Meccanica razionale: teoria + formule

Statica

• Punto materiale
  • Libero
  • Vincolato
    • Forze reattive
• Corpo rigido
  • Momento
    • M = f_(0,1) x f
    • M_e = M₀ + Q
  • Teorema fondamentale
• Tipi di sistemi
  • S. forza
  • S. coppia
  • S. statico nullo

Sistemi equivalenti

(R'₁, R'₂) = (R₁, R₂)

momento assiale invariato

Forze distribuite

Massa per area applicazione

Diagrammi

Forza e corpi:

• F₁ x (0)
• F₂ x (1)

1. Equilibrio
2. Statics equivalenza

​

(1) I_c = I_p

tot

I_c = 0 → 0 = 0

I = I_c + η = 0

0 c

0 → 0 h₀ + η = 0

0 + η₀ → 0 + η + 0 → η = 0

→

0

(R A M O) h₀ = R_l(n(1 + 0R) + R)²h₀ = 0 = (R A M O)_l R_β

η₀ = Ρ Ρ (0)

(h₀) η

→ 0 =

[^Rr^IC_ln(0 ; 0)] = R^l R_n0r

(0 - σ) = ^{R l n₀}/_R² + Ι_R

→

Filo vincolato ad una superficie liscia

N versore normale alla superficie

T versore tangente alla superficie

Se linea liscia Φ diretto come N

dI/ds + F + Φ = 0

dI/ds = -FA

dpΛ = 0

I(s) = FA I(e) = FB

Φ = ΦN

dT/ds + Ft + Φ = 0

T/r + Fn + Φn = 0

F0 + Φb = 0

HP: F = 0

Φ(Nxb) = 0

Φ(Nxn) + Ir = 0

Φ = 0 no superficie

N x b ≠ 0

N ⊥ b

b ⊥ n

N || n

⇒ proprietà delle geodetiche

CINEMATICA I

• UNITAI' DI MISURA
  • UNIFORME
  • ACCELERATO
    • RETTILINEO
    • CIRCOLARE
• PUNTO NELLO SPAZIO
  • VELOCITA'
  • ACCELERAZIONE
• PUNTO NEL PIANO
• ACCELERAZIONE
• VELOCITA'
  • CIRCONFERENZA
• VELOCITA'
  • PUNTO NEL PIANO
• RIIGIDO
  • TEOREMA
    • DEL CENTRO
    • DEL PERNO
• APPLICAZIONI
  • TRANSITORIO
  • ROTORIO
    • Asse x
  • ROTO-TRANSITORIO
    • Asse y

MOMENTO D'INERZIA RISPETTO AD ASSI CONCORRENTI

u = αl + βj + γk

(α, β, γ) SENI, DIRETTORI

I_c = ∫k[(ρ-ρ_o) ∙ u]² dγ

ρ: ρ_ou α β

x y z i (γy - βz) j (αz - γx) k _{(βx - αy)}

I_α = ...... α²a + β²β + x^c(2βγŶ + 2αz²Ξ + 2αβŶ)

• a = ∫k(γz² + x²)dγ
• β = ∫kx(x² + z²)dγ
• e = ∫k(x² + z²)dγ

Υ =-∫kyz dγ

Ξ =-∫kxzdγ

Z =∫kxy dγ

PRODOTTI D'INERZIA

sia σ = d : I_α = 1_d²

Ω = α(ρ_x, γ)_z

☐ x = αd

☐ y = βd

☐ z = ód

☐ 1 = x²a + y²β_ξ²² + z²ξ + έγέΥ + 2xxΖέ + 2xy

TALE EQ. E' UNA QUADRICA ELISSOIDE D'INERZIA

BEFFERENDO UNA ROTONASA TALE PER CUI GLI EASSI, x, Y, Z COINCIDANO CON IL NUOVO SDR

☐ 1 = AX^Z + Bγ + C²

☐ A, B, C MOMENTI PRINCIPALI D'INERZIA

|aβZΞ|

|βeOe| MATRICE D'INERZIA |

|έOe_EL|

[A B C]

Pto vincolato ad una linea

• Piano

mq = F + Φ

a = ∫₀^s s/r

Se liscio ∅

a = F_att di attr. dinamico

F < μ

mv̇ = Ft ± √(s²/r²(m - Fn)² + Fb²)

⇒

φ_n = s²/r m - Fn

∅_bz = -Fb

∅ = ± √φ_n² + φ_b²

Punto vincolato alla superficie

Soluzione 1 (Liscia)

Φ = λ ∇Φ, λ = cost

mẍ = F_x + λ ∂Φ/∂x

mvẏ =

mv̈z =

Φ_x,y,z = 0

Soluzione 2 (Coordinate gaussiane)

Ṗ = ∂p/∂ζ ẋ + ∂p/∂η ẏ̇

⇒

mΩ_x ∂p/∂ζ = F ∂Φ/∂ζ

mΩ_x ∂p/∂η = F ∂Φ/∂η

Soluzione 3 (Terra intrinseca)

⇒ Traiettoria è una geodetica m/∫/N

• mẍ = F_x
• ṡ = cost
• mẍ = F_x Φ_z Φ_n ℵ
• ṡ̇ = 0
• Φ_z = 0

N × b = m/∫/η

CA - TO = 0

CA + GB = FP

QUINDI INIZIALE

A (c) - (b) = 0

BF = (b - a) PF = 0

CA (B - A) PE = 0

PZ - T + 2... BF = (c - b) PF

9T - 2... TA (c - a) PF

3J = 2... PF

CON AZI (B - A)

COS (B - A)...

CON ISTI

TP = 1/2 ...9/16...116

PARALLELISTO

HELI ALV =.JY + (9/cos)

GRASSOCURO

A = B + C

• A = C
• B = B + C

CASO PARTICOLARE

EQM (IND

END HORIZ

CONOS...PSF

A = 0

• B = B
• B₀ = 0

R...ISTA

AP-BC...AP + PMX

ASD...SCALO

A=BC...COSTELLO

AES=SC

SOLUBILE

PROBLEMA

1. BI (AGL)

CORPO RIGIDO CON

ASSE FISSO

• 1. TOF KM + 0.9
• ...VIDEO FATTO...09...TOF 6...OK
• VT

69 STABILE

Q 5²

CASO PARTICOLARE: A = B ≠ C

(CORPO A STR. GIROSCOPICA)

Aq² + (C-B) qr = 0

Bp + (A-C) pr = 0

Cr = 0

r = cost.

p²(Aq² + Bq² + Cq²) = (p²(p²y²) + (p²z²)) = q²c²

φ² + φ² = cost. → w² = cost.

V = cost.

COSA VEDE UN OSSERVATORE ASSOLUTO? (LUOGO DEGLI ASSI DI ISTANTANEA ROTAZIONE)

- CONO ROTONDO VERTICE O E SEMIAPERTURA α (CONO FISSO)

COSA VEDE UN OSSERVATORE SOLIDALE CON IL CORPO? (LUOGO ASSI DI ISTR. ROT.)

- CONO ROTONDO VERTICE O E SEMIAPERTURA β (CONO MOBILE)

(CONDI DI POINSOT)

DURANTE IL MOTO IL CONO MOBILE RSS SUL CONO FISSO CON VEL. ANG. COST. IN MODULO

(CF BASE-ROULETTA)

DIM.

I PTI DEL CONO MOBILE CHE SI TROVANO SULL'ASSE DI IST. ROT, HANNO VEL NULLA

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