Fondamenti di automatica - orale

Proprietà Sistemi

1. Sistema SISO

   • SISO: p=1, q=1
   • MISO: p=1, q≥1
   • SIMO: p≥1, q=1
   • MIMO: p≥1, q≥1

   ^{numero ingressi}

   _{numero uscite}

2. Sistema Statico

   • Le uscite y(t) dipendono solo dai ingressi u(t)

   Dinamico

   • Le uscite y(t) dipendono sia u(t) che dalle derivate u^'(t)

   In pratica se non vedi derivate è Statico

3. Sistema Lineare

   • 2x+3y SI
   • 2xy NO
   • 2(t1)x+cos(t)y SI
   • (2t)xg NO

   In pratica devono essere u(t) e y(t) in combinazione lineare

4. Sistema Stazionario

   Vale il principio traslazione causa-effetto

   u(t) → sistema → y(t)

   u(t+d) → sistema → y(t+d)

5) Sistema Proprio

A livello pratico si traduce che (detto che ad ogni) u(t) > a(t)+y(t) allora il numero di derivate delle uscite y^(m) (t) deve essere > numero di derivate ingressi u^(m) (t).

• m = n strettamente proprio
• m ≥ n proprio
• m ≡ n semplicemente proprio
• m < n non proprio

Perché il numero di ingressi e uscite (se ci abiti di conseguenza delle cause senza effetto)

u(t) → y(t) u⁽¹⁾(t) → y⁽¹⁾(t) u⁽²⁾(t) → y⁽²⁾(t) u⁽³⁾(t) → non abbiamo l'effetto (y⁽³⁾(t))

6) Sistema Casuali

• Parametri Concentrati

I casi che studiamo sono questo caso

• Parametri Distributi

Se il sistema ha dimensioni spaziali trascurabile rispetto alla lunghezza d'onda delle sue grandezze fisiche

Se il sistema ha dimensioni spaziali non trascurabili rispetto alla lunghezza d'onda

SISTEMA DINAMICO

SISO

MIMO

ESEMPIO

• 3y₁(t) + 2u₁(t) = 7
• y₂(t) + u₂(t) - u₁(t) = 9
• y₃(t) + u₁(t) + u₂(t) = 6

è un SISTEMA MISTO - STATICO - LINEARE - NON STAZIONARIO

- a parametri concentrati - senza ritardo

Sistema Lineare / Non Lineare

ESMPIO MIMO

• 7T u₃(t) + y⁴₁(t) = [u⁴₁(t) = u₁(t)] = 9
• 3y₂(t) + cos(t)u²₁(t) + u₂(t) + u₃(t) = 0

CONDITION LIM. - GV

• U₃(t) + U₁(t)

NO

3) Sistema Statico/Dinamico

Per spiegare come mai abbiamo l'equazione sotto parto dal disegno di un LS. Questa è la versione estesa.

Sistema

Cioè, in pratica riscrivo le frecce in base all'equazione di stato → x˙ = f[...]

All'equazione di uscita → y = g[...]

Ricordo: Sistema Statico → y(t) dipende solo da u(t) - IU → Togli le derivate - ISU → Togli l'x(t)

Si ottiene questo ponte (freccia) tra x(t) e y(t)

4)

S. STAZIONARIO

VALE IL PRINCIPIO DI TRASLAZIONE

CAUSA = EFFETTO

SEMPICEMENTE NON DIPENDONO DA K_{(NON)(L.D. SOSPO)}

SISO

NIHO -> STESSO DISCORSO

5)

S. PROPRIO / NON PROPRIO

PRINCIPIO AL CAUSALITÀ

PER OGNI CAUSA C’È ALMENO UN EFFETTO

QUINDI SE

NUMERO DI U < NUMERO DI Y

m < m₂ -> STRETTAMENTE PROPRIO

m ≤ m₂ -> PROPRIO

m = m₂ -> PURAMENTE PROPRIO

NIHO

n_α > MAX {m₂}

2^a Radica λ del Polinomio Caratteristico P(λ)

abbiamo to radici λ come soluzioni (Σ m)

ESEMPIO:

• 3(λ³) + 24(λ²) + 5(λ¹) + 39(λ⁰) = 0
• Polinomio Caratteristico
• P(λ) λ² + 1 λ + 1 = 1

TROVIAMO che m = n

• Risolvo il problema e trovo le soluzioni λ
• Ponendo P(λ) = 0

• P(λ) = 3 (λ + 7)³ (λ + 4)² = 0
• λ₁ = -1
• Si ripete 3^a volta
• m_i = molteplicità soluzione numerosa 3

• λ₂ = 2 (soluzioni)
• Si ripete 1^a volta
• m_i = molteplicità soluzione ripetere

Quindi (n = 2) (m = 4)

• CONDIZIONE
• m = Σ

le radici complesse valgono il doppio

es: m = 1² 2 + 2² *

• Discriminano che ha trovato timidi

ovvero

λ_e = Re[λ_e] + j Im[λ_e]

Quindi

e^{λ_e t} = e^{(Re[λ_e] + j Im[λ_e]) t}

e^{Re[λ_e] t + j Im[λ_e] t} = e^{((Re[λ_e]) t)} { cos(Im[λ_e] t) + j sin[-Im[λ_e] t]}

e^{t Re[λ_e]} cos(Im[λ_e] t) - e^{t Re[λ_e]} j sin(Im[λ_e] t)

• PARTE REALE di e^{λ_e t}
• Re [e^{λ_e t}]
• PARTE IMMAGINARIA di e^{λ_e t}
• Im [e^{λ_e t}]

SE FACCIO LA STESSA COSA IN

Im λ*_e = Re[λ_e] - J Im[λ_e]

TROVO LA STESSA FORMULA CON SEGNO OPPOSTO

• PARTE REALE di e^{λ* t}
• Re [e^{λ* t}]
• PARTE IMMAGINARIA di e^{λ* t}
• Im [e^{λ* t}]

Quindi LA FORMULA OVERALL E’ UGUALE AL PARTE COMPLESSA CONGIUGATA

Dimostrazione passaggio di forme

1) Applico la definizione di:

A_ℓ,k e A^*_ℓ,k e sostituisco λ_e

λ_ℓ cos_ℓ ω_e + s ω_ℓ

Separato

[i_e,k + j V_ℓ,k]^{(α_ℓ+sω_e)t} = e^jω_ℓt

Per definizione di parte

Immaginario Im_m, u_e

2) Sostituisco e raggruppo e^{α_ℓt e2\}

{i[u_l,k + jV_ℓ,k] cos(ω_ℓt) + j sin(ω_ℓt)] + \ e[U_ℓ,k + j V_e,k] cos(u_ℓe) - j sin(ω_et)]}

3) Sviluppo i calcoli in { }

u_e,k cos(ω_ℓt) + j u_e,k sin(ω_ℓt) + jV cos(ω&m)\ cos(ω&space;ℓ_Ve,k(i_ℓ) ^-1cos(arg(V) ^1/2Vsin(ω&space;e,k(_ℓ)_L(1/2))^}

+ u^*α cos(ω_ℓ^*₁) - j V cos(ω_et) + j _sin^*omega

Modi Naturali

Data una generica combinazione lineare dei modi se i modi convergono (stabili)

Anche y_mod → 0

Modi A-perodici

(Imm. pura 0 reale)

Ovvero non trova num/compl radice esamina:

t^ke^λt

Modi Pseudo-periodici

(imm. pura coniugato)

Trova sole escnum. num/compl

t^ke^λtcos(ω_i t)

t^ke^λtsin(ω_i t)

Parte A-periodico Parte Periodico

Modi A-periodici

-m(t) = t^k e^λt

_{in una radice generica}

λ_c

• τ_c = Δ
• τ_c = 1 / λ_c
• τ_c = λ_c

_{mdecrease mincrease}

mis|modi decrese

mis|modi crescere

e^λt = e^-t → t > 0 _{t < 0}

m_{stabile/immobile}

Moti Stabili/Imstabili

Abbiamo 2 casi

• k = 0
• k < 0

Stabile se per t → ∞ m(t) = 1 (numero finito)

Imstabile se per t → ∞ m(t) → ∞

λ > 0 → M Imstabile

λ = 0 _{semlicemnte stabile}

λ < 0 M stabile