Fondamenti di automatica (modulo 1)

AUTOMATICA

L’automatica studia gli strumenti utili per svolgere un compito automaticamente senza l’intervento dell’uomo. I controlli automatici studiano tecniche, volte a studiare l’intervento umano per modificare il comportamento di un dato sistema.

SPECIFICHE DI PROGETTO

Le specifiche di progetto si dividono in:

• funzionali: specificano le funzioni del progetto
• prestazionali: descrivono il comportamento desiderato del sistema da progettare. Esse comprendono:
  • statico (a regime), un esempio potrebbe essere la temperatura a regime dell’estrusore di una stampante 3D
  • dinamico (transitorio), un esempio potrebbe essere il tempo impiegato per raggiungere una data temperatura

L’obiettivo del progettista, è fare in modo che tutte le specifiche del progettista con il committente, vengano rispettate costruendo il sistema di controllo.

BASE

Un sistema è un complesso di elementi opportunamente collegati fra di loro, in cui è possibile individuare delle grandezze soggette a variazioni nel tempo. Dette grandezze sono variabili.

Quando si utilizzano equazioni per descrivere le interazioni tra le parti del sistema e delle variabili, allora si parla di modello matematico o più semplicemente modello.

ORIENTAMENTO DEL MODELLO (O DEL SISTEMA)

L’individuazione di cause ed effetti di un dato fenomeno, si dice orientamento del modello (o del sistema) da cause a effetti. Si dicono anche ingressi u_i(t) del sistema in numero pari ad m, invece gli effetti si dicono anche uscite y_i(t) del sistema in numero pari ad m.

Esempio: il sistema ha 2 ingressi (o cause) e 3 uscite (o effetti)

S

Gli ingressi si possono definire in due modi:

1. ingressi manipolabili o semplicemente ingressi. Si indicano con u_i(t)
2. ingressi non manipolabili o disturbi, ad esempio la temperatura della stanza. Si indicano con d_i(t)

Ritornando all’esempio precedente avremmo:

S

Adesso prendiamo un serbatoio, in cui c’è un liquido, con una sezione A e un foro da cui esce il liquido.

a, b, c, d, A sono dei parametri in m²

1. q₁ è la portata di liquido in ingresso [m³/s]
2. q₂ è la portata di liquido in uscita [m³/s]
3. h(t) è il livello del liquido

Orientamento del modello:

1. q₁(t) è la portata controllata dall’utilizzatore del serbatoio
2. q₂(t) è la portata che liberamente esce dal foro, allora è

3) Se l'ingresso modellato con la perturbazione esce dal foro, allora l'andamento del sistema cambia.

OBIETTIVO DEL CONTROLLO

Si definisce segnale di riferimento (o solo riferimento) r_i(t), il segnale desiderato della variabile di uscita y_i(t), dunque l'obiettivo del controllo è quello di progettare un sistema di controllo che sia in grado di generare che ciascuna uscita y_i(t) "insegua" il riferimento corrispondente r_i(t), indipendentemente dal valore assunto dai disturbi. Affrontiamo due problemi:

• inseguimento dei riferimenti
• reiezione dei disturbi

Esempi di obiettivi:

• controllo della temperatura T(t) di una stanza.
  • T(t) = la temperatura di riferimento
  • T(t) = il valore della temperatura in una stanza
• controllo della temperatura T(t) e dell’umidità di una stanza.
  • T(t) e H(t) = i valori dei variabili di riferimento
• T(t) = il valore della temperatura
• H(t) = il valore dell’umidità in una stanza

IL PROBLEMA DELL’INSEGUIMENTO (TRACKING)

Il problema dell’inseguimento è risolto se le uscite sono asintoticamente proporzionali ai riferimenti. Ossia, ogni termine y_i(t) = k_i r_i(t) ∀t.

Questa richiesta non è in generale possibile da soddisfare perché ad esempio non ci può essere un'accelerazione da 0 a 100 in 0s. Il tutto si risolve grazie al problema dell’inseguimento a regime: y_i(t) = k_i r_i(t) ∀t. Se r_i(t) è costante, allora si parla del problema di regolazione. Se non è costante, si parla in generale di problema di controllo.

Esempio: drone

Errore d’inseguimento e sistema di regolazione:

r(t) riferimento della quotaz(t) indice della quota

Errore e regolatore:

L'errore d’inseguimento è la variabile e(t) = r_i(t) - (1/k_i) y_i(t). Esso è nullo quando (r_i(t) = 1/k_i y(t) ∀t). Se [y_i(t) = k_i r_i(t)], il problema dell’inseguimento si risolve quando l’errore tende asintoticamente a zero. Invece, il problema si risolve a regime se lim t→∞ e(t)=0 ∀k_i.

IL CONTROLLO IN ANELLO APERTO (O A CATENA APERTA O FEEDFORWARD)

Se non si utilizza il blocco C, si ha controllo a catena aperta. Il blocco C è il controllore, mentre il blocco S è il sistema controllato, cioè quello che viene controllato. Il controllore legge l’ingresso u(t), che dipende a sua volta dal tempo t, e viene confrontato con il riferimento r(t). Da questo riscontro si progetta un modo tale che il controllo agisca sul processo dentro il sistema in verso l’uscita desiderata.

Il controllo a catena aperta è utile quando è costante il livello del liquido nel tempo t:

g(t) = h(t)

Perturbazione dell’ingresso d’equilibrio. Mi chiedo di quanto varia l(t) rispetto all’unità: _i!

l(t) = L + ΔL(t). Dove ΔL(t) è la perturbazione sull’uscita dovuta alla perturbazione Δq_e(t).

Considero il modello del sistema. Ai = U_2g[\sqrt(a/i+_{)= T> 0}. SupervisioneconlarispettodiTaylor:

(termine non lineare) Vicinanza dell’equilibrio! V di V _e

_ \int_(l) Δ(f l_ei(l) . q_e.^{1)[f(l) (1)]/1(.)}

Sviluppo del segmento Taylor considerato al primo ordine con ordine a Δl(t)=\sqrt(1)/1)?

L(l) aU_2g[ ]Δl(t).

f(e^{U_2g 0 |e ot| |ε-it| e-ot = |e -ot|}

Nel se: μ = lim_t→∞ e^-ot = 0 e F(s) : ₀∫^∞ (e^-st dt = ¹/_s

In generale esiste la trasformata di f(t): e il dominio di convergenza la posizione che pue medere qui accunto.

LA TRASFORMATA DI UNA SINUSOIDE

Osserviamo che: sin (ωt) e cos(ωt) possono essere scritti come: sin (ωt) = e^iωt - e^-iωt 2i

cos (ωt) = e^iωt + e^-iωt 2

Dimostration: le to i = ee^-iθ = e ^-sot = < cos θ + i sin θ

^- le cos θ = cos θ t i sin θ

Analogamente avermo e^-cot - cos θ - i sin θ

(le facciamo la (1), (2) avriamo che 2(0, cos(ωt)) = sins(0 + sin(θ)) e i sin θ ¹

Quindi: _-∫ sin(ωt)dt = -_t e^{⋹ (ωt)*-t} = -_t∫(0-0∞ ∂ e^-ωt)_t dt} ₀^t

-¹ _-0 ₀^∞ { e^{-0 ∂}

PROPRIETA NELLA TRASFORMATA

La trasformata di Lapolis ha le seguenti propietà:

1. Linearità: concatenèate due funzioni causali, con transformata F₁(s) ed F₂(s), allora:F₁(s)ε^t α₀(t)^-∫^∞ α₂(t) e^-st F₂(s) + f(t) =

La dimostrazione deriva dal calcolo della linearità dell'integrale0f (t) = (F)(t) propriedade acquisita = Quando proInte nata una certa entia di tempo. Se denca con 0_t ∫^∞ il (t)e^-st1e^*st...(senza indicare il tempo)