Geometria 1a (parte 2)

Il sistema lineare e i vettori

AD vavavispan 93allora diivivi generatorisonov3 39 è consEquivalentemente evettoreogni lin di v3V1 V21SEIal BEHY 4 TB incognitea Xptab I EB 8a IIb28 a1 aB4 8 MI abbiamoQEI CIB a ilrisoltosistema in tBaha soluzionisistemailvettore v4unaggiungendo andsianoche cindettoènonpercio vavi v3VERIFICO CHE VINZ v3 b Oa CIIBEalE 08d opo IFI 03i base disonoperciò il linearepoiché sistema è fissatisoluzionela bunicaè cperase ilb èprendiamo a sistemaoc omogeneoallora la soluzione è quella nullai vettoriPrendiamo 191,41to ainAigeneranola scrittura di di Avettorema ogni comeTub lin bdi 91,13 unaène 3191bE 9 13 0b3 ola fra vettoreilcorrispondenza coeffiebiunivocaènonPropSiano linearmenteivi indipendentivettoriNn Vvettorialein uno spazioallora luivettore Sponogni e modoscriveva si incomb linunico vettore nudoilcome non soloedi Vi NKla soluzione è unicain Ba 8Cantarini13110 V KProp Sia vettorialespazioun VlinearmenteVettorisiano

vi indipendenti diinAllora qui Modo unicove scrivesi inspan inlincombcome dì Vi InDim assurdoper supponiamo unicoche non siaSia Vit Bdi BankUt tVa conan 1KBi EBiaidkDobbiamo dimostrare Ikfiche Bi ediU VB BKV OTONKA T KA KKVi BKBi Uk OrPoiché lin indipendenti iovverosonovi nn coefficienti esseredevono19 Bi 0 nullituttiOBi BKdi AKla linearecomb è unica maViceversa tuCioè se e span modovia esiste unicovi unper scrivere lin diu combcome vi Nkè che linvero indipendentivi sonovia haIn particolare il nullovettore unicoou unscrittomodo essere a coefficienti nullidi tuttivettori lin indsonoviquindi i nnMEGLIOISCRITTA Unove VispanOOV OURviPer scriverealtri di aci modiipotesi sononon lincome comb di V1 VK.ggAbbiamo baseche unavistoB ddi èVvettoriale diVi unun un spdi vettoridi Ue diinsieme un insiemegeneratorelin indfre vedi ah1K UNICIdi EanPossiamo un'applicazionedefinire biunivoca1KVIB gi94 tana u rispettoChiameremo coordinate delle vettoregBbase

Scriveremo alla quando necessario e 1

Esempio: In abbiamo Q di base sempivisto 2C 111b ilB KILEY l Ib ta5re solo succede basela con canonicaceF5vaff al al1 b C 2a le ordinate sono II unichel'ordine è l'ordineimportante cambiandolecambiano coordinate del vettoreOSSSe V Clll 1kla base di è canonicaela IkfunzioneEc 1k è qui InMalipoichéIn xp di Una 1kbase VvedOSS èspun insieme unVdidiminimale generatori dalla basese elimino vettore iuncheovvero più vettori generanoche non restano linhoInfatti il che è eliminatovettore indipendentessialtri dunque può danondagli e essere dialtrici modisarannoe nongenerato generazi nedimassimale lininsieme indipendentivettoriundentro V sesignifica verche qualsiasi vettoreunaggiungoelementi B l'insiemeagli della base che ottengoda è linearmentepiù vettorinon costituitoindipendenti dellaiInfatti vettori basepoiché igeneranoloro linearecansèogni vettore vesottoinsiemeOSS di

lininsiemeunOgni di vettori è finda ind oppostoindipendenti costituito vettori ItCheESEMPIO abbiamof f Ybstabilire vettorise generatoi IRlin indsono in sononon unoco multiploconsidero dell'altroi sottoinsiemiDa finotoglieremo advettori otteneregeneratorileninainsiemeun controllarePer 3che combvettore siaun nonMin chedi nonbasta2 siavettori nondeimultiplo 2ESERCIZIODeterminare basese IKEdipossibile una 3dida polinomi 3Costituita gradoB 33 3X1Devo polinomiche questiche generanomostrare lin diptutti i di sonopolinomi deg e e3GeneranoDX HBalCX't de BLA XD SHIATSUAtHp SSx da esisto elkt.ciX 4 Bo SCx 381BX B 8da AXXa aB Dd a ba cBSed tay aBtoat lin intho dim sonoche egeneranodI B linvettori di dalsono and chemomentoil fattoconto appena che divettoremostra ogni lorocomemodoIRIX in unicoscrivesie lincombFissiamo la COSS base 2 3 scriviamo1 edi Bvettorii cordinate crispettoin a11111 I baseDimostrare 1kdiche sono unadiresignifica baselache di partenza generalin intsonoeDato S PA

PLXIKE dea 3E contienenonoS 1kgdiè sunon di IKEIKE Ssuma genera 3spans IKESpans E 3 pervale l'uguaglianzarealtàin B ottenereSi puòsicomeanche notarepuò lineare della base canonicacome ecoma1410 Miglio suVettorialesp VVi vettori diIn seSONO INDIPENDENTILINEARMENTE 1U anDtQ Oaula aOvsono C seD sonoDIPENDENTIlinearmente non Iesistono t.cinullituttielkai nonanVitA tarun oPer èdefinizione insiemeun c i èdi c 1insieme cIunsottoinsiemeOss ognia l'insiemeè se di quell'elementovettore 1cunOSSLEMMA 0V ndiVi vettoriUnè èVi unvi cc i1un eiun unspan Vi il'OssDIM un Ic per avi i fuMostriamo che unspanun iassurdo e Sponper supponiamo un unun iallora Un ElkconUna an_tVit Qi an IA UnV On TEE Ente BANALENON sarebbeèquesta cowblinma chedi viuna inDimostrare Sono cvi igunPer assurdo via tanti ocon tutti nullidi nonan banalecomb lin dise avrei nonunaoan sarebbe allorache assurdoc Dvi unse dividere perposso anan toLiv

ngeneratoV èpiùdi dicon nsottoinsieme vettori dgni cVesponese vi sono unviin generatori1kQuindi trovo al vettorimassimo 3 c iin hafinitacome dimensionedispazioconseguenza ognibaseuna fosseV1Se e con iwi manWm dellodovrebbero per scambioCi ilessere teoremaEvettori 1M assurdopalesementeu unDIMOSTRAZIONE DELLO SCAMBIOTEOREMASia B Aun insieme cva i Spaninvi Aubsottoinsiemi di t.cFdefiniamo ècardinalità idi cmeFè Plau B Aubsottoinsieme finitoè poichédi eB finitiA sonoeAUB Espanca AubI 171 2anche finitoèperciò poichéFD chePrendiamo abbia il die massimo numeroAelementi in D AMostriamo eD Aassurdo cheWi supponiamo Wmun perdi A