Teoria dei segnali -Formulario Completo

Parte 1: segnali e sistemi

Nota per l'uso del formulario

È possibile scrivere ulteriori formule solo negli spazi riservati a tale scopo, contrassegnati da un riquadro con la dicitura "Spazio riservato a formule personali".

Principali notazioni utilizzate

N {1, . . . , } insieme dei numeri naturali 2,= N ∪ {0} {0, . . .}
Z {. . . , −2, −1, . . .} insieme dei numeri interi relativi 0, 1, 2,
R insieme dei numeri reali
R⁺ =]0, ∞[ insieme dei numeri reali positivi (zero escluso)
R^- =] − ∞, 0[ insieme dei numeri reali negativi (zero escluso)
R = R ∪ {−∞, ∞} insieme ampliato dei numeri reali

Segnali elementari e definizioni fondamentali

Segnali elementari

• Gradino a TC/TD:
  • u(t) = 1 se t ≥ 0; 0 altrimenti
  • u(n) = 1 se n ≥ 0; 0 altrimenti
• Signum a TC/TD:
  • sgn(t) = 1 se t ≥ 0; −1 altrimenti
  • sgn(n) = 1 se n ≥ 0; −1 altrimenti
• Finestra rettangolare a TC/TD:
  • rect(t) = 1 se |t| ≤ 0.5; 0 altrimenti
  • R(n) = 1 se n ∈ {0, . . . , N −1}; 0 altrimenti
• Finestra triangolare a TC/TD:
  • Λ(t) = 1 − |t| se |t| < 1; 0 altrimenti
  • B(n) = 1 − |n − N|/N se n ∈ {0, . . . , 2N −1}; 0 altrimenti
• Impulso a TC/TD:
  • δ(t) è una distribuzione, δ(t) = 1 se n = 0; 0 altrimenti

Proprietà elementari dell'impulso di Dirac

• Area unitaria: ∫_-∞^∞δ(t)dt = 1.
• Campionamento: ∫_-∞^∞δ(t − t₀)x(t)dt = x(t₀), ∀t ∈ R, ∀x(t) continua in t₀.
• Prodotto: δ(t)x(t) = x(t₀)δ(t − t₀).
• Parità: δ(−t) = δ(t).
• Cambiamento di scala: δ(at) = |a|δ(t), ∀a ∈ R − {0}.
• Derivazione: ∫_-∞^∞δ⁽ⁿ⁾(t)x(t)dt = (−1)ⁿx⁽ⁿ⁾(t₀), derivabile fino all’ordine n con derivata n-esima continua in t₀.
• Integrazione: ∫_-∞^uδ(t)dt = u(t).
• Integrazione definita: ∫_a^bδ(t)dt = x(0), se 0 ∈ [a, b]; 0 altrimenti.

Proprietà elementari dell'impulso discreto

• Area unitaria: ∑_-∞^∞δ(n) = 1.
• Campionamento: ∑_-∞^∞δ(n − n₀)x(n) = x(n₀), ∀n ∈ Z.
• Prodotto: δ(n)x(n) = x(n₀)δ(n − n₀).
• Parità: δ(−n) = δ(n).
• Decimazione ed espansione:
  • δ(nM) = δ(n), ∀M ∈ N
  • δ(n) = ∑_Ln=-∞δ(m), ∀L ∈ N
• Somma: u(n) = ∑_m=-∞δ(m).

Proprietà della media temporale

Linearità: α₁x₁(·) + α₂x₂(·) = α₁‹x₁(·)› + α₂‹x₂(·)›, ∀ α₁, α₂ ∈ C.

Invarianza temporale:

• x(t − t₀) = ‹x(t)›, ∀t ∈ R;
• x(n − n₀) = ‹x(n)›, ∀n ∈ Z.

Media temporale di un segnale periodico

Sia x(·) un segnale periodico, avente periodo T₀ nel caso TC, o periodo N₀ nel caso TD, assolutamente integrabile/sommabile su un periodo. La media temporale di x(·) può essere calcolata su un solo periodo:

• ‹x(·)› = (1/T₀)∫₀^T₀x(t)dt (segnali TC)
• ‹x(·)› = (1/N₀)∑_n=0^N₀-1x(n) (segnali TD)

Componente continua ed alternata

x(·) = x_dc + x_ac(·), con x_dc = ‹x(·)› e x_ac(·) = x(·) − x_dc.

Energia e potenza

• Energia:
• ‹|x(·)|²› = lim_Z→+∞(1/Z)∫_-Z^Z|x(t)|²dt (TC)
• (‹|x(·)|²› = lim_K→+∞(1/2K+1)∑_n=-K^K|x(n)|²(TD)
• Potenza:
• P = ‹|x(·)|²›

Energia mutua e potenza mutua

• Energia mutua:
• ‹x(·)y^∗(·)› = lim_Z→+∞(1/Z)∫_-Z^Zx(t)y^∗(t)dt (TC)
• (‹x(·)y^∗(·)› = lim_K→+∞(1/2K+1)∑_n=-K^Kx(n)y^∗(n) (TD)
• Potenza mutua:
• P_xy = ‹x(·)y^∗(·)›

Valore efficace

P_x = |x_rms(·)|².

Energia/potenza della somma di due segnali

E_x+y = E_x + E_y + 2Re(E_xy), P_x+y = P_x + P_y + 2Re(P_xy).

Misura in dB di potenza e valore efficace

• [P_x]_dB = 10 log₁₀(P_x/P₀)
• [x_rms]_dB = 20 log₁₀(x_rms/x₀)

Nota: P₀, x₀ potenza di riferimento.

Sistemi LTI

Relazione i-u di un sistema LTI nel dominio del tempo (convoluzione)

• y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫_-∞^+∞x(τ)h(t − τ)dτ (TC)
• y(n) = x(n) ∗ h(n) = ∑_k=-∞^+∞x(k)h(n − k) (TD)

Nota: h(·) è la risposta impulsiva del sistema LTI, definita come l’uscita del sistema quando l’ingresso x(·) = δ(·).

Proprietà della convoluzione

• Proprietà commutativa: x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·).
• Proprietà associativa: [x(·) ∗ h₁(·)] ∗ h₂(·) = x(·) ∗ [h₁(·) ∗ h₂(·)].
• Proprietà distributiva: x(·) ∗ [h₁(·) + h₂(·)] = x(·) ∗ h₁(·) + x(·) ∗ h₂(·).
• Proprietà di esistenza dell'unità: x(·) ∗ δ(·) = x(·).
• Proprietà di invarianza temporale:
  • x(t − t₁) ∗ h(t − t₂) = y(t − (t₁ + t₂)), ∀t ∈ R
  • x(n − n₁) ∗ h(n − n₂) = y(n − (n₁ + n₂)), ∀n ∈ Z
• Proprietà di convoluzione con l'impulso:
  • x(t) ∗ δ(t − t₀) = x(t − t₀), ∀t ∈ R
  • x(n) ∗ δ(n − n₀) = x(n − n₀), ∀n ∈ Z
• Proprietà di durata della convoluzione:
  • Siano x(t) e h(t) di durata rigorosamente limitata, con durate Δ_x e Δ_h, rispettivamente, allora y(t) = x(t) ∗ h(t) è di durata Δ_y ≤ Δ_x + Δ_h, Δ ∈ R
  • Siano x(n) e h(n) di durata rigorosamente limitata, con durate Δ_x e Δ_h, rispettivamente, allora y(n) = x(n) ∗ h(n) è di durata Δ_y ≤ Δ_x + Δ_h − 1, Δ ∈ N

Proprietà della risposta impulsiva

• (a) La serie di due sistemi LTI, con risposte impulsive h₁(·) e h₂(·), equivale a un unico sistema LTI avente risposta impulsiva h_ser(·) = h₁(·) ∗ h₂(·).
• (b) Il parallelo di due sistemi LTI, con risposte impulsive h₁(·) e h₂(·), equivale a un unico sistema LTI avente risposta impulsiva h_par(·) = h₁(·) + h₂(·).
• (c) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma h(·) = αδ(·).
• (d) Un sistema LTI è causale se e solo se
  • h(n) = 0, ∀n < 0 (TD)
  • h(t) = 0, ∀t < 0 (TC)
• (e) Un sistema LTI è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile, ovvero se e solo se
  • ∑_k=-∞^+∞|h(k)| ≤ K (TD)
  • ∫_-∞^+∞|h(τ)|dτ ≤ K (TC)
• (f) Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta impulsiva h(·), il suo sistema inverso è anch’esso LTI e, detta h_inv(·) la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le due risposte impulsive: δ(·) = h(·) ∗ h_inv(·) = h_inv(·) ∗ h(·).
• (g) Legami tra risposta al gradino e risposta impulsiva: sia s(·) la risposta al gradino del sistema LTI, definita come l’uscita del sistema quando x(·) = u(·), si ha:
  • s(t) → ∫_-∞^th(τ)dτ = h(t) (TC)
  • s(n) → ∑_k=-∞ⁿh(k) = s(n) − s(n - 1) = h(n) (TD)

Relazione i-u di un sistema LTI nel dominio della frequenza

Sia x(·) ←→ X(·), y(·) ←→ Y(·), h(·) ←→ H(·), si ha:

• Y(ν) = H(ν)X(ν) (TC)
• Y(ν) = H(ν)X(ν) (TD)

dove

• H(ν) = ∫_-∞^+∞h(τ)e^-j2πντdτ (TC)
• H(ν) = ∑_k=-∞^+∞h(k)e^-j2πνk (TD)

Risposta in ampiezza espressa in dB

|X(f)|_dB = 20 log₁₀ |X(f)|/|X(f)_rif|.

Risposta ad un fasore di un sistema LTI

• x(t) = Ae^j2πf₀t → y(t) = H(f₀)Ae^j2πf₀t (TC)
• x(n) = Ae^j2πνn → y(n) = H(ν)Ae^j2πνn (TD)

Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI reale

• x(t) = A cos(2πf₀t + φ) → y(t) = |H(f₀)|A cos(2πf₀t + φ + ∠H(f₀)) (TC)
• x(t) = A sin(2πf₀t + φ) → y(t) = |H(f₀)|A sin(2πf₀t + φ + ∠H(f₀)) (TC)
• x(n) = A cos(2πνn + φ) → y(n) = |H(ν)|A cos(2πνn + φ + ∠H(ν)) (TD)
• x(n) = A sin(2πνn + φ) → y(n) = |H(ν)|A sin(2πνn + φ + ∠H(ν)) (TD)

Risposta ad un segnale periodico di un sistema LTI

Sia x(·) un segnale periodico di periodo T₀ = 1/f₀ (TC) o N₀ = 1/ν₀ (TD), in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenza H(·). Si ha:

• x(t) = ∑_k=-∞^+∞X_ke^j2πkf₀t → y(t) = ∑_k=-∞^+∞X_kH(kf₀)e^j2πkf₀t (TC)
• x(n) = ∑_k=0^N₀-1X(k)e^j2πkν₀n → y(n) = ∑_k=0^N₀-1X(k)H(kν₀)e^j2πkν₀n (TD)

Proprietà della risposta in frequenza

• (a) La serie di due sistemi LTI, con risposte in frequenza H₁(·) e H₂(·), equivale a un unico sistema LTI avente risposta in frequenza H_ser(·) = H₁(·)H₂(·).
• (b) Il parallelo di due sistemi LTI, con risposte in frequenza H₁(·) e H₂(·), equivale a un unico sistema LTI avente risposta in frequenza H_par(·) = H₁(·) + H₂(·).
• (c) La connessione in retroazione di due sistemi LTI, con risposte in frequenza H₁(·) e H₂(·) (con l’uscita di H₂(·) che si sottrae al segnale di ingresso al sistema complessivo), equivale a un unico sistema LTI avente risposta in frequenza H_retr(·) = H₁(·)/[1 + H₁(·)H₂(·)].
• (d) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta in frequenza è del tipo H(·) = α, con α ∈ C.
• (e) Una condizione necessaria per la stabilità:
  • Se un sistema LTI a TC è stabile, allora la sua risposta in frequenza H(f) è continua ed infinitesima all’infinito.
  • Se un sistema LTI a TD è stabile, allora la sua risposta in frequenza ν è continua.