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LEZIONE 1
INTRODUZIONE
Automatica (= automazione)
Automatica
Sistema di strumenti matematici necessari per specifica progetto e gestione di sistemi di controllo automatico.
Si occupa di problemi di controllo.
- Due parti:
- Progetto: sviluppo dei processi, creazione dell’algoritmo.
- Implementare l’algoritmo (= automazione)
- Controllo: far lavorare un sistema fisico qualsiasi
Es. accelerazione auto, aumentare la temperatura
NB si fissa l’andamento di variabili (non del sistema)
Per modellare le variabili si agisce sul sistema
Variabili da controllare (ottenute dal sistema)
Per modellare le variabili applico delle variabili in ingresso
Sistema
Aggress su di esso per modificare le variabili in uscita
L’automatica si occupa dei problemi di controllo => costruire e progettare modelli di sistemi.
ESEMPIO: Cessivo
Applico flusso costante ad tn
(=sensori) Il livello del riempimento del serbatoio è una indicazione di tempo
Il problema del controllo è garantire che l’flusso in ingresso sia costante
devo mantenere h=cost, così che la pressione rimanga cost.=> il flusso in uscita è costante (h = variabile da controllare) Per avere h=cost si ha flusso in ingresso = in uscita
COME FUNZIONA IL CONTROLLO
Se si alza il galleggiante la valvola ad esso collegata blocca il flusso in ingresso. Il macch. misura continuamente il livello dell’ acqua e di conseguenza aumenta o diminuisce la portata in ingresso.
LEZIONE 2
23/09/22
SISTEMI DINAMICI (2.1-2.6)
DEF: SISTEMA = oggetto fisico che interagisce con il mondo attraverso 2 segnali (variabili) al variare del tempo.
MODELLO = SISTEMA FISICO (rappresenta il comportamento dell'ente complesso)
ESEMPIO 1: FORNO
qs θe
- temperatura
- qin - qout
NB: SISTEMA DINAMICO (modello con temperatura interna del sistema e della parete)
Ct = capacità termica
PARAMETRI (non variabili nel tempo)
- IN ROSA (f= f(i)+guadagni nei nodi))
- USCITE (es.θe, altro di interesse)
Øp - θp
K = trasmissività termica
LEZIONE 3
I sistemi vengono rappresentati in rappresentazione di stato (tipo di modello).Stato = vettore di n variabili che descrive la configurazione interna = stato del sistema (es. pendolo → posizione y).Esistono i modi per categorizzare i sistemi; uno di questi è un sistema proprio e uno strettamento proprio.Per fare questa distinzione bisogna vedere le equazioni di uscita:
- eq di uscita non dipendono da u(t) → sistema strettamente proprio
- yi(t) = gi(x(t))
- eq di uscita dipendono da u(t) → sistema proprio
yi(t) = gi(x(t), u(t))x' = f(x(t), u(t))y(t)i gi(x(t))SISTEMA STRETTAMENTE PROPRIOSISTEMA PROPRIO
In sostanza quando in un sistema in propria l'uscita viene modificata in mancanza "istantanea" dell'ingresso, mi interessa passare attraverso la dinamica se un sistema è strettamente proprio.Esempio:
- PENDOLO
- y(t) = x(t) (non compare u(t))
strettamente proprio
- FORNO
- { y1(t) = Θi(t)
- y2(t) = K1(Θp(t) - Θi(t))
(Θ diritta della massa di calore verso il pistoccio)SISTEMA PROPRIO (Es. l'ingresso compare nell'eq di uscita)
Soluzione dei sistemi LTI o data dalla formula di Lagrange:
x(t) = eA(t-t0)x(t0) + ∫t0t eA(t-τ)B u(τ) dτ, (t ≥ t0)
(esecuzione dato)
Questa formula è valida per tutte le eq. all'ordiene n lineari (non è necessario risolvere le eq. differenziali)
y(t) = C eA(t-t0)x(t0) + C ∫t0t eA(t-τ)B u(τ)dτ + D u(t), (t ≥ t0)
(esecuzione) del vista
Al momento la cosa più importante è capire l'andamento dello stato: si potrà in un momento successivo dare l'uscita.
Studio della formula di Lagrange
Matrice esponenziale eAt
def. : eAt = ∑i=0∞ Ai ti /i!
- 1) A0 = In
- 2) d/deAt = A eAt
- 3) eA(t1+t2) = eAt1 ⋅ eAt2
N.B: normalmente le matrici non permutano nella moltiplicazione
Questa matrice definisce movimento, velocità e stabilità della dinamica di un sistema. La dinamica si può dividere in:
Movimento libero
Dipende solo dalle condizioni iniziali (u(t) = 0, senza applicare ingressi)
x(t) = eA(t-t0)x(t0), (t ≥ t0), considerando t0 = 0, > x(t) = eAtx0 L3 vettore condizioni iniziali
[ x1(t) ] [ n x n ] [ x2 ]
[ x2(t) ] = [ x2 ]
[ xn(t) ] [ xpm ] (NB x0 eAt ERRORE!)
Movimento forzato
Se le condizioni iniziali sono nulle x(t0)=0
Integrale di “convoluzione”: x(t)= ∫t0t eA(t-τ) B u(τ) dτ
Z = TD · x
Ż = AD · Z
sistema con n.e.
di ordine inseparabile
(re possibile risolverlo)
Z(t) = eAD·t · Z0
x(t) = TD · eAD·t · TD-1 · x0
ESEMPIO
dx(t)
=
[1 2]
[1 1] x(t)
da risolvere per qualunque condizione iniziale
x0 = x(0)
CARATTERISTICO
det(A-I) = 0
det [1-λ 2]
[1 1-λ]
= (1-λ)(1-λ)-2·1
det [1-λ 2]
[1 1-λ]
=> (1-λ)2-2=0
=> λ3 - 3λ - 8 > 0
λ1 = 3
λ2 = -1
2 autovettori + ->λ diagonaliizazione?
TROVO AUTOVETTORI
(A-λI)vi = 0
[1 2][v1] = [v1]
[ 1 1][v2] =[v2]
[1-2][v1]= [v1]
[1 1][v2]= [v2]
vi = [1] v2 = [1]
soluzioni partiolari
vi ded dello spazio nullo
Ricorda! gli autovettori definiscono la matrice inversa
[1][1] [v2] [1][1] [TD1] = (+1/2)
[-1][-1] [v3] [1][1] 1
Z1(t)= -2 · t -1 + x1(t)
Z2(t)= 1/2 + 2t + 1 x2(t)
[AD] =
[λ2 1 0]
[A1]
=
[0 1 0]
[1][1]-[λ2]
=
[0 1 3 1]
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