Formulario - Fondamenti di Telecomunicazioni

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A cura di Matteo Gineprini 2019

s(t) = s(−t) ∼ p a r i s(t) = − s(−t) ∼ d i s p a r i

! ! T/2

+∞ k 0 k

1

∫ ∫ ∫ ∫

∫ 2

2 P = li m s(t) d t

E = s(t) d t x dx = − xdx + xdx

! ! !

s s T

T→+∞ −T/2

−∞ −k −k 0

s(−t) = S(−f ) s*(t) = S*( f ) = S(−f ) s(t) ∼ S( f )

! ! ! reale e pari ! ! reale e pari

( ) ( )

1 f f

±

± ±

j2π f t ∓j2πt f

s(t t ) ≷ S( f )e S( f f ) ≷ s(t)e s(α t) ≷ S S ≷ α s(α t)

0 0

! ! ! !

0 0 α α α

t S( f )

d ∫ ± ±

s(τ)d τ ≷

s(t) ≷ S( f )j 2π f s(t) ⊗ δ(t) = s(t) s(t) ⊗ δ(t k) = s(t k)

! ! ! !

j 2π f

dt −∞

+∞ +∞

∫ ∫

h(t) = s(t) ⊗ g(t) = s(τ)g(t − τ)d τ ≅ g(τ)s(t − τ)d τ

! (valida anche in frequenza)

−∞ −∞

h(t) = s(t) ⊗ g(t) ≷ H( f ) = S( f )G ( f ) h(t) = s(t)g(t) ≷ H( f ) = S( f ) ⊗ G ( f )

! !

( ) ( ) ( )

+∞ +∞ n f k T

t − nkT n( p er i o d o = k T ) 1 n

d

∑ ∑

s(t) = s ∼ → S( f ) = S δ f −

! kT k T = d ur a t a kT kT kT

d

n n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 1 1 { }

cos (x) = + cos(2x) si n(x)si n(y) = cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)

2

! !

2 2 2 k 2π

1 1 ∫

2

± si n (x) = − cos(2x) cos(x), si n(x)d x = 0

cos(x)cos(y) si n(x)si n(y) = cos(x ∓ y)

! ! !

2 2 0

± ±

jx −j8πt

e = cos(x) jsi n(x) → e = cos(8π t) − jsi n(8π t) = 1 − 0 = 1

! ! ! (trascuro l’esp.)

( ) ( )

+jx −jx +jx −jx π π

e + e e − e

cos(x) = si n(x) = si n(x) = cos − x cos(x) = si n − x

! ! ! !

2 2j 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

x + y x − y x + y x − y

cos(x) + cos(y) = 2cos cos si n(x) + si n(y) = 2si n cos

! !

2 2 2 2

( ) ( )

x + y x − y cos(−x) = − cos(x)

cos(x) − cos(y) = − 2si n si n

! ! (anche per sin)

2 2

2π n t T 2π n t

∫ 2α

x −x −α t

cos( )d t = si n( ) e e = 1 e → → α

! ! ! alto stringe grafico

T 2π n T 2 2 2

α + 4π f

———————————————————————————————————————————————

+∞ T/2

1

j2π nt j2π nt

∫ −

∑ C = s(t)e

s(t) = C e T T

! ! (dominio riferito segnale troncato, su origine)

n

n T −T/2

n=−∞

T/2

1 ∫ 2

P = s(t) d t E = + ∞

! (sempre finita) ! (sempre) [T da 0 a centro ripetizione spettro]

s s

T −T/2

———————————————————————————————————————————————

+∞ +∞

∫ ∫ 2

2

E = s(t) d t = S( f ) d f

! (Parseval; trasformo s(t) poi elevo caratteristica)

s −∞ −∞

+∞

∫ E = (M < + ∞) → P = 0

s(t)d t = S( f = 0)

! (Elevo s(t), trasformo e pongo f=0) ! s s

−∞ +∞ +∞

∫ ∫

E = s(t)g*(t)d t = S( f )G*( f )d f G*

! (Parseval Gen; ! se esponen. ne cambia segno)

s −∞ −∞

———————————————————————————————————————————————

+∞ t

∫ ∫

h(t) = y (δ ) = x (τ) = δ(τ) → δ(τ) = u(t)

y (t) = h(t) ⊗ s(t) → Y ( f ) = H( f )S( f )

! ! −∞ −∞

k

( ) t −

t

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) 2

(t)

u t + k − u t − k = r ec t u − u t − k = r ec t

! ! k

2k

h (t) = h (t) ⊗ h (t) → H ( f ) = H ( f )H ( f ) h (t) = h (t) + h (t) → H ( f ) = H ( f ) + H ( f )

! !

serie 1 2 serie 1 2 // 1 2 // 1 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

[ ] [ ] [ ]

T a x + b x = aT x + bT x = a y + b y

LIN: ! 1 2 1 2 1 2

[ ]

T x (t − t ) = y (t − t ) x (z)d z τ − t = z

TI: ! (cambio intervallo integrazione: ! con ! )

0 0 0

[ ]

T x (t = t ) = y (t ) t

CAUS: ! (estremo sup. integrale dipende solo da ! =causale)