Geometria e Algebra Lineare - Teoria

Funzione

Oltre un insieme X detto dominio e un insieme Y detto codominio, una funzione è una relazione: π: X → Y che ad ogni elemento x ∈ X associa uno ed uno solo elemento dell’insieme Y. L’elemento associato a x ∈ X tramite f viene indicato con f(x).

Immagine

L’immagine di un sottoinsieme del dominio della funzione è formata dagli elementi dell’immagine ultimi appartenenti la funzione a tale sottoinsieme.

Controimmagine (chiamata inversa, fibot, antiimmagine)

È il comune degli elementi del dominio che la funzione relaziona a tale sottoinsieme.

F. Iniettiva

Unione di alcuni elementi del dominio a elementi distinti del codominio.

Iniettiva:

• X → Y
• (a) 2
• (b) 3
• (c) 5

Non Iniettiva:

• X → Y
• (a) 2
• (c) 2

F. Suriettiva

Ad ogni elemento del codominio si assegna di almeno un elemento del dominio. Immagine = Codominio.

Suriettiva:

• X
• Y
• 2
• 2
• 3
• 4

F. Biunivoca (Biettiva)

f: S → T se f è iniettiva se non è suriettiva, suriettiva e iniettiva. Sia f: X → Y

F. Inversa

Se f biunivoca è associata a una funzione g: Y → X. T.C.: g(f(x)) = x ∀x ∈ X, f(g(y)) = y ∀y ∈ Y

Insiemi numerici

Numericità: N {0,1,2,3,...}

Interi: Z ∪ N {...-2,-1,0,1,2,...}

Razionali: Q esprimono numerabilità frazionale (a/b)

Reali: R rapporto fra due numeri interi con decimali limitati

Complesso: C a + bi (i² = -1)

Principio di induzione

Se è per P(n) che è vera per ogni n, di modo che P(n) ⇒ P(n+1). P(0) = P₀ ∀n ∈ N, nP(n) - ∀n ∈ N, a n(+1)G(n+1) = P(n) + G + n = 2 + 3 n + 2(+)P(n) ^b = n(+1) + m ⁽ⁿ⁺¹⁾ 2P(b) ^b = P _n+1

Composizione di funzioni

L’applicazione di una funzione al risultato di un’altra funzione.

f : X ⟶ Y

g : Y ⟶ Z

g ∘ f : X ⟶ Z

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) ∀x∈X

Operazioni interne insiemi numerici

Operazioni definite su un insieme (ad es. A⊆A⟶A) che operano sui suoi elementi. Si indica con A l’insieme di tutti gli elementi di A ordinati in un'unica sequenza finita.

Addizione

+: ℕ × ℕ ⟶ ℕ(a₁, a₂, ..., aₙ) = m₁ + m₂ ∀m₁, m₂∈ℕ

Moltiplicazione

×: ℕ × ℕ ⟶ ℕ(n₁, n₂) = m₁ × m₂ ∀m₁, m₂∈ℕ

Struttura algebrica

Un insieme A non vuoto dotato di una o più operazioni interne. (ℕ, +), (ℝ, ⋅) ecc sono strutture algebriche.

Gruppo

Un gruppo è l’insieme dotato di tutte le seguenti proprietà:

Associatività: (g₁⋆g₂)⋆g₃ = g₁⋆(g₂⋆g₃) ∀g₁, g₂, g₃∈G

Esistenza dell'elemento neutro: ∃ e∈G : g⋆e = e⋆g = g ∀g∈G

Esistenza dell'elemento inverso (opposto): ∃ g⁻¹∈G | g⋆g⁻¹ = g⁻¹⋆g = e

Gruppo abeliano o commutativo

Se vale la proprietà di commutazione alla seguente aggiunta:

Commutatività: g₁⋆g₂ = g₂⋆g₁ ∀g₁, g₂∈G

Esempio: (ℤ, +), (ℚ, ⋅), etc.

Anello

(A, ⊕, ⊗) Struttura con due operazioni interne (addizione, moltiplicazione) e un gruppo abeliano, operanti su questo stesso insieme. L’elemento dell’anello deve soddisfare le seguenti proprietà:

Associatività: (a⊕b)⊕c = a⊕(b⊕c) ∀a,b,c∈A

(a⊗b)⊗c = a⊗(b⊗c) ∀a,b,c∈A

Attivibilità dell’insieme sul prodotto: a⊗(b⊕c) = (a⊗b)⊕(a⊗c) ∀a,b,c∈A

(b⊕c)⊗a = (b⊗a) ⊕ (c⊗a) ∀a,b,c∈A

Non commutativo né univo algebrico

Campo

In un campo commutativo intero (K, +, ⋅) Ogni elemento di K, escluso lo zero, ha comunque un'inversa per l’operazione di moltiplicazione.

Polinomio

Espressione algebrica costituita da somme finite di monomi (a⋅xⁿ) in una variabile x, del loro insieme dei coefficienti.

p(x) = a₀+a₁x+...+aₙxⁿ, con a₀,a₁,...,aₙ∈ℝ - n come intero.

Esempio: mⁿx^{k-i}(x)

Teorema di Ruffini

p(x)∈ℝ[x]: quando un polinomio P grado n : x₀∈ℝ non nu.