Formulario Analisi 1

W

e +

= <b)

[cos(a b) i SEN(a

WI

1z

W + +

z +

=

. .

=

* coniugato

Zeta

E = (m(z)

Pe(z)

E ib

a =

= -

= Moisse

Formule De

di :

z)

=1 Iw)

w

(z

1) . ang(w)

W)

(z ang(z)

ang = +

. 121

12 il =

- +I

arg(z)

(z i)

ang - =

(z/m zu)

11) 1

=

(21) ang()

m

ang = .

I =

III) (*) ang(z)-ang(W)

=

ong

Proprietà :

2(m(z)

E Zib

z = =

- Relz)

E 2a

z 2

+ =

=

Etw w

E

= +

zw w

z

= .

1z)

Il =

. (z2

(zk 12

az

z = +

=

=

= - 1 se L poi

(i) disponi

L

i se

= -

I i

=

IRe(z)) =Iz)

(Im(z)([(z)

(211/Re(z)) 11m(z))

+

ang(z) ang(E) 0

+ =

eiang(21)

(71)

Con Zs = (72)

(72) enony

z2 = ong(E2]]

(Ze)(zzleiTang(1) +

Zazz = Tags-og(

=i

Radici n-esime :

E In

so 21

con 1

-

...,

,

,

=

St con 1

.

0

= ,

iSENINT]

Nt[os(a)

Ex = +

# Trasformare forma esponenziale

da

algebrica

forma

a cang(z) i

121

2 = SEN(ong())

(2))

cos(ong i

+

=

Serie numeriche

Serie geometrica

lino la maglie e

+

+ 00

00 =

&

K

Serie Armonica

+ 00 E diverge

1

m =

Serie generalizzato

amonica

E

- >1

converge per [1

diverge per

Serie modificata

armonica VB

E 21

per

+ 00 ,

converge

1 1 B31

per a =

nt(h(n)B) ,

diverge altri casi

negli

n =

Serie Megali

di

00 (n 1

=

1)

2

=

Serie numeriche

confronto

Criteria del

Ibm

an

Se , [An

converge

[bn converge

In

I

bn diverge

= diverge

confronto

Criterio orintotico

del

Se rubn

An I Ian

converge

S

[bn converge

(t[bm

Ebn diverge diverge

Criterio rapporto

del Anes allora

l

Se him

7 =

an

M - 00

+ ,

l [An

=>

1

< converge

se l Ian

1 diverge

=

>

s altro

1 metodo

l

se = usare

,

della

Criterio radice allora

l

Mon

Se em = ,

t 00

+

m -

l [An

=>

1

< converge

se l Ian

1 diverge

=

>

s altro

1 metodo

l

se = usare

,

Criterio Leibnig

di

Sia 1

m +

(1) an

alterni

Una Anso

serie segni con

a ,

VmE IN .

[anImein infinitesimo

Se E ,

An ed

0

Cioè 7 lim =

m

.

& an3mein b 00

+

decrescente

-

è . che

Allora stabilisce

Si

SanSmeiN converge .

o

+ 2

[an converge .

2

=

n ?

lim An 0

=

00

+

E

M -

Si No

- an

allora non

i

usa converge

vedere

ditzripen

converge

se

veramente ?

Costante

Segno

Si No

Andiverge * ingolare

Qué

#Una regolare

successione che ammette

successione

una

limite infinito

finito .

o

assoluta

Comergenza

So assolutamente

I'm converge

seine Ilarl

lo

se verie converge

.

Se larl allora

diverge

invece ,

assolutamente

Ian non converge &

i

so

O

+ =

*

O 10

I = 0

Cos 1

-

#

TAN O TAN-(x)

TAN-2(x) = -

Cos(-x) COS(x)

= -SEN(2)

SEN(EC) =

2

#

E

+

) (OS22 StN2()

+ 1

+ =

Geometria

Posto = v

z) 4)

(a

(0 b

y

= =

,

, ,

, ,

Prodotto scalare

Y . yb

= z

xa + +

4 ortogonali

% allora e

Se o

= sono .

,

vettoriale

Prodotto

N ya)5

zb) za)5

(x (xb

(yc +

+

= - -

=

-

4 unü=o allora J e paralleli

Se sono

,

vo

+ nullo

vettore

Se sono un ,

vettoriale

allora che

prodotto

sia

prodotto nulli

scolare .

sono

) Norma di zz

11

↓ y2

x +

= +

=

ortogonale

Proiezione lungo

di

In questo caso

=

Un

Prodotto mista

()

1) vettori

misto

il prodotto

Se di 3

uguale allora vettri

O

È 3

i

a /

complanari

.

sono vettori

Noti iR3 LETR

,

Es 3

i im con

: , W

-

V 1) .

(2

- 2) -2)

1

(2 3 2

V v 2

1 =

=

= - , , , ,

, , ?

quale complanai

Per 2 sono

, . (1) ?

Perciò 0

quale d =

per

,

-E 6

- 7)

1

v1w 1

5

= -

-

- ,

,

()

8 15 52

= - -

. 54

15 0

=

- - 15

S

- = 3

.

=

2 = -

Sono complanari Q .

per = -3

del

assoluto

+ Il prodotto

volor

/

settoriale rappresente l'area

parallelogramma costruito

del -

-

da (

Vew . ---

-

>

+ Il absoluto

volore del prodotto

misto (vnI

I rappesenta

. parallelepipedo

volume del

il Tarra

) parallelogramma

Area triangolo

+ =

) 1

tetraedro

Volume parallelepipedo

volume

+ =

nello

Rette spazio

schembe complanai

coplanari

= non incidenti

parallele

coincidenti

distinte

reds ?

Es : sono

come E

E 37

2 1

+ x =

x Q

= -

by

r 29

1

= +

<t

1 3

z q

+

=

+ +

+

E 37

2 + 1

= a

-

2q

1

t = +

-

4t

1 3 q

+

=

+

- sente

Perció eds sono

r .

Angolo vettori

tra due

Cost

=

Distanza punto

tra setta

e

punto

Rettan usando piano

e T

, .

M il

consideriamo

1) piano

passante Ae-r

T per

2) il pantott

,

Troviamo

sinterseca il

dove piemo

3) calcoliamo la distanza

tra ed

H A

.

1) ys) c(z z))

ab-xd b(y d

T 0

+

: =

+

+ -

-

Sequazione

2) piano

retta

equazione 1

H)

Dist

3) (A

e)

(A

Dist =

= ,

,

Equazione da punt

di 3

piano

un

te

Dati punti A BeC co

,

,

scelta

due vettori in

a - -

-

questo AC

AB .

coso e

Be c)

(a

Calcola b

= , ,

Creo d

by

il acc cz 0

+ + + =

piano .

trorare

Per sostituisco

d z

y

x con

, ,

coordinate di

di

le punti

3 .

uno

punto

Distanza piano

punto (00

Dato zo

il ed il

p yo

= , ,

Ax By Cz D

piano 0

.

+

+

+ =

/Axo DI

Czo

Byo

o + + +

= B2 c2

A2 + +

formata dall'intersezione

Retta due

di piani

1) direttore della

vettore

il

Cerco retta

.

2) alla

appartemente retta

Cerco punto

un .

3) sell

formo equazione -

Con direttori

1) Va eVz due

vettori dei

i

piani . (x

VenVe 22)

= 82

2 ,

,

2) Inserisco due

le equazioni

sistemo

dei pioni in un ,

dando I pic

fa

e mi

come

comodo) volore aly/z

ad

un sistema

risolvo il il

trovo

e

punto .

formata

Retta punti

da 2

Dati c)

(a f)

Bi(d

b

A e

= e

, , , ,

AB c)

(d

Trovato (x2 ze)

f

b

= e

-a = yz

- -

, , ,

,

[

La retta sarà

Distanza due

tra rette

Date -

ed

h

S(h) ) tV

( re

+

se +

=

+

= -

(Vx))

Sc)

(192 -

d .

= IVXV /

Piano che contiene incidenti

sette

due

1) Prendi il punto intersecano

si

ci

2) vettor normale

il

Foi al piano

vettori

vettoriale

prodotto dei

come delle due

rette

direttori

3) ↑ piano

equazione

ormo

2) Pi zi)

(ai gi

= , ,

2) Vn

VenVe (A c)

B

=

= ,

,

3) A(xxci) zi)

B(y yi)

T c(z

: + 0

+ =

-

-

sviluppo

)

↓ equazione

Parallelismo retta

tra piano

e

E xnt

a +

x il

= ed

Data a yrt

b

: y = + Ent

z = c +

Ax 2z D

By

# 0

=

+

: +

+

piano .

Vi

Il direttore di

vettore sarà

r

Se An Byrt(zn D 0

=

+ + .

Allora paralleli

sono

n .

i

e

sfera

Equazione

il

Dato (a c)

centro c b

= e

,

,

il Raggio .

R c) 2

b)

of (z R2

(y

(x + + =

- -

-

tra retta sfera

Posizione e

Data della sfera

l'equazione data

c) 2

b)

of (z R2

(y

(x e

+

+ =

- -

- [y

retta xnt

la a

x +

=

a ynt

b

: = + Ent

z = c +

1) Sostituisco nell'equazione

z

y

, , della

della quella

sfera com

trovo

setta Sviluppando

e dit

.

funzione

polinomio in

un

2) Calcolo b2-4ac

V =

3) Allora :

Distanza punto retta

Dota

vettore Pro

il

Cro =

1 Il

d = IIVIII ortogonale

Proiezione sulla

In questa di (Pa Pz)

P Py

caso = , ,

G

retta dator a : Ent

z = c +

vettore Pro

il

Cro =

wo

L = Roll2

Il

r(x)

Q =

+ Curve

Cura chiusa

F

E tET

↓ con

U(b) chiuso

Se Ula) è

= -

Curva piana

E contenuta in un

cuva

una delle

singolo cioè sue

piano una

,

tre z)

componenti ( sarà

y

, ,

costante

uguale .

a una

Curva regolare

Una regolare può

si

è se

cura continuità V'lt)

derivare è

e

con (vettore .

nulla)

da

diverso &

semplice

Cura

Vif fe

I-otru iniettiva

quando

: ,

,

la autointrinseca

si

cura non .

Lunghezza di n u va

una

f(t)

E

x =

U teto b]

g(t)<