Formulario - Fondamenti di Telecomunicazioni

T T

n=−∞ n=−∞

S( f ) f S( f )

B

=Banda Monolatera ! ! =Frequenza Campionamento=Centro Ripetizione Spettro !

c

[ ] [ ] [ ]

f f f

r ec t r ec t 1 − r ec t

Passa Basso: ! Passa Banda: ! Trapezoidale: !

2f 2f 2k

0 0 f

N

bit−tot

T =

N = f t N = N N

! ! ! trasm

c c sec bit−tot c bit−c v

bit/sec

s(t) = x (t)g(t) → S( f ) = X( f ) ⊗ G ( f )

! (eseguo convoluzione, seleziono estremi definenti banda)

———————————————————————————————————————————————

+∞ +∞ x − a 1

∫ ∫ [ ]

[ ]

2 2

E [x] = x f (x)d x E x = x f (x)d x F (x) = f (x) = x ∈ a; b

! ! !

x x x x

b − a b − a

−∞ −∞

[ ] [ ] [ ]

2 2 2

Va r [x] = E x − E [x] Co va r = E x y − E [x] E y

SD = σ = Va r [x] = Va r [x]

! ! ! x y

x

[ ] [ ]

E x y − E [x] E y x θ →

r =

! (! =A=B=! ! Variabile Aleatoria Uniforme ed indipendente)

x y σ σ

x y f (x)

(La Densità di Probabilità ! può essere un segnale; rappresento e trovo dominio)

x

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) μ = con s t H (t , t ) = H (τ)

μ = E x k , t H (t , t ) = E x k , t x k , t

! ! SSL: ! ; !

x x x 1 2 x x

x x x 1 2 1 2 +∞

∫

{ } { }

−1 P = G ( f )d f

→ F H (τ) = G ( f ) → F G ( f ) = H (τ) →

SSL ! ! ! ! ! ! x x x x

x x x x x x x x −∞

N [ ]

0

H (τ) = δ(τ) = E n(k , t )n(k , t )

μ = E [n(k , t)] = 0 G ( f ) = N /2

AWGN: ! ; ! ; ! nn 1 2

n nn 0 2

[ ]

( ) ( ) 2

C (τ) = H (τ) − μ

H (t , t ) = E x k , t y k , t

Cross: ! Autocovarianza: !

x y 1 2 1 2 x x x x x

k

∫

{z

P < x (k , t) < k} = f (x)d x f (x)

! (Probabilità Evento; se ho ! come segnale, si limita la rappr.)

x x

z

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x (k , t) h(t) y (k , t)

SLTI : Se ! è SSL, allora il SLTI con risposta imp. ! crea ! che rimane SSL

2 μ = μ h(t)

H (τ) = H (τ) ⊗ h(t) → G ( f ) = G ( f ) H( f )

! ! y x

yy x x yy x x

+∞ +∞

∫ ∫ 2

P = G ( f )d f = G ( f ) H( f ) df

! [Presenza Banda Limitante = Dominio Noto]

yy yy x x

−∞ −∞

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

π 1

∫

x (k , t) = Acos(2π f t + θ ) → μ = Acos(2π f t + θ ) d θ →

! 0 x 0 2π

−π

[ ] [ ]

2

→ H = E Acos(2π f t + θ )Acos(2π f t + θ ) = A E cos(2π f t + θ )cos(2π f t + θ ) =

! x x 0 1 0 2 0 1 0 2

{ }

2

A [ ] [ ]

( ) ( )

= E cos 2π f t + t + 2θ + cos 2π f t − t →

! 0 1 2 0 1 2

2 { }

[ ] [ ]

( ) ( ) θ t − t = τ

→ E cos 2π f t − t = cos 2π f t − t →

! Non dipende da ! ; impone: !

0 1 2 0 1 2 1 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

{ } { }

[ ] [ ] [ ]

x (k , t) = (A + 2B )cos(2π f t − θ ) + n(k , t) → μ = E A + 2E [B ] E cos(2π f t − θ ) + E n(k , t) →

! 0 x 0

→ E [n(k , t)] = E [AWGN ] = 0

! Calcolo per ogni variabile la media e la riporto nell’espressione madre; ricorda: !

{ }

[ ] [ ]

H = E (A + 2B )cos(2π f t − θ ) + n(k , t ) (A + 2B )cos(2π f t − θ ) + n(k , t ) →

! Eseguo i doppi

x x 0 1 1 0 2 2

prodotti; distribuisco l’operatore; semplifico le espressioni; ridistribuisco l’operatore e lo calcolo ! 2 di ! 6

Tutti i diritti sono riservati

A cura di Matteo Gineprini 2019

S N R

TRATTA RADIO (se ho modulazioni analogiche su canali, ! sempre calcolata con queste formule)

i

T T

eq2 eq3

T = T + + + . . .

T = T + T

! ! (tutto in lineare)

eq eq1

sist 0 eq G G G

1 1 2

G

T = T (F − 1) !

Amplificatore : ! (guadagno noto)

i

eqi 0 i 1

G =

T = T (A − 1)

Attenuatore : ! ! (attenuazione nota)

i

eqi 0 i A

i

S N R = P + G + G − A − (k T B )

! (tutto in dB)

i tx tx R x fs sist

A = 32,4 + 20 log ( f ) + 20 log (d )

! (già in dB)

fs 10 10 km

0 MHz

N B = k T B = − 228,6 + 10 log (T ) + 10 log ( f m )

! (già in dB)

0 sist 10 10

sist Hz

———————————————————————————————————————————————

S N R

i

F = f m f

! = Cifra Rumore ! =B=Banda Segnale Modulante ! =2B=Banda Filtrato

m c

S N R

u 2

V

2

V [ ]

¯ ¯ y ( ) 2

m

2 2 (n )

s o y = ≅ ≅ f r eq u m . δ V

! (per ogni segnale sinus. e/o delta di Dirac)

δ

2 2

( ) ( ) ( )

+∞ +∞ n f k T

t − nkT n( p er i o d o = k T ) 1 n

d

∑ ∑

s ∼ → S δ f −

! (Poisson; k=numero)

kT k T = d ur a t a kT kT kT

d

n n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f

Per modulazioni AM,DSB,SSB,FM ho sempre sviluppo attorno a frequenza portante ! 0

[ ]

1 ( )

[ ]

± ±

±

f − f f f δ f f f

Sempre espressioni tipo: ! ; cos(x! y) con x=! , y=! ; !

0 m 0 m 0 m

2

———————————————————————————————————————————————

V

( )

[ ] 0

±

δ f a l t a

y (t) = V 1 + k s(t) cos(2π f t) m = kV

AM: ! ! ! (sempre)

0

0 0 m 2

¯ ¯ ¯

2

2 2

2 2 2 2 2 V

V (1 + k s ) V k s k s 0

0 0

S N R = S N R = F = z (t) = s(t)

! ! ! ! (demod.)

i u m ¯

2N B 2N B 2

1 + k s

2 2

0 0

¯

2 f 1

z c

B z = yh →

S N R = S N R =

s(t) filtrato: ! ! = ! ! ! Segnale Modulato e Filtrato

u i z

N B 2 T

0 z

———————————————————————————————————————————————

V

0

z (t) = s(t)

y (t) = V s(t)cos(2π f t) F =1

DSB: ! ! (demod.) !

0 0 m

2

¯

2 2

V s V

( )

0 0

±

S N R = S N R = δ f a l t a

! ! (mai presenti) s(t) filtrato : come sopra

i u 0 2

2N B

0

———————————————————————————————————————————————

1 1

̂ ̂

s = cos(2π f t) ⊗ = si n(2π f t) s = si n(2π f t) ⊗ = − cos(2π f t)

SSB: ! ! (s(t) sinusoidale)

m m m m

π t π t

[ ]

( )

± ± ± ±

̂ f

y (t) = V s(t)cos(2π f t) V s(t)si n(2π f t) = V cos 2π f f t

! (! banda inferiore/superiore ! )

0

0 0 0 0 0 0 m

¯

2 2

V s

0 z (t) = V s(t)

S N R = S N R =

! ! (demod.)

i u 0

N B

0

———————————————————————————————————————————————

k V

f m

(m m =

10 log (S N R ) ≥ 13 + 10 log + 1) k V = Δ f

FM: ! (soglia) ! !

10 10 f m ma x

i B

¯ ¯

02 2 2 2 2

3V k s 3k s

2

V 3

f f

0 2

A F = m

S N R = F =

S N R =

! ! (! lineare) ! se s(t) sinusoidale: !

i

u fs m

m

2N B A 2

2N B A B

3 2

0 fs 0 fs

+∞ fcma x

∫ ∫ ( )

B = 2 Δ f + f = 2(m + 1)f f f

P = 2 G ( f )d f = 2 G ( f )d f

! ! (! dipende da ! )

carson ma x m m m c

xx x x x x

0 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

V J (m) [ ]

( ) ( )

0 n

Y ( f ) = δ f − f − n f + δ f + f + n f

! (Bessel, inviluppi spettro FM)

0 m 0 m

2 +∞

2 2

∑

J (m) + (n u m . δ ) J (m) δ

! = % potenza (! devono rientrare nella banda assegnata e non per forza a coppie)

n

0 n=1

+∞

2 2

∑ B = 2n f n

J (m) + (n u m . δ ) J (m) ≥ x

! % ! =Banda % Potenza (! =numero passi tabella)

x m

n

0 n=1 ! 3 di ! 6

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A cura di Matteo Gineprini 2019

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E log (M )

b 2 |

= P + G + G − A − (k T ) − (t u t t o d B )

! tx tx R x fs sist

N T

0 simb

2

D E

2α ( ) ( )

2 2

ij|min b

D = x − x + y − y

BU =