Appunti completi corso Fondamenti di Automatica

Cos'è l'automatica?

L'automatica è l'insieme di strumenti matematici e ingegneristici atti alla specifica, alla progettazione e alla gestione di sistemi di controllo automatici (cioè che funzionano senza il controllo diretto di un operatore). Per "controllare" si intende associare a un sistema fisico un comportamento desiderato manipolando le sue variabili di controllo. I sistemi fisici nella pratica possono rappresentare applicazioni completamente diverse tra loro, ma tutte quante hanno in comune la ricerca di un modello matematico che possa spiegare e controllare il sistema.

Esempio: Climatizzatore dell'auto

• Sistema fisico: Fenomeni termici nella cabina dell'auto
• Variabili da controllare: Temperatura e umidità
• Variabili su cui agire: Comandi di riscaldatori, refrigeratori, ventole
• Condizione desiderata: Temperatura impostata dal passeggero

Esempio più dettagliato: Cruise control

Vogliamo che la nostra automobile viaggi a una velocità costante. Per cui il sistema fisico è l'auto in movimento; la variabile da controllare è la velocità (che è anche la condizione desiderata) e le variabili su cui agire sono accelerazione e frenata. Tutto il sistema può essere schematizzato come una scatola in cui le variabili di accelerazione e frenata sono delle cause o ingressi e la velocità finale è l'effetto o uscita.

Non è però sempre facile individuare le cause, perché tra queste possono esserci fenomeni che non possiamo controllare direttamente: nell'esempio dell'automobile, la velocità può essere controllata dal vento o dalla pendenza. Sono variabili che modificano l'uscita ma che non possiamo controllare, per cui sono dette disturbi. A questo punto ci vuole un sistema di controllo per capire come dosare in modo corretto accelerazione e freno. Beh, esistono due strategie, una ad anello chiuso e l'altra ad anello aperto. Quella ad anello aperto è inutile, perché non permette di compensare i disturbi e di dosare il giusto cambiamento delle variabili. L'anello chiuso invece consiste nell'uso delle retroazioni: l'uscita viene utilizzata come variabile di ingresso per dosare correttamente accelerazione e freno. Praticamente tutti i sistemi di controllo sono in anello chiuso.

Sistema di controllo

Un sistema di controllo è composto da:

• Strumentazione per misurare le variabili da controllare, trasduttori
• Strumentazione per trasmettere al sistema l'azione di controllo, attuatori
• Delle leggi di controllo (generalmente degli algoritmi software) che comandano gli attuatori per generare le variabili di controllo

Questa era solo un'introduzione per capire di cosa parleremo nei prossimi mesi. Dall'introduzione abbiamo capito che la difficoltà sarà trovare un modello matematico per spiegare il sistema fisico in esame.

Modelli matematici

Il modello più semplice di tutti è quello puramente algebrico. Per esempio, dato dalla legge di Ohm v(t) = Ri(t), perché è tutto costante. I nostri sistemi invece saranno dinamici, con variabili che cambiano nel tempo e quindi avremo di mezzo le equazioni differenziali. La variabile temporale potrà essere continua o discreta.

Esempio del serbatoio

Modello che schematizza un lavandino o un generico bacino idrico. Come varia nel tempo x'(t) = u(t) - y(t) il volume di invaso? Per il principio di conservazione dell'energia, dove x è la portata attuale del bacino, u è l'ingresso e y è l'uscita. Ciò non è sufficiente: dobbiamo specificare la portata uscente. Siccome consideriamo sempre modelli lineari, la portata uscente la rendiamo proporzionale a un coefficiente k che chiamiamo costante di deflusso. Un valore di circa 5 volte k rappresenta il tempo di svuotamento del serbatoio, che come vedi non dipende dal volume. Otteniamo così un sistema di equazioni:

• x'(t) = u(t) - kx(t)
• y(t) = kx(t)

Esempio del circuito

Consideriamo un semplice circuito con un generatore di corrente u(t), una resistenza R e poi in parallelo un condensatore con tensione v(t) e un induttore con corrente i(t). Questi ultimi due sono le nostre variabili di controllo, mentre la variabile di uscita è la tensione sulla resistenza, per cui il sistema di equazioni sarà:

• x₁ = v(t); x'₁(t) = 1/C * (u(t) - x₁(t)/R)
• x₂ = i(t); x'₂(t) = 1/L * x₁(t)
• y(t) = u(t) - x₁(t)

Esempio dei dipendenti

I dipendenti di un'azienda sono divisi su tre livelli: impiegati, quadri, dirigenti. Ogni anno avvengono assunzioni a livello di impiegato, ma non si assumono quadri e dirigenti. Ogni anno una certa frazione di impiegati diventa quadro, alcuni quadri diventano dirigenti e alcuni rimangono quello che erano l'anno prima. Usiamo le variabili:

• B₁: Impiegati che salgono
• B₂: Quadri che salgono
• A₁: Impiegati che rimangono tali
• A₂: Quadri che rimangono tali
• A₃: Dirigenti che rimangono tali

Indicando con u(t) le nuove assunzioni e y(t) il numero totale di dipendenti, modellizza la struttura attraverso un sistema dinamico. Useremo queste equazioni a tempo discreto:

• x₁(t+1) = x₁(t) * A₁
• x₂(t+1) = x₂(t) * A₂ + x₁(t) * B₁
• x₃(t+1) = x₃(t) * A₃ + x₂(t) * B₂
• y(t) = x₁(t) + x₂(t) + x₃(t)

Modelli matematici in situazioni non ingegneristiche

I modelli matematici si possono applicare anche in situazioni non prettamente ingegneristiche. Ecco alcuni esempi:

• Modello matematico delle relazioni di coppia
• Modelli ecologici preda-predatore
• Dinamica del mercato della droga

In questi sistemi non è facile individuare subito le variabili necessarie e sono necessarie analisi empiriche. Vediamo come esempio (senza troppa matematica) come descrivere matematicamente una relazione di coppia.

Modello matematico delle relazioni di coppia

Dati due individui, le variabili di interesse possono essere i sentimenti provati dalle due persone verso l'altra, cioè x₁(t) e x₂(t). Come si evolvono? Diamo un senso numerico a queste variabili: zero indica l'indifferenza, un numero positivo indica amicizia/simpatia, un numero molto positivo indica amore, un numero negativo indica antipatia, un numero molto negativo indica odio.

Quali possono essere le cause che modificano i sentimenti? Può essere un aspetto legato al fascino, che indichiamo con A, oppure una reazione dell'individuo all'amore fornito dall'altro, che indichiamo con R (ovvero se uno ti dà simpatia anche tu la ricambi). Questo ricambio arriva comunque fino a un certo livello massimo di saturazione, anche se manifesti tutto l'amore del mondo. Questo è il comportamento tipico degli individui sicuri, cioè tipo l'80% della popolazione. Poi ci sono anche i tipi strani, cioè quelli che reagiscono al contrario: positivamente se vengono odiati, negativamente se vengono amati. Sono semplicemente masochisti (e secondo me sono tutte femmine). Infine ci sono gli individui insicuri, cioè che reagiscono positivamente fino a un certo punto, negativamente se si va oltre, tipico dei più giovani, che poi dovrebbero diventare sicuri.

L'ultima variabile è l'oblio, indicata con O, cioè la tendenza a dimenticare il partner dopo un po' che la relazione finisce. Da qua possiamo tirare fuori l'equazione:

• x'_i(t) = O_i + R_i(x_i, x_j) + A_i(x_j)
• y = x₁ + x₂ = amore nella coppia

Ora supponiamo di prendere due individui sicuri e con un certo valore di A: tra loro c'è sintonia, quindi il grafico della relazione nel tempo sarà certamente positivo. Se prendiamo un insicuro e un sicuro, potrebbe venire fuori un grafico positivo o negativo, non si sa esattamente. E infine va beh, due insicuri faranno solo casino con grafici negativi.

In ogni caso, con questo modello i grafici sembrano tendere monotonicamente a un valore fisso, ma nella realtà non è così! Non siamo sempre felici o sempre arrabbiati, ci sono delle oscillazioni, che qui mancano! Ci vuole una variabile in più, qualcosa di tipicamente femminile: il sinergetismo, che indichiamo con S. Ovvero che, se una donna è particolarmente innamorata, il partner sembra più bello di quello che è veramente, quindi A cresce e siamo più felici!

E cosa produce una continua oscillazione nella relazione? Il fatto che uno dei partner è sinergico e l'altro insicuro, ecco. C'era pure l'esempio di esperienza diretta della prof, che intervallava momenti di felicità (sempre più brevi) con momenti di rabbia (sempre più lunghi). Insomma, la morale della favola è che i belli stanno coi belli e i brutti stanno coi brutti. Ogni eccezione è dovuta solo ai soldi. Quindi non ti scoperai mai Giulia, infatti non ti caga di pezza.

Questo modello comunque spiega anche un fenomeno interessante dei social: l'appealing gioca un ruolo fondamentale soprattutto al primo incontro. Con i social è possibile invece "nascondersi" e far innamorare l'altro mostrando il meglio di sé senza ostacoli, cosa che nella realtà sarebbe difficile da fare perché l'appealing ti bloccherebbe fin da subito. Solo nel momento in cui l'altro si è innamorato allora ti dichiari e ti mostri e anche se sei cesso comunque ti sei guadagnato l'amore del partner e hai vinto!

Variabili di stato nei sistemi dinamici

In tutti gli esempi visti, le variabili utilizzate sono state u(t) per l'ingresso, y(t) per l'uscita ed eventuali x_i(t) per le variabili di stato. Tutte le variabili di stato possono essere incluse in un vettore n-dimensionale detto vettore di stato, mentre la dimensione del vettore è detta dimensione del sistema. Gli ingressi e le uscite possono essere più di uno, ma nei nostri casi saranno sempre uno solo.

Sistemi tempo variante e tempo invarianti

• Tempo variante continuo: X' = f(X(t), u(t), t), Y(t) = g(X(t), u(t), t)
• Tempo variante discreto: X(t+1) = f(X(t), u(t), t), Y(t) = g(X(t), u(t), t)
• Tempo invarianti continuo: X' = f(X(t), u(t)), Y(t) = g(X(t), u(t))
• Tempo invarianti discreto: X(t+1) = f(X(t), u(t)), Y(t) = g(X(t), u(t))

I nostri esempi saranno tutti tempo invarianti e per di più lineari. Ma cosa intendiamo per linearità?

Equazioni di stato e di uscita

Le equazioni di stato rappresentano il modello matematico di un sistema dinamico:

• x'₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n + b₁u
• x'₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n + b₂u
• ...
• x'_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n + b_nu

Le equazioni di uscita determinano l'output del sistema:

• y = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n + du

Tutto questo può essere compattato in forma matriciale:

• X' = AX + Bu
• Y = CX + Du

Dove A, B, C, D possono essere matrici, vettori o scalari. Il sistema è detto proprio se D = 0, improprio altrimenti.

Movimento del sistema dinamico

L'andamento nel tempo del vettore di stato X, conoscendo il valore iniziale X(0) e la funzione di ingresso u(t), è chiamato movimento del sistema dinamico. Lo spazio di stato è lo spazio cartesiano n-dimensionale delle variabili di stato: la proiezione del movimento nello spazio di stato si chiama traiettoria. In pratica bisogna esprimere una variabile in funzione delle altre eliminando la variabile temporale.

Tipi di movimenti

Movimento periodico (cenni): È un movimento in cui l'ingresso u, il vettore di stato X e di conseguenza l'uscita y, sono periodici di periodo T, per cui:

• u(t) = u(t + T)
• X(t) = X(t + T)
• y(t) = y(t + T)

La traiettoria nello spazio di stato è chiamata ciclo ed è una curva chiusa. Nei sistemi lineari un ingresso periodico genera una traiettoria periodica ed è unica (viene chiamata ciclo isolato), mentre un ingresso nullo può generare infinite traiettorie periodiche chiamate cicli non isolati. Prendiamo come esempio un sistema massa-molla privo di attrito: esso è un ciclo nello spazio di stato, perché il movimento della massa è periodico e infinito, ma non è isolato, perché a ogni posizione iniziale della massa corrisponde un ciclo diverso. Quindi esistono infiniti cicli!

Movimento stazionario: L'ingresso, il vettore di stato e l'uscita sono tutti costanti nel tempo, perciò u(t) = constant, x(t) = constant, y(t) = constant. Quando questo accade si dice che il sistema è in equilibrio.

Questo implica che la derivata X'(t) è sempre zero! L'equazione di un sistema all'equilibrio è X' = A * constant + B * constant = 0. L'uscita è Y = C * constant + D * constant. Si tratta di un sistema di n equazioni lineari e algebriche (non c'è più la parte dinamica). La soluzione analitica dell'equilibrio si trova con la formula constant = -A^-1 * B * constant.

Non useremo molto questa formula, visto che c'è l'inversa di una matrice. Puoi trovare la soluzione risolvendo il sistema con normali passaggi algebrici. Comunque l'inversa di A naturalmente esiste se il determinante di A è diverso da zero, o in altre parole se nessuno dei suoi autovalori è nullo. Quindi se esiste l'inversa di A, esiste la condizione di equilibrio ed è unica. Se invece il determinante è nullo, per il teorema di Rouche-Capelli, la condizione di equilibrio non esiste o ne esistono infinite! Nei sistemi lineari l'infinità di equilibri è non numerabile, mentre nei sistemi non lineari è numerabile.

Esempio bello di una pallina su un piano piatto (sarebbe il sistema massa-molla con costante elastica nulla in modo da avere il determinante uguale a zero): ci sono infiniti punti di equilibrio e non sono numerabili! Invece per un sistema non lineare prendiamo un piano infinito composto da "colline": la pallina rimane in equilibrio sulle punte e nelle buche, che sono infinite ma numerabili.

Sistemi a tempo discreto

Nel caso di sistemi a tempo discreto la formula cambia leggermente, ovvero dobbiamo imporre che X(t+1) = X(t). Con un po' di passaggi algebrici scopriamo che la condizione di equilibrio è data dalla formula constant = (I - A)^-1 * B * constant.

Anche qui non useremo molto la formula perché è complicata, tuttavia è bene sapere che, affinché esista l'inversa di I - A, è necessario che la matrice A non abbia nessun autovalore in 1. E questo puoi calcolarlo facilmente. Come nel caso continuo, se la matrice inversa non esiste allora non esiste la condizione di equilibrio o ne esistono infinite.

Nota importante per gli esercizi

Per equilibrio ricorda che si intende sempre che il vettore di stato non cambia. Se l'equilibrio non esiste o ne esistono infiniti significa che esistono zero o infinite condizioni in cui il vettore non cambia. Se invece ci sono infiniti ingressi possibili ma che conducono allo stesso vettore di stato costante, quel sistema ha un solo equilibrio!

Esempio organizzativo

Vediamo l'esempio con la struttura organizzativa: sai già che la matrice A è [A 0 0 | B A 0 | 0 B A]. Il determinante è A * A * A: siccome il sistema è a tempo discreto, abbiamo l'equilibrio se nessuno dei tre coefficienti è uguale a 1. Per capirlo intuitivamente, prendiamo il caso in cui A è uguale a 1 (ovvero nessun dirigente se ne va): se continuiamo ad assumere, succede che il numero di dirigenti continuerà a crescere indefinitamente (non esiste l'equilibrio). Se invece non assumo nessuno (ingresso costante nullo), tutti i lavoratori (che sono un numero finito) diventeranno dirigenti e ci sarà una condizione di equilibrio, ma questo dipende dalla situazione iniziale, quindi di equilibri ne esistono infiniti!

Esempio tema d'esame: Impresa di detersivi

Vediamo un altro esempio a tempo discreto in stile tema d'esame. Un'impresa 1 produce detersivo ed è in concorrenza con altre due imprese 2 e 3. Secondo alcune indagini di mercato, l'impresa 1 valuta che ogni mese una frazione a_ij delle persone che nel mese precedente hanno comprato dall'impresa i ora comprano dall'impresa j, con i e j compresi tra 1 e 3. Risulta anche che ogni mese ci sono nuovi acquirenti, la cui frazione b_i rappresenta i nuovi acquirenti dell'impresa i. Questi sono i coefficienti:

Si stima che i nuovi acquirenti siano 1500. Avvalendosi di un sistema matematico con u i nuovi acquirenti e y il numero di detersivi venduti nel mese dall'impresa 1, determinare il numero di clienti di ogni impresa. Determinare il rapporto dei propri clienti rispetto ai nuovi acquirenti. Le variabili di stato saranno i detersivi venduti da ogni impresa. Il sistema è il seguente:

• u = 1500
• x₁(t+1) = a₁₁x₁(t) + a₂₁x₂(t) + a₃₁x₃(t) + b₁u
• x₂(t+1) = a₁₂x₁(t) + a₂₂x₂(t) + a₃₂x₃(t) + b₂u
• x₃(t+1) = a₁₃x₁(t) + a₂₃x₂(t) + a₃₃x₃(t) + b₃u
• y = x₁(t)

Calcoliamo all'equilibrio il numero di detersivi venduti da ogni impresa, ovvero calcoliamo la condizione di equilibrio X. Essa esiste perché, se ti calcoli la matrice del sistema con i valori dati, non ci sono autovalori in 1. Calcolando l'equilibrio, viene un semplice sistema in tre equazioni con queste soluzioni:

• x₁ = 4/3 * u = 2000
• x₂ = 4/3 * u = 2000
• x₃ = 14/15 * u = 1400