Algebra lineare e geometria

IMMAGGINI DI VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

Sia f : V → W un’applicazione lineare tra due k-s.v. V e W . Allora:

1. se f è iniettiva e v1, . . . , vr V sono linearmente indipendenti =⇒ f (v1), . . . , f (vr) sono

∈

linearmente indipendenti.

2. se f (v1), . . . , f (vr) sono linearmenti indipendenti. =⇒ v1, . . . , vr V sono linearmente

∈

indipendenti.

Dimostrazione:

Sia f : V → W un’applicazione lineare tra due k-s.v. V e W e siano dim V = n e dim W = m. Allora:

1. se f è iniettiva n ≤ m

⇒

2. se f è suriettiva n ≥ m

⇒

3. se f è un isomorfismo n = m

⇒

4. se f è un isomorfismo e [v1, . . . , vn] è una base di V [f (v1), . . . , f (vn)] è una base di W

⇒

TEOREMA DELLA DIMENSIONE

Sia f : V → W un’applicazione lineare tra due k-s.v. V e W e sia V finitamente generato. Allora:

dim ker f + dim Im f = dim V.

Dimostrazione:

ASSEGNAZIONE DI UN’APPLICAZIONE LINEARE

Ci sono tre modi tra loro equivalenti per assegnare un’applicazione lineare.

1. PRIMO MODO(Mediante una base del dominio)

Teorema

Siano V, W due k-s.v., A = [v1, . . . , vn] una base di V e w1, . . . ,wn W vettori arbitrari. Allora

∈

esiste un’unica applicazione lineare f : V → W tale che:

f (v1) = w1, f (v2) = w2, . . . , f (vn) = wn.

Esempi:

f: R3 --->R3

f(1,0,0) = (1,0,1)

f(0,1,0) = (2,1,-3)

f(0,0,1) = (0,1,5) f è definita mediante la base canonica di R3

2. SECONDO MODO(Mediante equazioni esplicite)

Siano V, W due k-s.v. e siano A = [v1, . . . , vn] una base di V e B = [w1, . . . ,wm] una base di W .

Ogni vettore v V è determinato dalle sue componenti [v]A = (x1, . . . , xn) e ogni w W da

∈ ∈

[w]B = (y1, . . . , ym). Quindi, un’applicazione lineare f : V → W è assegnata se assegniamo una

legge: f (v) = w f (x1v1 + · · · + xnvn) = y1w1 + · · · + ymwm,

⇐⇒

dove y1, . . . , ym sono espresse mediante polinomi lineari e omogenei nelle xi :

= + ⋯ +

$ $$ $ $( (

= + ⋯ +

% %$ $ %( (

…

= + ⋯ +

* *$ $ *( (

esempi:

f: R2 --->R3

f(x1,x2) = (x1+x2, 3x1-x2, -2x1+4x2)

3. TERZO MODO(Assegnando la matrice associata)

Siano V, W due k-s.v. e siano A = [v1, . . . , vn] una base di V e B = [w1, . . . ,wm] una base di

W . Se f : V → W è un’applicazione lineare, chiamiamo matrice associata a f rispetto alle basi A

e B la matrice MA,B(f ) che ha per colonne [f (v1)]B, [f (v2)]B, . . . , [f (vn)]B, cioè:

…

$$ $% $(

…

ℬ *,(

%$ %% %(

= ∈

… … ⋱ …

…

*$ *% *(

dove:

f (v1) = a11w1 + a21w2 + · · · + am1wm

f (v2) = a12w1 + a22w2 + · · · + am2wm . . .

f (vn) = a1nw1 + a2nw2 + · · · + amnwm.

STUDIO DELLA DIMENSIONE DI Imf e kerf

Se f:V->V è un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W, e se

, … , è ,

A=

$ ( , … , )

Allora V=(

$ ( m,l

1. Imf=L(f(v1j,…,f(vn)-> dim Imf=p( m,l

2. Per il teorema della dimensione dimkerf=dimV-dimImf=dimV-p

MATRICI DEL CAMBIAMENTO DI BASE

Siano V un k-s.v. A = [u1, . . . , un] e B = [v1, . . . , vn] basi di V. Siano:

ui = a1iv1 + a2iv2 + · · · + anivn = 1, . . . , n

∀i

vi = b1iu1 + b2iu2 + · · · + bniun = 1, . . . , n.

∀i

Le matrici

Ha per colonne le componenti di A rispetto a B

…

$$ $% $(

…

,ℬ %$ %% %(

= … … … …

…

($ (% ((

ℎ

…

$$ $% $(

…

,ℬ, %$ %% %(

= … … … …

…

($ (% ((

sono dette matrici del cambiamento di base o di passaggio, la prima da

ℬ, ℬ

MATRICI SIMILI

Due matrici A, B k n,n sono simili se esiste una matrice invertibile P k n,n tale che

∈ ∈

]$

=

Teorema

Due matrici A, B k n,n sono simili sono associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi

∈ ⇔

diverse

OPERAZIONI TRA APPLICAZIONI LINEARI E BASI ASSEGNATE

Siano V, W due k-s.v. e siano f : V → W e g : V → W due applicazioni lineari. La somma di f e g è

l’applicazione lineare f + g : V → W definita da (f + g)(v) = f (v) + g(v) V.

∀v ∈

Siano V, W due k-s.v., f : V → W un’applicazione lineare e a k. Il prodotto di af è l’applicazione

∈

lineare af : V → W definita da

(af )(v) = af (v) V.

∀v ∈

Siano V, W due k-s.v., A una base di V, B una base di W , f : V → W e g : V → W due

applicazioni lineari e a, b k. Allora:

∈

ℬ ℬ ℬ ℬ ℬ

+ = + = ()

Siano V, W ,U k-s.v. e f : V → W e g : W → U applicazioni lineari. Siano A una base di V , B una

base di W e C una base di U. Allora:

ℬ ℬ

∘ = () ⋅ ()

Siano V, W due k-s.v. e f : V → W un isomorfismo. Siano A e B due basi di v e W ,

rispettivamente. Allora: ℬ ]$ ℬ ]$

= ( ())

AUTOVALORI E AUTOVETTORI ∈ ∈

Sia f: V-> V un endomorfismo di k-s.v. V. un elemento si dice autovalore per f se esiste

, ≠ 0 = . ∈ , ≠ 0 ∈

, tale che Un vettore , si dice autovettore per f se esite

‰ ‰

ℎ = . .

In tal caso, v è detto autovettore associato all’autovalore di

≠ 0 =

Nella definizione di autovalore e di autovettore si chiede che .. Infatti l’uguaglianza

‰

= 0

per diventa:

‰ 0 = 0 = 0

‰ ‰ ‰ , ≠ 0

ma questa è una condizione sempre verificata ed indipendente da cioè se non dicessimo ,

‰

tutti gli elementi di k sarebbero autovalori.

Sia f: V-> V un endomorfismo di k-s.v. V. Allora:

⇔ ≠ 0 ⇔

0 è autovalore per non è un isomorfismo.

‰

Dim.

RICERCA DEGLI AUTOVALORI E POLINOMIO CARATTERISTICO

Sia f : V → V un endomorfismo di un k -s.v. V e sia λ k . L’applicazione f : V → V definita da:

∈

fλ(v) = f (v) − λv, V è un endomorfismo di V. Notiamo che fλ = f − λiV . Quindi, se A è una

∀v ∈

base di V, si ha:

( ) = − = − = −

¨

Teorema ∈

Sia f: V-> V un endomorfismo di k-s.v. V di dimensione n e sia una base di V. Allora è un

⇔ − = 0

autovalore per

POLINOMIO CARATTERISTICO

(,(

∈ e sia T un’ indeterminata. Si chiama polinomio caratteristico il determinante:

= | − | ∈ []

m

Se A è la matrice associata a f rispetto a una base di V, allora è anche detto polinomio

m

caratteristico di f e si indica con :

= −

Allora il precedente teorema fornisce un metodo di calcolo degli autovalori di un endomorfismo f.

Infatti, determinato il polinomio caratteristico P(T), le soluzioni dell’equazione P(T)=0 appartenenti

al campo k, sono gli autovalori d f.

INVARIANZA DEL POLINOMIO CARATTERISTICO ℬ

, ℬ − | = −

Sia f:V->V un endomorfismo e siano due basi di V. allora

Dimostrazione:

sia A e B due basi dello stesso spazio vettoriale V, P sia la matrice di passaggio da A a B (matrice

avente per colonne le componenti dei vettori di A rispetto alla base B). Le due matrici

ℬ

() sono simili poiché associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi distinte

allora si ha l ]$ m

=

l S

= − = | − |

adesso proviamo che l m

l ]$ m ]$ m ]$ ]$ m

| − = − = | − = − =

si ha: ]$ m ]$ m ]$

∙ − ∙ = | ∙ ∙ − = | ∙

m m m

| ∙ − = ∙ = |

AUTOSPAZI ∈

Sia f: V-> V un endomorfismo e sia un autovalore. Chiamiamo autospazio associato a

questo sottospazio di v

Vλ = {v V | f (v) = λv}. Dunque, Vλ = {autovettori associati a λ} {0V }.

∈ ∪

Determinazione degli autospazi

Si ha:

Vλ = ker fλ, dove fλ = f − λiV . Infatti:

v Vλ f (v) = λv f (v)−λv = 0V fλ(v) = 0V v ker fλ.

∈ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∈

Per il teorema della dimensione, dim Vλ = n − ρ(MA(fλ)) = n − ρ(MA(f ) − λI). Inoltre, se 0 è

autovalore, allora V0 = ker f .

TEOREMA INDIPENDENZA DEGLI AUTOVETTORI

Sia f : V → V un endomorfismo e siano λ1, . . . , λr autovalori distinti. Siano v1 Vλ1 ,. . . ,vr

∈ ∈

Vλr autovettori. Allora:

v1, . . . , vr sono linearmente indipendenti

Dimostrazione

Corollario

Se V è uno spazio di dimensione n, allora ogni endomorfismo di V ammette al più n autovalori.

DIMOSTRAZIONE

Se per assurdo ci fosse un endomorfismo f con m autovalori e con m>n, allora per il precedente

teorema si avrebbero in V m vettori linearmente indipendenti. Ma questo è assurdo in quanto il

numero di vettori linearmente indipendent