima che desuma A|X=B

X= ⎝x|1⎠

Quando il determinante di A⏐B c determinante lineare della colonna di Aⁿ

span[A](A^|)

(2y+13z=0) (x2+y+4z=0) (x+2z-5z=0)

2 -1 3) (A)

-2 1 1) (1) (v)

2 | -1

span(A)

SISTEMI QUADRATI NON SINGOLARI

Un sistema lineare quadrato ci non singolare ed ordo n ci ha la mato A ci desma MQA

m(A) = m

REGOLA DI CRAMER

La variabile verticale: la sopra mostre con m di hime P di matice B ci de terminante

2y+z=0 xye = 0 z=4 | -2

3y+z=-3

5|x|1|

5|x|2|5

3 A3 y 3

CRA COMM

x = |B⏐ A | ^{d(x)⏐| m.sup|)}

⊗|⏐A|4|

⏐=⏐1=1⏐⏐=⏐|⏐

1 2 4 x

⏐⏐^| 5 ⏐⏐

⏐⏐ = ⏐|=(4 x y’ |)⏐

|2=6-1

x⏐

y⏐

z⏐

(x y v) = ⏐((x -4) y’ ⏐ 3) ⏐=⏐5

|(x 4) 1|3|

-1 -2 y4⏐⏐⏐⏐4(x) A⏐5⏐|⏐4⏐=

⏐⏐5⏐ ⏐

Se A ∈ M_n(ℂ) ha tutti gli autovalori in ℝ, allora:

(a) ∃ un'unica matrice simmetrica S ∈ M_n(ℝ) tale che A = S;

(b) ϱ(A) ≥ m(A).

TEOREMA

Se un operatore in uno spazio V ammette h autovalori distinti è diagonalizzabile.

AUTO VALORE REALE

Da un polinomio p(x) possiamo ottenere u s complesso di matrice A denotata C_u

|Σ(A) | = |Σ(E-λI)

STRUTTURA METRICA IN R^m

PRODOTTO SCALARE

• SIMMETRIA: <v,w> = <w,v> ∀v,w ∈ E³
• BILINEARITÀ: rispetto alle variabili (u,v)
• POSIVITÀ: <v,v> ≥ 0 ∀v ∈ E³