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TEORIA DEI SEGNALI

Un segnale è un'onda che varia nel tempo. Sfruttando forma e comportamento le si possono associare informazioni. Le tecniche di trasmissione sono oggi di tipo digitale. Le onde si propagano o nel vuoto (propagazione wireless), o in guide d'onda (propagazione wired). Un segnale è una funzione ad n ∈ N variabili, che contiene informazioni che descrivono un fenomeno fisico.

Un sistema è un'entità che riceve in ingresso uno o più segnali, ed esegue una funzione che produce nuovi segnali in uscita.

Un segnale è tempo-continuo se assume un valore per ogni istante di tempo t; ovvero, se x(t) esiste ∀t. Un segnale è invece tempo discreto se è definito solamente per alcuni valori di t, che di solito sono multipli interi di un periodo fondamentale Ts: x[t] esiste solo per t = nTs, con n ∈ Z.

Solitamente, un segnale a tempo discreto è notificato con x[n], che indica il valore del segnale nel multiplo n-esimo del periodo.

Un segnale ha ampiezza continua se x(t) può assumere tutti i valori compresi in un determinato intervallo.

Un segnale ha ampiezza discreta, o per meglio dire, è quantizzato, se x(t) può assumere solo alcuni valori, appartenenti ad un insieme ordinato (numerabile).

Un segnale è pari se x(t) = x(-t) ∀t; Un segnale è dispari se x(-t) = -x(t); Qualsiasi, segnale reale può essere scomposto nella somma di un termine pari x_p(t) e un termine dispari x_d(t).

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Costituiscono una categoria molto importante di sistemi presi in esame; ne fanno parte i filtri a coefficienti costanti.

Un sistema LTI è completamente specificato (definito) dalla sua risposta impulsiva h(t), cioè dall'uscita che si ha quando all'ingresso è applicata una delta di Dirac δ(t).

Per un sistema tempo-discreto lineare tempo-invariante, non cambia nulla, semplicemente abbiamo una sommatoria dei i-esimi campionamenti n; l'uscita corrispondente all'ingresso x[n] è:

La cascata di due sistemi LTI, la possiamo considerare come un unico sistema, con risposta impulsiva h(n) = h1(n)*h2(n), e siccome l'operazione di convoluzione è commutativa, la cascata di h2 e h1 è equivalente alla cascata h1 e h2.

Serie di Fourier

Ogni segnale x(t) periodico con periodo T = 1/f0 può essere espresso in serie di Fourier:

I termini ak e bk sono i coefficienti di Fourier.

Correlazione tra due segnali

Nell'elaborazione dei segnali, è importante avere un indicatore quantitativo della "somiglianza" tra due segnali x(t) e y(t). Un candidato per questo scopo potrebbe essere il prodotto scalare dei due segnali, che è definito come:

_{( x, y ) = ∫−∞^∞ x(t)y(t) dt}

Il prodotto scalare però, non è un buon indicatore, poiché è influenzato dal ritardo. Ad esempio, se x(t) = sin2πf₁t e y(t) = cos2πf₁t, si ha (x,y) = 0. Le funzioni seno e coseno sono ortogonali, pur essendo una la versione traslata dell'altra rispetto al tempo. Dunque, per avere un indicatore della "somiglianza" occorre una definizione che tenga conto anche dei ritardi (sfasamenti) tra i due segnali.

Una buona misura della "somiglianza" tra due segnali, x(t) e y(t) è data dalla loro correlazione R_xy(t₁,t₂):

R_xy(t₁,t₂) = ∫_−∞^∞ x(t+t₁) y(t+t₂) dt

Che è il prodotto scalare dei due segnali traslati nel tempo di t₁ e t₂ rispettivamente. In generale, la correlazione è una funzione di due istanti temporali.

Per segnali deterministici, la correlazione dipende solo dalla differenza t₁ - t₂ = τ e si può scrivere come:

R_xy(τ) = ∫_−∞^∞ x(t+τ) y(t) dt

Nota Bene: Attenzione a non confondere la correlazione con la convoluzione:

R_xy(τ) = ∫_−∞^∞ x(t+τ) y(t) dt

x * y = ∫_−∞^∞ x(t) y(t-τ) dt

La trasformata di Fourier del pettine (infinito) di Dirac, è ancora un pettine di Dirac:

S(f) = F{s(t)} = ₁/_Ts Σ^∞_n=-∞ Ð(f-nF_s); con F_s = ₁/_Ts

Infatti, poiché s(t) è reale, pari, discreta e periodica con T_s, anche S(f) è reale, pari, periodica e discreta (cioè S(f) ≠ 0 solo quando f è un multiplo intero di F_s = ₁/_Ts).

Inoltre, poiché:

F{Ð(t-nT_s) + Ð(t+nT_s)} = 2cos{2πnƒT_s} ⇒ S(f): 1 + 2 Σ^∞_n=1 cos(2πnƒT_s)

e per f = kFs tutti i coseni valgono 1, quindi S(kFs) ⇒ +∞.

N.B.Se il segnale x(t) o la funzione s(t) sono traslati nel tempo, la sequenza di dati campionata è diversa, ovvero uno stesso segnale può produrre campioni diversi. Dunque il campionamento NON è tempo-invariante. Analogamente, la sequenza di dati campionati non corrisponde ad un unico segnale x(t): segnali a diversa frequenza possono dare la stessa successione di campioni.

Traslazione nel tempo

Dipendenza della frequenza

• Fuori Ba, altri sistemi trasmettono su bande adiacenti. Tipico dei canali wireless: molti utenti condividono lo stesso mezzo di trasmissione (l'etere). Ad ogni sistema è preassegnata una certa banda limitata e non può disturbare gli altri sistemi che trasmettono su altre bande.

Potenza P_t[W, dBm]

P_tx(t) : Potenza trasmessa

P_rx(t) : Potenza ricevuta

La potenza trasmessa è limitata da una serie di fattori, quali: Evitare interferenze con i canali adiacenti; Dalla compatibilità EM (ovvero, il livello massimo specificato di disturbo EM); Dalla potenza massima trasmessa da un dispositivo funzionante a quella frequenza; Dalla potenza totale del dispositivo (batteria); E dai vincoli lineari.

La potenza ricevuta è collegata a quella trasmessa (distanza, frequenza, ambiente, sistema,...). In particolare, in un sistema wireless a vista, la potenza si attenua con il quadrato della distanza.

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Labeling binario

• Costellazioni di segnali M_i con cardinalità 2^k;
• Spazio di Hamming H_k con cardinalità 2^k

Possiamo stabilire una mappatura uno a uno tra vettori e segnali binari.

L'assegnazione del vettore al segnale è arbitraria.

Costruzione delle forme d'onda trasmesse

NRZ, No return to Zero, oscilla senza fermarsi sullo zero.

Nel caso unipolare:

• Con +V non torna a zero, (resta a +V per tutto T_i);
• Nel secondo caso ci l'ampiezza che vale 0 ⟹ Ø P_T(t).

P_T è un semi-impulso.

Il passaggio da un bit all'altro è meno repentino ed è più ideale rispetto al NRZ.

Algoritmo di Gram-Schmidt

Ipotiziamo di aver già trasformato S₁ ed S₂ in due vettori U₃ e U₂, vogliamo costruire una base ortonormale.

Scegliamo un vettore di riferimento, che può essere scelto in maniera arbitraria, basta solo normalizzarlo e otteniamo un vettore con energia unitaria; questo ci permette di generare U₃ e tutti gli altri vettori che passano su di esso.

Per costruire una direzione ortogonale alla prima, possiamo proiettare il secondo vettore sulla prima direzione e sottrarlo. (Principio di sovrapposizione) In questo modo abbiamo ottenuto la seconda direzione (dobbiamo solo normalizzarla).

Step 1:

M = {S₁(t), ..., S_i(t), ..., S_m(t)}

dato S₁(t) calcoliamo il primo elemento della base;

definiamo c₁(t) = S₁(t)

• b₁(t) = ^c₁(t)/_√E(c1) se c₁(t) ≠ 0 ⇒ b₁(t) ≠ 0
• alla fine tutti i termini nulli, verranno eliminati.