Formule e teoremi di Meccanica razionale

Meccanica Razionale - Termini e Formule

Cap. 1: Vettori Liberi

... e compagni

- Se giacciono e giacciono

- Il componente o vettore proiezione: Presa una retta r ed un vettore ū, se AB...

- La componente o proiezione: Assegnata una retta orientata r ed un vettore ū...

- Permutazione e scambio: Assegnato un terna di vettori {

• {
• {

- Doppio prodotto vettoriale:

Assegnati tre vettori e ť (( )x)) è

Meccanica Razionale - Teoremi e Formule

Cap. 1: Vettori Liberi

Se G (G is congiuntio di niko polietto)...e contraro

Due segementi orientati AB e A’B’ si dicono equivalenti (AB ≡ A’B’) se appartengono a rette parallele, hanno versi concordi e la stessa ordinata.

Il componente o vettore proiezione: Presa una retta r e un vettore u, su AB uno

degli due segmenti orientati che rappresentano tale vettore, siano C e D la proiezione ortogonale di A e B rispettivamente sulla retta r.

Si dice il componente di u sulla retta r:

LA componente o proiezione: Assegnata una retta orientata r con un vettore u, siano V il vettore di u e AB i segmenti corrispondono a u, si vedrà a cercar segni CB e proiezioni ortogionali di AE e B e risciptivamente sulla retta r:

Si indice col il simolo Ur la componente di u:

Ur = ± ||C_bB||

usando (+) se CB e u sono concordi.

Permutazioni e scambio: assegnato un tema di vettori {a, b, c} è possibile modificarle le loro ordinate in due modi:

• a. Con permutarle si intende lo spostamento del vettore pi i tre classe. Una retto vettore porta, lascando invario l'ordinate peria retto due
• b. Con scambio è intende lo scambio tra di pressoché tra vettori:

Se una permutazione non modifical l'orientazmata dela tema! (lo stabilia a).

Doppio prodotto vettoriale: assegnato tra vettori a, b, c (a x b) x c è un doppio prodotto vettoriale che si calcola:

• o facendo a x b e poi (a x b) x c
• o sequendo la formula:

(a x b) x c = (a • c)b - (b • c)a

Se seguità: a x b x c non ha senso.

Se il doppio prodotto lett. non obai non prop. associativa!

- Prodotto Misto: assegnati tre vettori ₁,₂,₃, a se il loro prodotto misto lo denomini:

ax b cx (si calcola prima il prodotto vettoriale!)

Se il prodotto misto di tre vettori è nullo se e solo se i tre vettori sono complanari. Per mezzo del segno, il prodotto misto di tre vettori non complanari coincide col volume del parallelepipedo costruito coi i tre vettori. Il segno è positivo se i tre vettori costituiscono una terna levogira, negativo se una terna di destrogira.

Il prodotto misto si può calcolare con la matrice:

| ax ay az | | bx by bz | (axbz-azby).cx-(axbz-azbx).cx | cx cy cz | + (ax by - ay bx).cz

* In pratica il determinante si si porta | (cx cy cz) | in prima riga!

- Equazione piano: assegnata un terna cartesiana Oxyz, e consideriamo un vettore normale N = (a, b, c), P assegnata (x₁, y₁, z₁).un punto P: (X, Y, Z) è sul recero piano se e solo se Piano va passante a per SE e appartenente a N ha la seguente equazione vettoriale:

_oq. _n = 0

Dunque ogni vettore ponto d = |_os. _n |. _OQ - _OS + a x + b y + c z + d

- Distanza punto-piano:

Si considera un piano P ed un punto B dello spazio.detto C il punto che si ottene proiettando ortogonalmente P sul piano a, la distanza δ del punto P dal piano II è data dallo ordinanza un vettore N è ratio abc = 5 | unità |

Se A al che un punto mettano ₁ e su sono: si visti due vettori abbiamo costituiscono la nostra pur recaloriano un piano T, e chiunbi è _due un tre vettori locari nel piano. Fissato un qualunque vettore A a del stato si ottenia che O(Q

e compenso al rapporto di dello piano di bisogna data delta conosci motivazione vanno è: in distanza δ la convenienza della proiezione di θ(P) s(-1).

δ = | _u. _n |

Distanza Punto-Retta

Si consideri una retta r e un punto P dello spazio. Detto Q il punto che si ottiene proiettando ortogonalmente P sulla retta r, la distanza d₂ punto P della retta r è dato dalla grandezza del vettore QP, cioè:

d = ||QP||

Se u ed v sono due vettori della retta r e t un loro risultante della retta r, se φ l’angolo che v fo