Fondamenti di automatica - Appunti

USCITE





Potremmo, ad esempio essere interessati a descrivere come evolve la temperatura della stanza nel corso del

tempo, e per questo è possibile indicare come uscita anche .

–

Esempio carrello

Abbiamo a che fare con un carrello posto su un piano orizzontale. In questo caso come

sistema consideriamo solo il carrello.

Sul carrello operano due forze:

→ ←

 

1 2

Gli ingressi del sistema sono:

•

1

•

2

• dell’aria

Forza di attrito, che a sua volta può essere dovuto alla pressione

3

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

• Massa del carrello

• …

Si noti che nei sistemi fisici ci sono moltissimi ingressi. Nella descrizione del sistema se ne trascura una gran parte

in quanto si ritiene che non siano abbastanza significativi nel loro effetto da tenerne conto. In generale, la realtà è

sempre più complessa della descrizione che se ne fa. È compito dell’ingegnere determinare ciò che conta.

–

Esempio carrello con molla

In questo caso, riprendendo l’esempio precedente, viene specificato che la forza viene

2

generata da una molla.

In questo caso nel sistema comprendiamo anche la molla e non solo il carrello. Anche in

questo caso gli ingressi sono infiniti ma dobbiamo sceglierne solo alcuni.

Dato il sistema preso in considerazione, non rappresenta più un ingresso. Tale forza influenza ovviamente

2

l’evoluzione temporale del carrello ma non è definita dal mondo esterno. Il valore di è determinato a partire

2

dalla posizione del carrello stesso. Anche come nel caso precedente è una variabile interna al sistema e non è

,

un ingresso.

Sistema matematico e sistema fisico

Il sistema (fisico) di cui abbiamo parlato fino ad ora è definito come una porzione del reale.

Il sistema matematico è un altro tipo di sistema. Esso è definito come un descrittore del sistema fisico.

Sistema fisico e sistema matematico sono due concetti completamente diversi.

In riferimento al sistema costituito dal carrello, il carrello con la molla costituisce il sistema fisico. Mentre la

2

seguente espressione rappresenta il sistema matematico: forza totale = somma delle

()

⋅ () = − ()

1

2

forze agenti sul carrello.

L’immagine dell’esempio superiore rappresenta quindi una porzione del mondo reale, mentre nella riga appena

sopra è presentata un’equazione matematica che descrive tale porzione.

Entrambi sono sistemi: il primo fisico e il secondo è un sistema matematico o modello matematico.

Entrambi i sistemi possono essere rappresentati nello stesso modo. In

riferimento al sistema fisico rappresenta l’ingresso al sistema e la posizione

,

1

del carrello, rappresenta l’uscita di interesse per l’osservatore.

Dal punto di vista del sistema matematico invece, abbiamo a che fare con un’equazione differenziale del secondo

ordine, in cui è il termine noto, che deve essere assegnato per poter integrare l’equazione.

1

Da sempre l’uomo si è confrontato con il mondo dei sistemi fisici, adottando un approccio empirico.

L’approccio usato nel caso dei sistemi matematici è del tipo scientifico – moderno, che è ha portato enormi

vantaggi rispetto all’approccio empirico.

Se in un modello matematico viene captata la descrizione di un sistema, si ottiene un modello che comprende tutti i

comportamenti associati all’oggetto fisico.

Se il sistema matematico è un buon descrittore del sistema vero, permette di fare previsioni su quest'ultimo, senza

che questo esista realmente (ad esempio in fase di progettazione del sistema fisico). Generalmente si fa prima il

modello e dopo di che, e solo nel caso in cui esso sia corretto, si costruisce il modello fisico.

Sintesi degli argomenti

Il corso si divide in due parti, due gruppi di argomenti: analisi e sintesi (del controllore).

Per analisi si intende l’operazione di studio e comprensione del sistema: come si comporta il sistema, come

reagisce a stimoli esterni, quali proprietà strutturali ha il sistema. Ad esempio, il sistema potrebbe essere il

descrittore di un carrello (sistema matematico).

La sintesi del controllore è un’operazione progettuale ed è differente

dall’analisi. Consiste nel costruire un altro sistema (controllore) – oltre

a quello principale che stiamo considerando – che posto ad interagire

con il sistema iniziale faccia ottenere il comportamento desiderato. Si

parla di sistema (quello iniziale) e controllore, ossia quello che agisce

sul sistema di partenza, attraverso gli ingressi di quest’ultimo. Quindi,

affinché il controllore influenzi il sistema deve pilotare almeno un suo ingresso, detto variabile di controllo.

Le uscite del controllore diventano gli ingressi del sistema iniziale. Il controllore fa parte del sistema esterno.

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Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

L’aggregato dei due costituisce il sistema di controllo.

Si noti che è anche possibile che le uscite del sistema diventino ingressi per il controllore.

In riferimento all’esempio del carrello con molla, per fare un esempio, se si applica

una forza costante nel tempo sul sistema, il carrello ha un comportamento

1

oscillatorio.

In questo caso si potrebbe introdurre un controllore che pilota la variabile di

controllo .

1

Il controllore potrebbe poi ricevere in ingresso l’uscita del sistema, che fornisce la

posizione del carrello.

Ipotizzando che il controllore abbia come altro ingresso la posizione desiderata

che il carrello deve assumere, è possibile costruire una logica che vada a pilotare

l’azione motrice del carrello in modo tale che l’avvicinamento alla posizione desiderata avvenga senza oscillazioni.

Si noti che gli oggetti del mondo reale sono pieni di controllori. Si pensi all’ABS (Anti-Block System) di una

macchina. Tutti gli impianti industriali lavorano con dei sistemi di controllo.

Analisi Sintesi del controllore

1. Sistemi matematici 6. Stabilità (del sistema di controllo)

1 5

2. Stabilità 7. Prestazioni

2

3. Proprietà strutturali 3

4. Funzioni di trasferimento

4

5. Risposta in frequenza

Esempio riassuntivo

Nota : quando si ha a che fare con funzioni del tempo del tipo si scrive spesso sottintendendo la

2 ℎ() ℎ,

dipendenza dal tempo.

Sistema fisico

Si ha a che fare con un bacino di acqua.

indica il livello dell’acqua nel bacino che varia nel tempo.

ℎ

C’è un condotto, in alto a sinistra, dal quale arriva l’acqua, la cui portata (ingresso)

viene controllata grazie ad una valvola.

In alto a destra compare un secondo tubo, del quale non è possibile controllare la

portata, indicata come , dove la sta per disturbo. Si tratta di un ingresso che

disturba il funzionamento del sistema.

Alla base del recipiente c’è un’apertura dalla quale esce acqua, con portata

(uscita).

Si noti che anche le portate sono funzioni dipendenti dal tempo.

Il sistema considerato è costituito dalla sola vasca, senza comprendere le tubature.

Ingressi:

•

•

Anche il valore di potrebbe essere considerato come ingresso, in quanto la portata di uscita ha un effetto sullo

svuotamento del serbatoio. Tuttavia, il valore di non dipende dal mondo esterno ma dalla condizione in cui si

trova il serbatoio in un dato momento. È infatti evidente che se nel serbatoio è presente tanta acqua, la pressione

1 4

Capacità di un sistema di dimenticare il passato. Studia un particolare funzionamento del sistema: come si comporta

l’uscita in relazione ad un particolare stimolo

2 Riguarda lo studio del legame tra le variabili di ingresso (u) e le variabili 5 Si studia quanto bene funziona il sistema di controllo

interne (x) e tra x e le variabili di uscita (y).

3 Funzione di trasferimento = oggetto matematico che permette di legare

direttamente l’ingresso del sistema con l’uscita, senza il ricorso alla x, ossia

a variabili interne. 5

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

sarà maggiore e di conseguenza avremo un flusso più grade di uscita, rispetto al caso in cui vi è meno acqua nel

serbatoio.

Uscite:

• ℎ

Sistema matematico

Chiamando l’area di base del serbatoio si ha che Ah() è il volume di acqua che risiede nel serbatoio in un certo

istante.

Sapendo che la derivata rispetto al tempo della quantità di acqua è pari alla portata totale in ingresso – la portata

totale in uscita, scrivo: ( )

ℎ() = + −

Il modello non è terminato in quanto è ancora presente che non è una variabile di ingresso.

Sappiamo che è proporzionale al livello, secondo un coefficiente di forma del serbatoio:

= ℎ

↓Riscrivendo la formula

ℎ̇ ( )

= + − ℎ

Nota: la notazione indica la derivata prima di fatta rispetto al tempo.

ℎ̇ ℎ

Ora, e sono due costanti e per semplificare la trattazione dell’esempio le supponiamo entrambe pari a 1.

ℎ̇ ( )

= + − ℎ

A cosa serve?

Il modello matematico contiene, al suo interno, tutti i comportamenti del modello fisico.

Sapendo come far emergere tali comportamenti, è possibile ottenere una descrizione del sistema fisico, senza

necessariamente perturbarlo direttamente.

Situazione concreta

Si suppone di avere un valore di riempimento iniziale ℎ(0).

Inoltre si suppone che e ossia che a partire dall’istante 0 viene aperto il rubinetto e il serbatoio

()

= 1 ≥ 0,

inizia a riempirsi con portata costante nel tempo pari a 1.

Si suppone poi che ossia non c’è disturbo.

()

= 0,

ℎ̇ ( )

= + − ℎ

è un’equazione differenziale, lineare, a coefficienti costanti.

Date le ipotesi precedenti riscriviamo: ℎ̇ = 1 − ℎ

− C+1

ℎ()=e

Imponendo la condizione iniziale si ricava: C=h(0) che va sostituita nell’espressione sopra.

− 1

− −

ℎ()=e ℎ(0) − + 1

Data la soluzione, possiamo ric