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Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 15

9. Decimazione:

ν −

M−1

1 k

FT ν

= , ∀M ∈ N .

←→ ( ) =

y(n) x(nM) Y X

M M

k=0

10. Differenza:

k

πν

FT ν ν

{∇

[x(n)] = ∇ [x(n)]} ←→ ( ) = − ) , ∀k ∈ N .

∇ j2

Y 1 e X(

1

k k−1

11. Derivazione in frequenza: k

d

1

FT ν

←→ ) , ∀k ∈ N .

(−n)

k x(n) X(

π ν

( )

k k

j2 d

12. Somma: ν )

n 1 X(

∑ FT ν δ ν

←→ ( ) = ( ) + .

= X(0)

x(k) Y

y(n) πν

− j2

2 1 e

k=−∞ +∞

δ ν δ ν

( ) = [ ( )]. = =

Nota: Il pettine di delta è definito come rep Se X(0) x(n) 0 si ha una

1 n=−∞

versione semplificata (senza la parte impulsiva).

13. Convoluzione: +∞

∑ FT ν ν ν

= ∗ = − ←→ ) = )Y ( ) .

z(n) x(n) y(n) x(k) y(n k) Z( X(

k=−∞

14. Prodotto: 1/2

FT ν ν ν λ ν λ λ

= ←→ ) = ) ∗Y ( ) = )Y ( − ) .

z(n) x(n) y(n) Z( X( X( d

−1/2

Nota: nel dominio della frequenza si effettua la convoluzione periodica.

15. Parseval:

+∞ +∞

1/2 1/2

∑ ∑ ∗ ∗

ν ν ν ν ν

= |x(n)| = |X( )| , E = (n) = )Y ( ) .

E 2 2 d x(n) y X( d

x xy

−1/2 −1/2

n=−∞ n=−∞

Nota: x(n) e y(n) segnali di energia (a quadrato sommabile).

16. Replicazione/campionamento:

−1

+∞ N

0 k

1 k

∑ ∑

FT ν δ ν

− ) ←→ ( ) = − ∈ N ,

= , ∀N

x(n kN Y X

y(n) 0 0

N N N

0 0 0

k=−∞ k=0

−1

+∞ N

0

1 k

∑ ∑

FT

δ ν ν

) (n − ) ←→ ( ) = − ∈ N .

= , ∀N

x(kN kN Y X

y(n) 0 0 0

N N

0 0

k=−∞ k=0

17. Formule di Poisson:

−1

+∞ N

0 k

1 π k

∑ ∑ j2 n

− ) = , ∀N ∈ N ,

x(n kN X (prima formula di Poisson)

e N

0

0 0

N N

0 0

k=−∞ k=0

−1

+∞ N

0

1 k

π

− k

∑ ∑

j2 n ν

)e = − ∈ N .

, ∀N

x(kN X (seconda formula di Poisson)

N

0

0 0

N N

0 0

k=−∞ k=0

16 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

18. Trasformata di Fourier di un segnale periodico e campionamento in frequenza:

−1 −1

N N

0 0

1 k

1

π k

∑ ∑

FT

j2 n ν δ ν

←→ ) = −

= X(k) e X( X(k)

x(n) N

0

N N N

0 0 0

k=0 k=0

−1

N

0 k

1 k

FT ν δ ν

= [x (n)] ←→ ) = −

x(n) rep X( X

g g

N

0 N N N

0 0 0

k=0

k

=

X(k) X

g N

0 ν

= 1/ .

Nota: x(n) periodico di periodo N

0 0

19. Trasformate TD notevoli: ν )

Segnale x(n) Trasformata X(

δ (n) 1

δ ν

( )

1 1 1

δ ν

( ) +

u(n) πν

− j2

2 1 e

2

sgn(n) πν

− j2

1 e

ν

R (n) D ( )

N N

1 πν

ν

D

B (n) ( )

2 j2

e

2N N

N

ν

1

ν ν

< < 1

sinc(2 n), 0 rep rect

c c ν ν

1

2 2 2

c c

ν

1

ν ν

(2 < < Λ

1

2

sinc n), 0 rep

c c ν ν

1

2 2 2

c c

1

|a| <

n

a u(n), 1 πν

− j2

1 a e 1

(n + |a| <

n

1) a u(n), 1 πν

(1 − )

j2 2

a e − 2

1 a

|n| |a| <

a , 1 πν

+ − )

2

1 a 2a cos(2

πν δ ν ν

( − )

j2 n

e 0 0

1 1

ϕ ϕ

πν ϕ δ ν ν δ ν ν

+ ) ( − ) + ( + )

j j

e e

cos(2 n 0 0

0 0 0 0

2 2

1 1

ϕ ϕ

πν ϕ δ ν ν δ ν ν

+ ) ( − ) − ( + )

j j

e e

sin(2 n 0 0

0 0 0 0

2 j 2 j

−1

+∞ +∞

N

0

1 k k

1

∑ ∑ ∑

δ δ ν δ ν

(n − ), ∈ N − −

=

kN N

0 0 N N N N

0 0 0 0

k=−∞ k=0 k=−∞

Conversione A/D e D/A

Teorema del campionamento o teorema di Shannon

FT

(t) ←→ ( ) = (nT )

Sia x X f un segnale a TC, e siano x(n) x i suoi campioni presi con passo di

a a a c

. Se:

campionamento T

c

Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 17

(t) ( ) = ∀| | ≥

(i) il segnale x è a banda rigorosamente limitata, ovvero X f 0, f W ;

a a

= ≥ =

1/T soddisfa la condizione di Nyquist f 2W f

(ii) la frequenza di campionamento f c c c c,min

(frequenza di Nyquist);

(t) = (nT ),

è perfettamente rappresentato dai suoi campioni x(n) x e si ha

allora il segnale x

a a c

+∞ −

t nT

∑ c

(t) = (nT )sinc

x x (serie di Shannon)

a a c T

c

n=−∞

Quantizzazione

Q = b

Sia un quantizzatore simmetrico con b bit e M 2 livelli, senza restituzione dello zero, con passo

/M, P =

∆ = 2

e sia x(n) il segnale di ingresso con potenza x . Il rapporto

di quantizzazione 2X

max x rms

segnale-rumore (SNR) di quantizzazione (espresso in dB) è dato da:

12P

x

= + ,

= −

10 log k 4.77

6.02 b 20 log

SNR c

dB ∆

10 10

2

= /x

X è il fattore di carico.

dove k

c max rms

Spazio per formule personali

18 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

Spazio per formule personali

Parte 2: probabilità e variabili aleatorie

Probabilita’ elementare

Assiomi di Kolmogorov σ

Ω S Ω,

Assegnato uno spazio campione ed un -campo di eventi di si definisce probabilità una

S,

funzione P definita in a valori reali non negativi, tale da soddisfare i seguenti tre assiomi (assiomi

di Kolmogorov):

≥ ∈ S

I. P(A) 0 per ogni A (assioma di non negatività);

=

II. P(Ω) 1 (assioma di normalizzazione);

{A } ∩ = ∅, ∀i = S,

III. Se è una successione di eventi mutuamente esclusivi (A A j) di allora

n i j

n=1

∞ ∞

) = )

A P(A (assioma di numerabile additività).

P( n n

n=1 n=1

Proprietà elementari della probabilità

=

1. P(∅) 0.

∩ = ∅ ⇒ ∪ = +

2. A B P(A B) P(A) P(B) (finita additività).

= −

3. P(A) 1 P(A).

∪ = + − ∩

4. P(A B) P(A) P(B) P(A B).

∪ ≤ +

5. P(A B) P(A) P(B) (disuguaglianza di Boole).

⊆ ⇒ ≤

6. B A P(B) P(A).

7. P(A) 1.

Probabilità condizionale

Definizione P(BA)

P(AB) =

= P(B|A)

P(A|B) P(B) P(A)

Legge della probabilità composta

∩ = =

P(A B) P(A|B) P(B) P(B|A) P(A)

20 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

Regola della catena

· · · ) = ) |A ) |A , ) · · · |A , , . . . , )

P(A A A P(A P(A P(A A P(A A A

1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n−1

Teorema della probabilità totale

, , . . . , ∩ = ∅, ∀i = ⊆ n

Siano A A A eventi mutuamente esclusivi (A A j) e sia B A . Si ha:

1 2 n i j i

i=1

n

∑ )P(A )

= P(B|A

P(B) i i

i=1

Teorema di Bayes

, , . . . , ∩ = ∅, ∀i = ⊆ n

Siano A A A eventi mutuamente esclusivi (A A j) e sia B A . Si ha:

1 2 n i j i

i=1

)P(A )

P(B|A i i

|B) =

P(A i n

∑ )P(A )

P(B|A i i

i=1

Indipendenza

Indipendenza tra due eventi

Gli eventi A e B si dicono indipendenti se

=

P(AB) P(A) P(B)

Indipendenza a coppie

{A }

ni=1

Gli eventi si dicono indipendenti a coppie se

i

) = )P(A ), ∀i =

A P(A j

P(A i j i j

Indipendenza tra tre eventi

Gli eventi A, B e C si dicono indipendenti se: = = =

1. sono indipendenti a coppie, cioè P(AB) P(A) P(B), P(AC) P(A) P(C), P(BC) P(B) P(C);

=

2. P(ABC) P(A) P(B) P(C).

n

Indipendenza tra eventi

{A }

ni=1

Gli eventi si dicono indipendenti se

i

∏ )

=

A P(A

P i i

i∈I

i∈I ⊆ {1, . . . ,

per ogni insieme I 2, n} di indici diversi.

Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 21

Indipendenza condizionale tra eventi

Gli eventi A e B si dicono condizionalmente indipendenti, dato l’evento C, se

=

P(AB|C) P(A|C)P(B|C)

Variabile aleatoria

Definizione (Ω, S, Ω

Dato uno spazio di probabilità P), una variabile aleatoria (v.a.) X è una funzione definita in

R = R ∪ {−∞, +∞},

X ⊆ tale che

ed a valori in R;

{X ≤ ∀x ∈

1. x} è un evento,

= +∞}) = = −∞}) =

2. P({X P({X 0.

Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)

La funzione di distribuzione cumulativa (CDF) di una v.a. X è:

= ≤ ∀x ∈ R

F(x) P(X x),

Proprietà della CDF

= =

1. F(+∞) 1, F(−∞) 0. < ⇒ ) ≤ ).

x F(x F(x

2. F(x) è una funzione monotona crescente, ovvero x

1 2 1 2

> = −

3. P(X x) 1 F(x). + ) = F(x).

4. F(x) è continua da destra, ovvero F(x

< ≤ ) = ) − ).

X x F(x F(x

5. P(x 1 2 2 1

− ).

= = −

6. P(X x) F(x) F(x −

≤ ≤ ) = ) − ).

X x F(x F(x

7. P(x 1 2 2 1

− −

≤ < ) = ) − ).

X x F(x F(x

8. P(x 1 2 2 1

< < ) = ) − ).

X x F(x F(x

9. P(x 1 2 1

2

Funzione densità di probabilità (pdf)

La funzione densità di probabilità (pdf) di una v.a. X è:

d

=

(x) F(x)

f dx

Proprietà della pdf

(x) ≥

1. f 0.

x (y)

= f dy.

2. F(x) −∞

∞ (x) =

3. f dx 1 (proprietà di normalizzazione).

−∞ x

2

< ≤ ) = ) − ) = (x)

X x F(x F(x f dx.

4. P(x 1 2 2 1 x

1

(x) ⇒ ≤ ≤ + ∆x) ≈ (x) ∆x, ∆x

5. X continua, con pdf f continua P(x X x f per 1.

22 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

Funzione distribuzione di probabilità (DF) X

La funzione distribuzione di probabilità (DF) di una v.a. discreta X a valori in è:

= = , ∈ X

p(x) P(X x) x

Proprietà della DF

1. p(x) 0. ∑

= p(u).

2. F(x) u∈X,u≤x

∑ =

p(u) 1.

3. u∈X ∑

< ≤ ) =

4. P(x X x p(u).

1 2 ,x ]∩X

u∈]x 1 2

Media di una variabile aleatoria

µ = (x)

La media E(X) di una v.a. X con pdf f è:

µ = = (x)

E(X) x f dx

−∞

se tale integrale esiste finito.

Proprietà della media (x). ∈ (a + =

1. Sia X una v.a. con pdf f Se la media E(X) esiste, e se esiste a R tale che f x)

(a − ∀x ∈ R, =

f x), allora E(X) a. ∈ X ),

con probabilità p(x allora

2. Se X è una v.a. discreta, che assume i valori x

i i

∑ )

= x p(x

E(X) i i

∈X

x

i =

3. Teorema fondamentale della media: Sia Y g(X) una trasformazione della v.a. X avente pdf

(x), si ha:

f X +∞ (x)

) = = g(x) f dx

E(Y E[g(X)] X

−∞ ∈ X

se tale integrale esiste finito. Per una v.a. discreta X, che assume i valori x con probabilità

i

), il teorema si scrive

p(x

i ∑ ) )

) = = g(x p(x

E(Y E[g(X)] i i

∈X

x

i

4. Siano g(·) e h(·) funzioni reali, e siano a e b costanti reali. Si ha:

+ = + .

E[a g(X) b h(X)] a E[g(X)] b E[h(X)] = =

In particolare, si ha la linearità della media scegliendo g(X) X e h(X) 1:

+ = + ,

E(a X b) a E(X) b

≥ ≥

5. Se g(x) 0 per ogni x, allora E[g(X)] 0.

(x) ≥ (x) (X)] ≥ (X)].

g per ogni x, allora E[g E[g

6. Se g

1 2 1 2

≤ ≤ ≤ ≤

7. Se a g(x) b per ogni x, allora a E[g(X)] b.

Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 23

Varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria

σ µ

= ≥ =

2

La varianza Var(X) 0 di una v.a. X con media E(X) è:

+∞

σ µ µ

= = − ) ] = (x − ) (x)

2 2 2

Var(X) E[(X f dx

−∞

σ = ≥

Var(X) 0 della varianza prende il nome di

se tale integrale esiste finito. La radice quadrata

deviazione standard della variabile aleatoria X;

Valor quadratico medio e valore efficace di una variabile aleatoria

) ≥

2

Il valore quadratico medio E(X 0 di una v.a. X è:

+∞

) = (x)

2 2

x f dx

E(X −∞

= ) ≥

2

E(X 0 del valore quadratico medio

se tale integrale esiste finito. La radice quadrata x

rms

prende il nome di valore efficace della variabile aleatoria X,

Proprietà della varianza e del valor quadratico medio

µ = ∈ X ),

1. Se X è una v.a. discreta, con media E(X), che assume i valori x con probabilità p(x

i i

allora ∑ ∑ µ

) = ) , = ) (x − )

2 2 2

E(X x p(x Var(X) p(x

i i i

i

∈X ∈X

x x

i i

= ) − (X).

2 2

2. Var(X) E(X E

+ = 2

3. Var(aX b) a Var(X).

Momenti di una variabile aleatoria

∈ N

Il momento di ordine n di una v.a. X è:

µ = ) = (x)

n n

E(X x f dx

n −∞ µ µ µ

= = = )].

2

E(X) , E(X

se tale integrale esiste finito [N.B. 1 2

Momenti centrali di una variabile aleatoria µ

∈ N =

Il momento centrale di ordine n di una v.a. X con media E(X) è:

σ µ µ

= − ) ] = (x − ) (x)

n n

E[(X f dx

n −∞ σ σ σ

= = = 2

0, Var(X) ].

se tale integrale esiste finito. [N.B. 1 2

24 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

Relazioni tra momenti e momenti centrali

n n

σ µ µ

= (− ) , ∀n ∈ N

n−k

n k

k

k=0

n n

µ σ µ

= , ∀n ∈ N

n−k

n k

k

k=0

Disuguaglianze notevoli (y) ≡ <

1. Disuguaglianza di Markov: Sia Y una v.a. positiva, cioè tale che f 0 per ogni y 0, e

Y

)

con media E(Y finita. Si ha:

)

E(Y

α α

) ≤ >

≥ per ogni 0.

P(Y α

2. Disuguaglianza di Bienaymé: Sia X una v.a. e sia b un numero reale. Si ha:

)

− n

E(|X b|

ε ε

) ≤ ∈ N >

− ≥ per ogni n ed 0.

P(|X b| ε n µ σ 2

e varianza finite. Si ha:

3. Disuguaglianza di Chebishev: Sia X una v.a. con media

σ 2

µ ε ε

| ≥ ) ≤ >

− per ogni 0.

P(|X ε 2

Variabili aleatorie discrete notevoli

Nome DF Media Varianza Momenti e momenti centrali

µ σ µ

= ); = − ) ]

n n

della distribuzione E(X E[(X

n n

2

−1

2 N(N+1)

µ

= =

1 N+1 N

Uniforme discreta p(k) 3

N 2 12 4

(N+1)(2N+1)(3N +3N−1)

2

µ

= . . . , =

k 1, 2, N

4 30

, =

q k 0 µ

= = ∀n ∈ N

Bernoulli p(k) p pq p,

n

, =

p k 1

∼ ∈ [0, = −

X Bern(p) p 1], q 1 p

σ

= = −

nk k n−k

p

Binomiale p(k) q np npq npq(q p)

3

σ

∼ = . . . , = + −

2 2 2

X B(n, p) k 0, 1, n, 3n p q npq(1 6pq)

4

∈ [0, = −

p 1], q 1 p

)

2

r(q+q

rq σ

= =

r+k−1 r

r k

p

Binomiale negativa p(k) q 3

2 3

k p p p +q

2 3

r(q+(3r+4)q

σ

∼ ∈ N ∈ N, =

X NB(r, p) k , r

0 4 4

p

∈ [0, = −

p 1], q 1 p 2

q q+q

σ

= =

1

k−1

Geometrica p(k) p q 3

2 2

p p p +q

2 3

q+7q

σ

∼ ∈ N, =

X Geom(p) k 4 4

p

∈ [0, = −

p 1], q 1 p

λ λ

k − λ λ σ λ

= =

Poisson p(k) e 3

k!

λ σ λ λ

∼ ) ∈ N = + 2

X Poiss( k , 3

0 4

λ > 0

Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 25

Variabili aleatorie continue notevoli

Nome pdf Media Varianza Momenti e momenti centrali

µ σ µ

= ); = − ) ]

n n

della distribuzione E(X E[(X

n n

, ∈ [a,

1 0, n dispari

x b] (b−a) 2 σ

(x) = =

a+b

b−a

Uniforme f (b−a) n

n ,

2 12 n pari

0, altrove (n+1)

n

2

∼ −∞ < < < +∞

X U(a, b) a b

2

µ

(x− ) 0, n dispari

− µ σ σ

(x) = =

1 2

√ 2

σ

Gaussiana o normale f e 2 n

σ π σ (n −

n

2 1)!!, n pari

µ σ µ σ

∼ , ) ∈ R, >

X N( 0,

λ

λ µ

(x) = =

1 1 n!

x

Esponenziale f e u(x) n

λ λ

λ n

2

λ λ

∼ ) >

X Exp( 0,

0, n dispari

λ λ

− |x| σ

(x) = =

2

Laplace f e 0 n

λ 2 ,

2 n! n pari

λ n

λ λ

∼ ) >

X Lap( 0,

2 π π

− x µ

(x) = − = Γ

n

2x b n

n/2

Rayleigh f e u(x) b 1 b

b n

b 4 4 2 2

∼ > Γ(x)

X Rayleigh(b) b 0, funzione gamma euleriana

Spazio per formule personali

26 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

G(x)

CDF della v.a. gaussiana e funzione

x

1 2

µ − u

x−

µ σ

∼ , ), = G G(x) =

Se X N( allora F(x) e du.

, con 2

σ π −∞

2

G(−∞) = G(+∞) = G(0) = 12 .

1. 0, 1,

G(x)

2. è una funzione monotona strettamente crescente.

G(−x) = − G(x).

3. 1

x

2

−u 2

+ =

G(x) = 12 x

1 erf , con erf(x) e du (funzione di errore).

4. π

2 0

G(x)

Tabella dei valori della funzione

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.7549

0.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8016 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8380

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8718 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8836

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9083 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9509 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9758 0.9762 0.9767

2.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9989 0.9980 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995

< G(−x) = − G(x), >

Per valori di x 0, si usi la relazione 1 per valori di x 3.29 si usi l’approssimazione

2

− x

G(x) ≈ − 1

1 e .

2

π

x 2


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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher SnuSniuk di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Teoria dei segnali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Basilicata - Unibas o del prof Pepe Antonio.

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