Funzioni di più variabili

Analisi II

Ferdi

March 15, 2025

Contents

1 Funzioni di più variabili 1

1.1 Problema della reappresentazione grafica di un campo vettoriale 1

n ≥

1.2 Curve in , m 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

R 1

1 Funzioni di più variabili

n n

⊆

Sia lo spazio vettoriale delle n-uple X = (x , . . . , x ). Sia A un

R R

1 n

n m

→

sottoinsieme di . Una funzione F : A è definita come segue:

R R

∀x ∈ A, F (x) = (F (x), . . . , F (x)),

1 m

→

dove F : A sono m funzioni (componenti di F ) per ogni j = 1, . . . , m.

R

j m

→ →

Definire F : A equivale a definire m funzioni F : A

R R

j

(j = 1, . . . , m).

Se:

ˆ m

→

m > 1, F : A si dice Funzione a Valori Vettoriali o Campo

R

Vettoriale

ˆ →

m = 1, F : A si dice Campo Scalare

R

1.1 Problema della reappresentazione grafica di un campo

vettoriale n m n m

⊆ → ×

Il grafico di F : A è un sottoinsieme di =⇒ potrà essere

R R R R

≤

disegnato solo se n + m 3

2

⊆ →

Es. F : A campo scalare

R R

z = f (x, y) x 2 z = f (x, y)

A x 1

P = (x , y , f (x , y ))

0 0 0 0 0

z

In dimensioni più alte ci si accontenta di disegnare separatamente il dominio

m

→

e l’immagine di F : A R

ˆ n

A=domf (il più grande sottoinsieme di su cui F è definita)

R

ˆ ∈

F (A) = ImF = f (x) : x A 2

2 2

⊆ →

Es. F : A R R x 2

1

0.5 A

x x 1

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

−1 y 2

1

0.5 B

f (x) y

1

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

−1

Insiemi di livello di campi scalari

n

⊆ → ∈

Sia f : A c

R R, R

Definiamo L’Insieme di Livello c −1

{x ∈

Σ = A : f (x) = c} = f ({c})

c

̸ ∅ ⇐⇒ ∈

Osservazioni Σ = c Imf Casi particolari:

c

ˆ → {(x, ∈ | →

se n = z Σ = y) A f (x, y) = c} Curva di Livello c

c

ˆ → {(x, ∈ | →

se n = 3 Σ = y, z) A A : f (x, y, z) = c} Superfici di

c

Livello c 3

Es. p 2 2

1. f (x, y) = x + y

Determinare le curve di livello di f

2

domf = Imf = [0, +∞)

R

ˆ ⇐⇒ ∅

se c < 0 Σ =

c

ˆ p 2 2 {(0,

⇐⇒ {(x, | x + y = 0} = 0)}

se c = 0 Σ = y)

c

ˆ p 2 2

2 2 {(x, |

⇐⇒ {(x, | x + y = c} = y) x + y =

se c > 0 Σ = y)

c

2 } →

c circonferenza di cnetro c = (0, 0) e raggio r = c

y

2

1 x

Σ C C

−2 −1 1 2

0 1 2

−1

−2

2. n = 3 Gm

f (x, y, z) = p 2 2 2

x + y + z

→ Potenziale Gravitazionale

3 \ {(0,

G > 0, m > 0 domf = 0, 0)} Imf = (0, +∞)

R

ˆ ≤ ∅

se c 0, Σ =

c

ˆ Gm

√

⇐⇒

se c > 0, f (x, y, z) = c = c

2 2 2

x +y +z

Gm

2 2 2 2

x + y + z = ( )

c Gm

Σ : sfera di centro l’origine e raggio r =

c c

→

Σ superfici equipotenziali

c 4

n

3. Norma in R

n

∈

x , x = (x , . . . , x )

R 1 n

p 21 2

||x|| · · · →

= x + + x Norma di x

n

n

|| · || →

Proprietà : [0, +∞):

R →

−

n

||x|| ≥ ∀x ∈ ||x|| ⇐⇒

(a) 0, e = 0 x = (0, 0, . . . , 0), x =0

R n

||λx|| |λ| · ||x||, ∀λ ∈

(b) = R n

||x+y|| ≤ ||x||+||y||, ∀x, ∈ →

(c) y Disuguaglianza Triangolare

R n

||x − ∀x, ∈ || · ||

Distanza Euclidea: d(x, y) = y||, y dalle proprietà di

R

seguono le seguenti proprietà della distanza euclidea:

n

≥ ∀x, ∈ ⇐⇒

(a) d(x, y) 0, y e d(x, y) = 0 x = y

R

∀x,

(b) d(x, y) = d(y, x, y) n

≤ ∀x, ∈

(c) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), y, z R

n ≥

1.2 Curve in , m 1

R

I: qualunque intervallo di aperto, semiaperto, chiuso, limitato, illimitato,

R:

etc.

ˆ m

→

Una funzione γ : I si dice Curva se è continua sull’intervallo I

R →, ∀j

γ(t) = (γ (t), . . . , γ (t)), γ : I = 1, . . . , m

1 m

ˆ ⇐⇒ ∀j

γ è continua si I γ è continua su I, = 1, . . . , m

j  y = γ (t)

1 1



 ..

 .



 y = γ (t)

 m m

ˆ γ(I) = Imγ è detta Sostegno di γ m

⊆ →

Se consideriamo [a, b] I e γ : I R

ˆ m

→

si dice Arco di Curva la restrizione di γ : γ : [a, b] R

|[a,b]

ˆ si dicono Estrami dell’Arco di Curva γ: i punti P = γ(a) e P = γ(b)

0 1

Es. m=2 5

2 y P = γ(b)

0

1

Sostegno γ(I) x

−2 −1 1 2

−1

P = γ(a)

0 −2

ˆ Un arco di curva si dice Chiuso se γ(a) = γ(b)

Es. m = 2

γ(a) = γ(b) 1

0.5 γ(t ) = γ(t )

1 2

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

−1 6