Formulario Teoria dei segnali

PRODOTTO:

• ⊗

() () ↔ ()()

CONVOLUZIONE:

• ⊗

TRASFORMATE DA RICORDARE

1

( ) ↔ () () ↔ ( )

- ,

1

−1/2 −2

( ) ↔ () ∙

- 2

() ↔ 1

- 1

1 −2

( − ) ↔

- 2

2 1 1

() ↔ ( + ())

- 2 2 1

−

() = () ↔ () =

- 1+2

2 ()

() ↔ () ( ) ( )

GRAFICO: ⊗

3 ()

() = ↔ () = () () ()

CASO PARTICOLARE: ⊗ ⊗

()|

Per calcolare calcolo l’area tratteggiata:

=0 +∞

() () = ()( − )

PRODOTTO DI CONVOLUZIONE CONTINUO: ∫

⊗ −∞

+∞

∑

() () = [][ − ]

PRODOTTO DI CONVOLUZIONE DISCRETO: ⊗ =−∞

DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI (Slide 4)

- Trova la frequenza di campionamento minima

<

1

2 1

: =

{

( )

−

2 1

( + 1) >

2

2

=Rapporto segnale-rumore in ingresso

=Rapporto segnale-rumore in uscita

∆ = degradazione introdotta

1 1 1

= +

≥ − ∆

• ( ) = 6,02 ∙ − 7,27

• ( ) = 6,02 ∙ + 4,77 +

Sinusoidi:

1

o = 10 ( )

Se ho la :

10

o = 10 ()

Se ho le ampiezze delle sinusoidi: 10

:

Per trovare

-->trovo la somma delle ampiezze (*) ()

, , … ,

-->moltiplico ogni ampiezza per la somma (*) trovata--> trovo 1 2

1 2 2 2

[( ]

= ) + ( ) + ⋯ + ( )

--> 1 2

2

• ( ) = 6,02 ∙ + 1,76

1 sinusoide:

• ( ) = 6,02 ∙ − 1,25

2 sinusoidi: 1

=

GUADAGNO per evitare OVERFLOW:

2

∙ 1 1

= → = +

2 2

+

=

1 2 2 2

[( ]

= ) + ( ) + ⋯ + ( ) =

1 2

2 −2

2

=

3 +∞ 2

= () ∙ |()|

POTENZA processo in uscita: ∫

−∞

()

DENSITA’ SPETTRALE in ingresso:

SEGNALI ALEATORI ()

= { ()}

DENSITA’ SPETTRALE di potenza in ingresso:

−1 {

() ()}

=

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE: 2

()

= ()|()|

DENSITA’ SPETTRALE di potenza in uscita:

FILTRI (Slide 5) 2 1 1

= ∙ ( )

LUNGHEZZA del filtro FIR: 10

3 ∆ 10

1 2

∆

∆ = , ∆ =distanza tra le bande

min {∆ ;∆ }

1 2

∆ ∆ ∆ =

Se ci sono due bande, abbiamo e :

1 2

1

∠

() ( )

= −

Ritardo di fase del filtro: 2

OVERLAPP & ADD

N= numero di campioni= lunghezza del filtro

C=m(L)= minimo di moltiplicazioni se si utilizza Overlapp & Add

4(log + 1)

2

= () = −+1

2 > )

-->Sostituire per tentativi a potenze del 2 (partendo dalla potenza del 2 tale che nell’equazione di

-->all’aumentare di inizialmente i valori di C diminuiscono, arrivando a un valore minimo,

per poi aumentare nuovamente (vedi figura)

̃

-->il valore da prendere di è quello tale per cui C è minimo

OVERLAPP & SAVE

=tempo di esecuzione di una moltiplicazione reale

Bilanciamento tra tempo di calcolo e tempo disponibile:

∙ 4(log + 1)

2

(

∙ 4(log + 1) < ∙ − + 1) →>

2 −+1

1 −+1

= <

Max frequenza di campionamento: ∙4(log +1)

2

TRASFORMATA Z (Slide 5) +∞ −

∑

() = []

Trasformata di una sequenza x[n]: =−∞

() ↔ 1

-

[] ↔

- −1

[] ↔

- −

∙ [] ↔

- 2

(−) ()

∙ [] ↔ −

- MOLTIPLICAZIONE PER UNA RAMPA:

−1

−1

[ − 1] ↔

- −1

1−

−

[ − ] ↔ ()

- −1

ℎ[] = [ − 1] −1

[

ℎ[] = ℎ − 1] ↔ () = ()

posso vederlo come 1 1

SISTEMI LTI (slide 5)

H(z)= funzione di trasferimento, h[n]= risposta impulsiva

y[n]= equazione alle differenze finite

- STABILITA’: stabile quando la regione di convergenza di H(z) include la circonferenza unitaria

+∞

∑ |ℎ[]| < ∞

Sistema stabile perché =−∞

SE IL SISTEMA HA UN POLO SUL CERCHIO UNITARIO NON E’ STABILE 1

() =

(né se implementato causalmente, né se implementato anticausalmente) Es: (−1)(−0,5)

], [ − 1], [ − 2] …)

- CAUSALITA’: L’uscita al tempo n dipende solo dagli ingressi passati e presenti ([ 0 0 0

ℎ[] = 0 < 0

Sistema causale perché

ℎ[] ≠ 0 < 0)

(non causale perché

→SERIE () = () ∙ ()

(CASCATA):

→PARALLELO: () = () + ()

- Determina la risposta impulsiva (caso particolare) []

() () []

-->Se H(z) è costituita da causale e non causale, le risposte impulsive e si trovano

1 2 1 2

separatamente. −1

() []:

-->Se è causale la devo scrivere nella forma con prima di passare a calcolare

1 1

1

()

= (per esempio)

1 −1

1−0,2

()

() : =

Se invece ho anticausale, devo scriverla nella forma con (per esempio)

2 2 −0,2

-->passaggio da Y(z) a y[n]:

∙ () ↔ ∙ []

- () ↔ [ + 1]

- −1

() ↔ [ − 1]

-

()

↔ ∙ []

- 2

(−)

(−1)

−

↔ ( ) [] ( ) =

-

+1

(−)

1 2 3

() = = + +

CASO PARTICOLARE (POLO DOPPIO): 2 2

(−)(−) − − (−)

()

= lim ∙ ( − ),

1

→ () ()

2 2

= lim ( ∙ ( − ) ), = lim ∙ ( − )

2 3

→ →

[] = cos(2 )

- Trova uscita y[n] dato l’ingresso 0

∠

[] = |( )| ∙ cos (2 + ( ))

0 0 0

2

)

( = () = 0

0 [] = []

- Trova uscita y[n] dato l’ingresso

[] = [] ↔ () = −1

() () = () ∙ ()

-->Trovo con la moltiplicazione:

() []

-->dall’eq di trovo

ℎ[] = −(−3) [− − 1] + 0,4 []

- Dimostra che il sistema è stabile, dato +∞

+∞ −1

∑ ∑ ∑

|ℎ[]| < ∞ → 3 + 0,4 < ∞ < ∞)

(le due sommatorie sono convergenti quindi sono

=−∞ =−∞ =0

TRASFORMATA DISSCRETA DI FOURIER (Slide 6)

- date le sequenze x[n] e h[n] trova la CONVOLUZIONE CIRCOLARE con periodicità N

−1

[]

= [] ℎ[] = ∑ [] ∙ ℎ[ − ]

⊗

=0

- valuta in quali punti la convoluzione circolare coincide con la convoluzione lineare (aperiodica)

−1

[]

= ∑ [] ∙ [ − ]

=0 []

si trova nello stesso modo di solo che i grafici delle due sequenze x[n] e h[n] non sono periodici

- calcola la DFT a N campioni della sequenza x[n]

−1

−2

[] = ∑ [] = 0,1, … , − 1

=0

- data la DFT calcola la x[n]

1 2

−1 →IDFT

∑

[] = []

=0

DFT IMPORTANTI:

• [] = [] ↔ () = 1 2

− ∙

• [] = [ − ] ↔ () =

2 ∙ =

−

• −1

∑

[] = ↔ () = ∙ ={

=0 0

1−

•

[] = ↔ () = 2

−

1−∙

PROPRIETA’ SOMMATORIE