Teoria dei segnali -Formulario Completo

Trasformata di Fourier

FT←→ )x(t) X( f +∞ π= ) j2 f tx(t) X( f e d f (equazione di sintesi - antitrasformata)−∞ +∞ π−) = j2 f tx(t) e dt (equazione di analisi - trasformata)X( f −∞1. Rapidità di decadimento a zero della trasformata: Se il segnale è continuo con le sue derivate(n +fino a quella di ordine n, con derivata 1)-esima discontinua ma sommabile, la sua trasformata) → ±∞ |n+2 .di Fourier X( f decade a zero per f come 1/| f2. Linearità: FTα α α α α α+ ←→ ) + ( ) , ∀ , ∈ C .x(t) y(t) X( f Y f1 2 1 2 1 23. Simmetria hermitiana della trasformata:∗⇐⇒ ( ) = ) .x(t) reale X f X(− f4. Valore nell’origine: +∞ +∞= , = ) .X(0) x(t) dt x(0) X( f d f−∞ −∞Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite.5. Dualità: FT←→ ) ,x(t) X( fFT←→ ) .x(− fX(t)6.

Replicazione/campionamento: +∞ +∞ k1 k∑ ∑FT δ− ) ↔ ( ) = ∈ R ,− , ∀T= x(t kT Y f X fy(t) +0 0T T T0 0 0k=−∞ k=−∞ +∞ +∞1 k∑ ∑FTδ) (t − ) ↔ ( ) = − ∈ R .= , ∀Tx(kT kT Y f X fy(t) +0 0 0T T0 0k=−∞ k=−∞18. Formule di Poisson: +∞ +∞ k1 π k∑ ∑ j2 t− ) = , ∀T ∈ R ,x(t kT X (prima formula di Poisson)e T +00 0T T0 0k=−∞ k=−∞ +∞+∞ 1 kπ− k∑ ∑j2 t)e = − ∈ R ., ∀Tx(kT X f (seconda formula di Poisson)T +00 0T T0 0k=−∞ k=−∞Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 1319. Trasformata di Fourier di un segnale periodico e campionamento in frequenza: +∞ +∞ kπ k∑ ∑FTj2 t δ↔ ) == −X e X( f Xx(t) fT0k k T0k=−∞ k=−∞

+∞ k1 k∑FT δ= [x (t)] ←→ ) = −x(t) rep X( f X fg gT0 T T T0 0 0k=−∞ k1= XX gk T T0 0 =Nota: x(t) periodico di periodo T 1/ f .0 020. Trasformate TC notevoli: )Segnale x(t) Trasformata X( fδ (t) 1δ ( )1 f1 1δ ( )+u(t) f π2 j2 f1sgn(t) πj f1 π− )j sgn( ft )rect(t) sinc( fΛ(t) ( )2sinc f)sinc(t) rect( f(t) Λ( )2sinc f 1−at ∈ Re u(t), a + π+a j2 f1−at ∈ Rt e u(t), a + π(a + )2j2 f2a−a|t| ∈ Re , a + π+ (2 )2 2a fπ δ ( − )j2 f te f f0 01 1ϕ ϕ−π ϕ δ δ+ ) ( − ) + ( + )j je ecos(2 f t f f f f0 00 0 0 02 21 1ϕ ϕ−π ϕ δ δ+ ) ( − ) − ( + )j je esin(2 f t f f f f0 00 0 0 02 j 2 j +∞ +∞1 k∑ ∑δ δ(t − ), ∈ R −kT T f+0 0 T T0 0k=−∞ k=−∞Nota: applicando la proprietà di dualità è possibile ottenere da

1. Linearità: F{a*x(n) + b*y(n)} → a*X(ν) + b*Y(ν)

2. Convoluzione nel dominio del tempo: F{x(n) * y(n)} → X(ν) * Y(ν)

3. Convoluzione nel dominio della frequenza: F{x(n) * y(n)} → X(ν) * Y(ν)

4. Simmetria: F{T(ν) ← x(-n)} → T(-ν) = X*(-ν)

5. Traslazione nel tempo: π*T(ν - ν0) → e^(-j2πν0n) * X(ν)

6. Traslazione in frequenza: π*T(ν - ν0) → e^(j2πν0n) * X(ν)

7. Modulazione: e^(jφ)*T(πν - ν0) → e^(jφ)*X(ν - ν0)

8. Espansione: T(ν*L) → 1/L * X(ν/L)

Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 159.

Decimazione: ν −M−11 k∑FT ν= , ∀M ∈ N .←→ ( ) =y(n) x(nM) Y XM Mk=010.

Differenza: kπν−FT ν ν{∇[x(n)] = ∇ [x(n)]} ←→ ( ) = − ) , ∀k ∈ N .∇ j2Y 1 e X(1k k−111.

Derivazione in frequenza: kd1FT ν←→ ) , ∀k ∈ N .(−n)k x(n) X(π ν( )k kj2 d12.

Somma: ν )n 1 X(∑ FT ν δ ν←→ ( ) = ( ) + .= X(0)x(k) Yy(n) πν−− j22 1 ek=−∞ +∞ ∑δ ν δ ν( ) = [ ( )]. = =Nota: Il pettine di delta è definito come rep Se X(0) x(n) 0 si ha una1 n=−∞versione semplificata (senza la parte impulsiva).

Convoluzione: +∞∑ FT ν ν ν= ∗ = − ←→ ) = )Y ( ) .z(n) x(n) y(n) x(k) y(n k) Z( X(k=−∞

Prodotto: 1/2FT ν ν ν λ ν λ λ= ←→

1. ) = ) ∗Y ( ) = )Y ( − ) .z(n) x(n) y(n) Z( X( X( d−1/2
2. Nota: nel dominio della frequenza si effettua la convoluzione periodica.
3. 15. Parseval: +∞ +∞1/2 1/2∑ ∑ ∗ ∗ν ν ν ν ν= |x(n)| = |X( )| , E = (n) = )Y ( ) .E 2 2 d x(n) y X( dx xy−1/2 −1/2n=−∞ n=−∞
4. Nota: x(n) e y(n) segnali di energia (a quadrato sommabile).
5. 16. Replicazione/campionamento: −1+∞ N0 k1 k∑ ∑FT ν δ ν− ) ←→ ( ) = − ∈ N ,= , ∀Nx(n kN