Fondamenti di automatica

Sistemi a Tempo Discreto (Dominio Z)

Differenze con Tempo Continuo

• Abbiamo Equazioni alle Differenze (no differenziali)
• In pratica se una funzione è differenziabile posso studiare f(x) in un piccolissimo intervallo (dx)
• Alle differenze è noto il valore di f(x) solo in punti presi K
• K ∈ Z, 1, 2, 3...

Sistema

• Nel Tempo Continuo e/o Stazionario - Proprio
• Nel Tempo Discreto - Stazionario - Proprio

Risolviamo Le Espressioni

• I_u: a_m y(k-m) + a_m-1 y(k-m-1) + ... + a_o y(k) = b_o(k)⁺ ... + bu(k)
• x(k+1) = A x(k) + B u(k)
• y(k) ...

Ricordo

.se Statico:

y(k) dipende solo da u(k)

I_a

• x(k+1) = β u(k) + A x(k)
• y(k) = D u(k)

NON TROVO x(k) NELLA RISPOSTA DEL SISTEMA

nella forma compatta

lineare & stazionario (A(x), B(x), C(x), D(x))

Dimostrazione Lagrange

1. Prendi l'espressione (siso) del I_uv in K_i:

ay(k) + a y(k-1) + ... + a_m y(k-m) = b_m u(k-m) + ... + b₀ u(k)

2. Isolo y_k e applico la trasformata z

z[y(k)] = z[b_mu(k-m) + ... + u(k)] - a₁z[y(k)] - ... - a_mz[y(k-m)]

Y(z) =

3. Applico la trasformata elementare f(k-m) = -k/m z^-m F(z) = k/m² -1 z^-1

b_m/a₀ z{-m}[u(z) + ... + u(m-1)z^-1 + ...]

b₀/a₀ z{-1}[z^-1Y(z)] + ...

4. Isolo e raggruppo Y(z) e trovo

y_c(z) = Y_iet(z) + Y_forza(z) = ...

Hanno lo stesso denominatore

3) Trovo sostituendo k = k - k₀

x_f(k+1) = A^k-k₀Bu(k₀) + A^k-k₀Bu(k₀ + 1) + ... + ABu(k₀ + (k-k₀ - 1)) + Bu(k)

4) Ho trovato

x_f(k+1) = A^k-k₀Bu(k₀) + A^k-k₀Bu(k₀ + 1) + ... + Bu(k₁)

Ho trovato la tesi => Dimostrato

Stessa dimostrazione dello x_e(k)

Poichè se sostituendo k = k + 2

x_f(k) = A^(k-k₀)-2Bu(k₀) + A^(k-k₀)-2Bu(k₀ + 2) + ...

Ovvero

x_f(k) = Σ_μ=k0^k-2 A^(k-μ)-1Bu(μ)

Stabilità Interna

Studio le variabili interne del sistema Σ (X(t))

Definizioni

Stato d'equilibrio: uno stato può essere definito "stato d'equilibrio" X_eq se vale la relazione:

X(t) = X_eq ∀ t ≥ t₀ ⇒ X(t) ≡ X_eq

Vale solo per la risposta libera X_{e (t)} quindi

X^• (t) = A X_{e (t)} + B u(t)

In pratica dopo t₀ X sarà sempre fermo sul suo punto di equilibrio

Formule

1. Dato che studiamo solo risposta libera u(t) = 0
2. Esprimiamo nell condizioni X(t) ≡ X_eq
   • A dimostra di X_eq può dipendere da t
   • Perché non dipende da t
   • Osserva X(t) - X_eq [0] = -1, se t ≥ 0
3. Alcunché sostituendo X^• (t) = X^• _eq = 0 y X(t) = X_eq

A X_eq = 0

GAS (Globlalmente Asintoticamente Stabile)

1. Stabile → ∀ ε>0, ∃ δ(t₀, ε) : ||X(t₀) - X_e|| < δ(t₀, ε) → ||X(t) - X_e|| < ε
2. Attrattiva → ∀ X(t₀) ∃ε ∀x_e ∈ X → lim (t → ∞) ||X(t) - x_e|| = 0

Criterio di stabilità

Ipotizzando di conoscere un certo polinomio caratteristico p(λ) da:

det (λI - A) = p(λ) → ∀posto = 0 fornisce 1 real 2 λ complessi e coniugati

Tempo Continuo

• Asintoticamente Stabile: Reλ_k < 0 ∀λ
• Semplicemente stabile: Reλ_e = 0
• Instabile: Reλ₁ > 0 V = 1

Tempo Discreto

• Asintoticamente Stabile: ||x_e|| < 1
• Semplicemente stabile: |λ_e| = 1 V = 1
• Instabile: ||λ₁|| > 1 V > 1

CRITERIO di Riuth

dote il generico polinomio p(l)=a_ml^m+a_m-1l^m-1+...+a₁l+a₂.

è possibile costruire la tabella di Routh e si costruisca la tabella (T.d.Routh)

• m 3 3 a_m a_m-2
• m 2 2 a_m-1 a_m-3
• m 1 1 d₁
• m 0 d₂
• 2 1 d₃
• 1 0 d₄

Le prime due le prendi da p(l) ha m+1 righe (pardi vado fino a 0)

Si trova come legge

Con l che va da 2, 3, 4, ...

Dove:

b, c, d, e, ... = -1 det primo termine colonna prec.

es:

b_m-4 = -1/am-1

det [ a_m a_m-2 ]

le due righe dello colonne successce qualla deolo det quella studiata

det a_m-6 a_m-7

det am am-2

det am-2 b_m-2

Criterio di Jury

b ha lo stesso segno di quello di Ruth in K.

• Condizione necessaria e sufficiente affinché |λ_i| < 1

Ipotesi:

• dato il polinomio p(λ) = a_mλ^m + a_m-1λ^m-1 + ... + a₂λ² + a₁λ + a₀

Se m = 2

k = a₂λ² + a₁ λ + a₀

Ipotesi

• devono valere contemporaneamente:

• a_m = 1
• p(1) > 0

Es. 3λ² - 2λ + 1 con λ = 1

3 - 2 + 1 = 2 > 0

• a_m = 1

sostituisco λ = -1

(-1)^m p(-1) > 0

|a_m| > |a₀|

Se m > 2

Ipotesi

• devono valere le 3 condizioni precedenti
• deve essere soddisfatte m-2 disuguaglianze tra il primo elemento della riga 1 e l'ultimo elemento

Tabella di Jury

b₀

a_m

a₀

• le m-1 coppie di righe (r e b c ... come nel criterio di Routh)

Sistema (lineale e stazionario) Controllabile

se:

• X₀ (f^*) fissato
• ∃ X^* ∈ ℰ_{t⁰, +∞} (sistema di termini finito t^*
• ∃ U^*(t) definita fra t⁰, t^*

e possibile o mantenere del stato iniziale X_(t⁰)

trasporre lo stato del sistema a X^* attraverso l’ingresso U^*(t)

Sotto-spazio di Non Raggiungibilita X_NR

• e il sotto-spazio dello spazio di stato X
• Tutto cio che non e raggiungibile

e il complementare dell’insieme X_∞

max X_∞

t_{start toc} X_NR

Sotto-spazio di Non Controllibilità X_NC

• e il sotto-spazio dello spazio di stato X
• Tutto cio che non e controllabile

e il complementare di X_C

max X_C

(sotto-spazio di controllabilità) X_NC

Disegno

(per facilità assuniamo X(t⁰) di dimensione 2x1 ^{X(t) = [ ]})

• In pratica se t = t₀
• x₁ = y ⇒ X(t) ∈ &overline;X(t^*)
• X^*(t⁰) sono i punti o chi combacia X(y,z)

fissato

tutti possibili u