Formule e teoremi di Meccanica razionale

Meccanica Razionale - Termini e Formule

Cap. I: Vettori Liberi

_{(al contrario di Hilary Prampolini... e compiti)}

Si chiamano equivalenti due segmenti orientati ae be ce si dicono coordinazioni(a_be) e appartenendo a retti paralleli, hanno versoconcordati e la stessa ordinata. p. 8

Il calcolatore o vettore prodotto: Presa una retta r e un vettore u_r, sia ae unodei suoi vettori orientati che rappresentanotutta eterogena. Diamo ced la proiezione ortogonaledi a_bed rispettivamente sulla retta r. Abbiamo u_p "eè detto il condividendo di u_r, sulla retta r.

• La componente e proiezione: assegnata una retta orientata r e un vettore u_r, sianoa_be il vettore in r e bc ao un segmento orientato cheindividuano il vettore u^*, e si indicano con ced le proiezioniortogonali di a_be b^' c_r^b rispettivamente sulla retta r.

Ur = Ȁm[Cd]uscendo (+) se Ce ae urb sono concorde.

• Perturbazione e Scambio: assegnata una terma di vettori [a b c], è possibilemodificare le loro ordini in due modi:
• Con Permutazione si intende uno scambio deivettori a, b, c dentro una terza macchina,lasciando invariato l'ordine alla prima:o [a, b, c] -> [b, c, a]
• Con Scambio si intende lo scambio tra di discolositra vettori:[a, b, c] [acb], H [c, a, b]
• Δ^p una permutazione con modifichi per l'opposizione dicella terma! (lo sagrao?)

Detto Prodotto Vettoriale: assegnati tre vettori a, b, c: (a X b X)^cè un dato prodotto vettoriale che si calcoli:

• o facendo a X b = ri (xy)
• o secolo un formula (xy)_xfc(zoe) - (b,i, a)l
• il danno e nb X c x su un sesuso!
• Il detto prodotto lett. non rende nulla! prop. assicuriava!

Prodotto misto

Stano assegnati tre vettori a, b e c, si definisce prodotto misto lo scalare:

(si calcola prima il prodotto vettoriale!)

• Il prodotto misto di tre vettori è nullo se e solo se i tre vettori sono complanari.
• A mezzo del segno il prodotto misto di tre vettori con complanari coincide col volume del parallelepipedo costruito coi tre vettori.
• Il segno è positivo se i tre vettori costituiscono una terna levogira, negativo se una terna destrogira.

Il prodotto misto si può calcolare con la matrice:

^{a_x a_y a_z}

^{b_x b_y b_z} = (a_xb_z - a_zb_y)c_x - (a_xb_z - a_zb_x)c_y

^{c_x c_y c_z} + (a_xb_y - a_yb_x)c_z

* id potra in determinante se si pota (C_x C_y C_z) in prima piano!

Equazione Piano

Assegnato una terna cartesiana Oxyz, si consideriamo un vettore

N = (a, b, c); l’equazione del piano π (x, y, z), se P: (X, Y, Z), è un generico punto dello spazio e il piano passa per SR è ortogonale a N ha la seguente equazione vettoriale:

P * N = 0

Dalla quale segue, posto d = OP, N = d essendo P₀, x, y,

P * N = OP * N, => ax + by + cz + d (Eq. Piano)

Distanza Punto-Piano

Si considerà un piano π e un punto P dello spazio.

Detto da Q il punto che si ottene proiettando ortogonalmente P sul piano π la distanza Û del punto P dal piano è data dalla grandezza del vettore PQ = PQ, è questa:

OP * N = OP₁ N

δ = | 1/M₂ |

Cap. 3: Richiami di cinematica dell'elemento

• Traiettoria: l'insieme dei punti dello spazio descritti dall'elemento nell'intervallo I è detto traiettoria dell'elemento.

  Si assume che la traiettoria sia sufficientemente regolare in modo tale da potere introdurre un sistema di ascisse curvilinee S.

  In un certo sistema di riferimenti O, P e una funzione s(t) da I verso R definisce la legge di moto dell'elemento.

• Legge oraria: la s = s(t) è detta legge oraria o legge oraria del moto di P.

• Velocità e accelerazione scalari: la derivata prima e di secondo rispetto al tempo della funzione s(t) sono chiamate rispettivamente velocità e accelerazione scalare dell'elemento.

  • Velocità = ṡ(t)
  • Accelerazione = ṡ̇(t)

• Modo uniforme e accelerato: se in un dato intervallo di tempo la velocità scalare è costante si dice che l'elemento è in una fase di moto uniforme.

  Se in un dato intervallo di tempo il valore assunto (da |v|) può variare monotamente e vi si riconosce il modo accelerato.

  Nel caso il moto è rariparante.

  Se in un dato intervallo di tempo l'accelerazione scalare ꞏ_x è costante si dice che l'elemento è in una fase di moto uniformemente vario.

• Velocità e accelerazione vettoriali: le funzioni vettoriali:

  • \(\vec{r}(t) = \frac{d\vec{\varphi}}{dt} (t)\) [velocità vettoriale]
  • \(\vec{a}(t) = \dot{\vec{\phi}}(t) = \frac{d^2\vec{\varphi}}{dt^2} (t) = \frac{d\dot{\vec{\varphi}}}{dt} (t)\) [accelerazione vettoriale]

• Equazione polare della traiettoria: prese le equazioni polari del moto (sferarie):

  • ρ = ρ(t)
  • ϕ = ϕ(t)

  Quando è possibile eliminare il tempo si ottiene l'equazione: ρ = ρ(ϕ) che è detta equazione polare della traiettoria.

  • \(\dot{\rho} \dot{\varphi} + \rho \ddot{\varphi} = \ddot{\rho} \dot{\varphi}\)

Sistema Rigido

Se il sistema S è rigido, per ogni coppia di punti A, B ε S è:

∀_A,B/' cost.

Se omega sistema S è rigido, se e solo se: ∀V_AB ⊥ VE_I

Equiproiettività

Durante il moto rigido, associato una coppia di punti ε A, B del corpo rigido, in ogni istante le proiezioni delle loro velocità

lungo la retta r passante per i due punti coincidono!

In particolare traduce il fatto che durante il moto i due vettori di velocità hanno uguale velocità. Ciò implica che lungo la congiungente le loro due velocità devon coincidere!

Osservazione: associati due punti A-B di un corpo rigido, in un cerchio

istantanea di velocità in A è nulla quando, per

l'equigidrettivity una essere nulla anche la componente

proiettata sulla stessa retta passata per A-B, ciò significa che la velocità di B deve essere o seroraione ad AB.

Formula Fondamentale

Associata una qualunque coppia di punti del corpo rigido (ρ, q ε S)

il vettore ρ, ρ è completamente solidale al corpo fisso.

Questa equazione è detta formula fondamentale della cinematica rigida e il vettore ω è detto vettore angolare.

Formula delle Accelerazioni

Si ottiene derivando rispetto al tempo il primo e il

secondo membro dell'equazione precedente, ottenendo:

Formula di Poisson

Osservazione: se in moto del corpo rigido è traslatorio i versori possono costituzione un quartimento taglio congiunzione quindi di

corpo rigido e indeanle sono caricatore le loro velocità

Perciò, in modo rigido & traslatorio se e solo se

in ogni istante la velocità angolare è nulla.

Velocità Angolare con Moto Rotatorio

Si è in un moto rotatorio, introducise , e la terna cartesiana fisso Oxyz

corpo rigido ⊥ tutti i tre assi

costruisci dalle rotazione per se

Solido, di omega concorrenza muovi til.

Scelcendo si stasi e il k w p in motoria istante punto.